From 083feab0f9542f4e6e01c51c1beb6878f2f70b2f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Sun, 2 Jan 2022 12:35:36 +0100 Subject: new images --- buch/chapters/020-exponential/Makefile.inc | 6 +-- buch/chapters/020-exponential/chapter.tex | 6 +-- .../chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/0.tex | 62 ---------------------- .../chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/1.tex | 34 ------------ .../chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/2.tex | 17 ------ .../020-exponential/uebungsaufgaben/200.tex | 62 ++++++++++++++++++++++ .../020-exponential/uebungsaufgaben/201.tex | 34 ++++++++++++ .../020-exponential/uebungsaufgaben/202.tex | 17 ++++++ 8 files changed, 119 insertions(+), 119 deletions(-) delete mode 100644 buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/0.tex delete mode 100644 buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/1.tex delete mode 100644 buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/2.tex create mode 100644 buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/200.tex create mode 100644 buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/201.tex create mode 100644 buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/202.tex (limited to 'buch/chapters/020-exponential') diff --git a/buch/chapters/020-exponential/Makefile.inc b/buch/chapters/020-exponential/Makefile.inc index 50f27b0..d6b3c7f 100644 --- a/buch/chapters/020-exponential/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/020-exponential/Makefile.inc @@ -10,7 +10,7 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ chapters/020-exponential/lambertw.tex \ chapters/020-exponential/dilog.tex \ chapters/020-exponential/eili.tex \ - chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/0.tex \ - chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/1.tex \ - chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/2.tex \ + chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/200.tex \ + chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/201.tex \ + chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/202.tex \ chapters/020-exponential/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/020-exponential/chapter.tex b/buch/chapters/020-exponential/chapter.tex index ca3cda4..1ab4769 100644 --- a/buch/chapters/020-exponential/chapter.tex +++ b/buch/chapters/020-exponential/chapter.tex @@ -19,8 +19,8 @@ \rhead{Übungsaufgaben} \aufgabetoplevel{chapters/020-exponential/uebungsaufgaben} \begin{uebungsaufgaben} -\uebungsaufgabe{0} -\uebungsaufgabe{1} -\uebungsaufgabe{2} +\uebungsaufgabe{200} +\uebungsaufgabe{201} +\uebungsaufgabe{202} \end{uebungsaufgaben} diff --git a/buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/0.tex b/buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/0.tex deleted file mode 100644 index 1f908bf..0000000 --- a/buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/0.tex +++ /dev/null @@ -1,62 +0,0 @@ -Man finde $x\in\mathbb{R}$ derart, dass $3^x=2x+2$. - -\begin{loesung} -Die Definition der $W$-Funktion verwendet die Exponentialfunktion, -wir schreiben daher zunächst $3^x = e^{x\log 3}$ und erhalten so -die Gleichung -\begin{align*} -e^{x\log 3} &= 2x+2 -\\ -\frac{1}{3}e^{(x+1)\log 3} -&=2(x+1) -\\ -\frac{\log 3}{2\cdot 3}e^{(x+1)\log 3} -&=\log 3(x+1) -= -X -\\ --\frac{\log 3}{6} -&= --Xe^{-X}. -\end{align*} -Auf der rechten Seite steht ein Ausdruck der Form $ze^z$, der mit der -$W$-Funktion invertiert werden kann, es ist also -\begin{align*} -W\biggl( --\frac{\log 3}{6} -\biggr) -&= --X -\qquad\Rightarrow\qquad -X= --W\biggl( --\frac{\log 3}{6} -\biggr) -= -(x+1) -\log 3 -\end{align*} -Durch Auflösen nach $x$ findet man -\[ -x -= --1 -- -\frac{1}{\log 3} -W\biggl( --\frac{\log 3}{6} -\biggr). -\] -Die numerische Auswertung mit $W_0$ und $W_{-1}$ liefert zwei mögliche -Lösungen, nämlich -\[ -x -= -\begin{cases} -\displaystyle -1-\frac{1}{\log 3} W_0\biggl(-\frac{\log 3}{6}\biggr)&=-0.79011 -\\[8pt] -\displaystyle -1-\frac{1}{\log 3} W_{-1}\biggl(-\frac{\log 3}{6}\biggr)&=\phantom{-}1.44456. -\end{cases} -\] -Beide Lösungen kann man leicht durch Einsetzen überprüfen. -\end{loesung} diff --git a/buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/1.tex b/buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/1.tex deleted file mode 100644 index 3b71806..0000000 --- a/buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/1.tex +++ /dev/null @@ -1,34 +0,0 @@ -Finde die Lösungen der Gleichung $x^x=27$ mit Hilfe der Lambert $W$-Funktion. - -\begin{loesung} -Wegen der speziellen Form $27=3^3$ der rechten Seite kann man -zwar die Lösung $x=3$ der Gleichung sofort erraten, für andere -Werte der rechten Seite wird es dagegen schwieriger, so dass man -keine andere Wahl hat, als die folgende Umformung zu verwenden. - -Wir schreiben zunächst die Gleichung mit Hilfe der Exponentialfunktion