From b73b611b12f5de2c342b04a22cac7f21f3786bad Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Sun, 6 Jun 2021 21:08:29 +0200
Subject: add lambert w section

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 .../chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/0.tex | 61 ++++++++++++++++++++++
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 create mode 100644 buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/0.tex

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new file mode 100644
index 0000000..8fd84af
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/0.tex
@@ -0,0 +1,61 @@
+Man finde $x\in\mathbb{R}$ derart, dass $3^x=2x+2$.
+
+\begin{loesung}
+Die Definition der $W$-Funktion verwendet die Exponentialfunktion,
+wir schreiben daher zunächst $3^x = e^{x\log 3}$ und erhalten so
+die Gleichung
+\begin{align*}
+e^{x\log 3} &= 2x+2
+\\
+\frac{1}{3}e^{(x+1)\log 3}
+&=2(x+1)
+\\
+\frac{\log 3}{2\cdot 3}e^{(x+1)\log 3}
+&=\log 3(x+1)
+=
+X
+\\
+-\frac{\log 3}{6}
+&=
+-Xe^{-X}.
+\end{align*}
+Auf der rechten Seite steht ein Ausdruck der Form $ze^z$, der mit der
+$W$-Funktion invertiert werden kann, es ist also
+\begin{align*}
+W\biggl(
+-\frac{\log 3}{6}
+\biggr)
+&=
+-X
+\qquad\Rightarrow\qquad
+X=
+-W\biggl(
+-\frac{\log 3}{6}
+\biggr)
+=
+(x+1)
+\log 3
+\end{align*}
+Durch Auflösen nach $x$ findet man
+\[
+x
+=
+-1
+-
+\frac{1}{\log 3}
+W\biggl(
+-\frac{\log 3}{6}
+\biggr).
+\]
+Die numersiche Auswertung mit $W_0$ und $W_{-1}$ liefert zwei mögliche
+Lösungen, nämlich
+\[
+x
+=
+\begin{cases}
+\displaystyle -1-\frac{1}{\log 3} W_0\biggl(-\frac{\log 3}{6}\biggr)&=-0.79011\\
+\displaystyle -1-\frac{1}{\log 3} W_{-1}\biggl(-\frac{\log 3}{6}\biggr)&=\phantom{-}1.44456.
+\end{cases}
+\]
+Beide Lösungen kann man leicht durch Einsetzen überprüfen.
+\end{loesung}
-- 
cgit v1.2.1