als -\[ -e^{x\log x} = 27 -\qquad\Rightarrow\qquad -x\log x = \log 27 -\] -und substituieren $t=\log x$, also $x=e^t$. -So entsteht die Gleichung -\[ -te^t = \log 27. -\] -Auf der linken Seite steht ein Ausdruck, der mit der Lambert $W$-Funktion -invertiert werden kann, es ist also -\[ -t = W(\log 27) -\qquad\Rightarrow\qquad -x=e^{W(\log 27)}. -\] -Für $W(\log 27)$ findet man -\[ -W(\log 27) = 1.098612 -\qquad\Rightarrow\qquad -x=3. -\qedhere -\] -\end{loesung} diff --git a/buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/2.tex b/buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/2.tex deleted file mode 100644 index 70cf8f3..0000000 --- a/buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/2.tex +++ /dev/null @@ -1,17 +0,0 @@ -Finden Sie $x$ derart, dass $(\tan x)^{\tan x}=2$ - -\begin{loesung} -Zunächst setzen wir $y=\tan x$, dann wird die Gleichung zu $y^y = 2$. -Der Logarithmus davon ist $y\log y = \log 2$. -Mit der Bezeichnung $t=\log y$ wird daraus die Gleichung -\[ -te^t = \log 2, -\] -die mit der Lambert-$W$-Funktion gelöst werden kann, die Lösung ist -$t=W(\log 2)$. -Darus kann man jetzt wieder $y=e^t=e^{W(\log 2)}$ bekommen. -So finden wir die Lösung -$x = \arctan e^{W(\log 2)}\approx 1.00064239632968$. -Durch Addition von ganzzahligen Vielfachen von $\pi$ erhält man -weitere Lösungen. -\end{loesung} diff --git a/buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/200.tex b/buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/200.tex new file mode 100644 index 0000000..1f908bf --- /dev/null +++ b/buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/200.tex @@ -0,0 +1,62 @@ +Man finde $x\in\mathbb{R}$ derart, dass $3^x=2x+2$. + +\begin{loesung} +Die Definition der $W$-Funktion verwendet die Exponentialfunktion, +wir schreiben daher zunächst $3^x = e^{x\log 3}$ und erhalten so +die Gleichung +\begin{align*} +e^{x\log 3} &= 2x+2 +\\ +\frac{1}{3}e^{(x+1)\log 3} +&=2(x+1) +\\ +\frac{\log 3}{2\cdot 3}e^{(x+1)\log 3} +&=\log 3(x+1) += +X +\\ +-\frac{\log 3}{6} +&= +-Xe^{-X}. +\end{align*} +Auf der rechten Seite steht ein Ausdruck der Form $ze^z$, der mit der +$W$-Funktion invertiert werden kann, es ist also +\begin{align*} +W\biggl( +-\frac{\log 3}{6} +\biggr) +&= +-X +\qquad\Rightarrow\qquad +X= +-W\biggl( +-\frac{\log 3}{6} +\biggr) += +(x+1) +\log 3 +\end{align*} +Durch Auflösen nach $x$ findet man +\[ +x += +-1 +- +\frac{1}{\log 3} +W\biggl( +-\frac{\log 3}{6} +\biggr). +\] +Die numerische Auswertung mit $W_0$ und $W_{-1}$ liefert zwei mögliche +Lösungen, nämlich +\[ +x += +\begin{cases} +\displaystyle -1-\frac{1}{\log 3} W_0\biggl(-\frac{\log 3}{6}\biggr)&=-0.79011 +\\[8pt] +\displaystyle -1-\frac{1}{\log 3} W_{-1}\biggl(-\frac{\log 3}{6}\biggr)&=\phantom{-}1.44456. +\end{cases} +\] +Beide Lösungen kann man leicht durch Einsetzen überprüfen. +\end{loesung} diff --git a/buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/201.tex b/buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/201.tex new file mode 100644 index 0000000..3b71806 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/201.tex @@ -0,0 +1,34 @@ +Finde die Lösungen der Gleichung $x^x=27$ mit Hilfe der Lambert $W$-Funktion. + +\begin{loesung} +Wegen der speziellen Form $27=3^3$ der rechten Seite kann man +zwar die Lösung $x=3$ der Gleichung sofort erraten, für andere +Werte der rechten Seite wird es dagegen schwieriger, so dass man +keine andere Wahl hat, als die folgende Umformung zu verwenden. + +Wir schreiben zunächst die Gleichung mit Hilfe der Exponentialfunktion als +\[ +e^{x\log x} = 27 +\qquad\Rightarrow\qquad +x\log x = \log 27 +\] +und substituieren $t=\log x$, also $x=e^t$. +So entsteht die Gleichung +\[ +te^t = \log 27. +\] +Auf der linken Seite steht ein Ausdruck, der mit der Lambert $W$-Funktion +invertiert werden kann, es ist also +\[ +t = W(\log 27) +\qquad\Rightarrow\qquad +x=e^{W(\log 27)}. +\] +Für $W(\log 27)$ findet man +\[ +W(\log 27) = 1.098612 +\qquad\Rightarrow\qquad +x=3. +\qedhere +\] +\end{loesung} diff --git a/buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/202.tex b/buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/202.tex new file mode 100644 index 0000000..70cf8f3 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/202.tex @@ -0,0 +1,17 @@ +Finden Sie $x$ derart, dass $(\tan x)^{\tan x}=2$ + +\begin{loesung} +Zunächst setzen wir $y=\tan x$, dann wird die Gleichung zu $y^y = 2$. +Der Logarithmus davon ist $y\log y = \log 2$. +Mit der Bezeichnung $t=\log y$ wird daraus die Gleichung +\[ +te^t = \log 2, +\] +die mit der Lambert-$W$-Funktion gelöst werden kann, die Lösung ist +$t=W(\log 2)$. +Darus kann man jetzt wieder $y=e^t=e^{W(\log 2)}$ bekommen. +So finden wir die Lösung +$x = \arctan e^{W(\log 2)}\approx 1.00064239632968$. +Durch Addition von ganzzahligen Vielfachen von $\pi$ erhält man +weitere Lösungen. +\end{loesung} -- cgit v1.2.1