From eec8507e61a4133e8fe37442bdeb19fe9733fd1f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@othello.ch>
Date: Tue, 28 Dec 2021 13:30:05 +0100
Subject: new problem for asin(2)

---
 buch/chapters/030-geometrie/uebungsaufgaben/2.tex | 60 +++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 60 insertions(+)
 create mode 100644 buch/chapters/030-geometrie/uebungsaufgaben/2.tex

(limited to 'buch/chapters/030-geometrie/uebungsaufgaben/2.tex')

diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/uebungsaufgaben/2.tex b/buch/chapters/030-geometrie/uebungsaufgaben/2.tex
new file mode 100644
index 0000000..7fedb46
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/030-geometrie/uebungsaufgaben/2.tex
@@ -0,0 +1,60 @@
+Finden Sie $x$ so, dass $\sin x = 2$.
+
+\begin{loesung}
+Es ist klar, dass die Lösung nicht reell sein kann, da reelle
+Argumente immer nur Sinus-Werte zwischen $-1$ und $1$ ergeben kann.
+Die Darstellung der Sinus-Funktion als Linearkombination von
+Exponentialfunktionen ergibt
+\[
+\sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} = 2.
+\]
+Wir schreiben $y=e^{ix}$ und multiplizieren die Gleichung mit $y$,
+so entsteht die quadratische Gleichung
+\[
+y^2-4iy-1=0
+\]
+mit den Lösungen
+\[
+y_{\pm}
+=
+2i\pm \sqrt{-4+1}
+=
+2i\pm \sqrt{-3}
+=
+(2\pm \sqrt{3})i
+=
+(2\pm\sqrt{3})e^{\frac{i\pi}2}.
+\]
+Davon muss jetzt der Logarithmus bestimmt werden.
+Der Realteil des Logarithmus ist der Betrag von $y_\pm$:
+\begin{align*}
+|y_\pm| &= 2\pm \sqrt{3}
+\\
+\operatorname{arg} y_\pm &= \frac{\pi}2.
+\end{align*}
+Daraus bekommt man
+\[
+x_\pm
+=
+\frac{1}{i}
+\log y_\pm
+=
+\frac{1}{i}
+(
+\log |y_\pm|
++
+i\arg y_\pm
+)
+=
+\frac{\pi}2
+-i
+\log(2\pm\sqrt{3})
+\approx
+\begin{cases}
+1.5707963 - 1.3169579i\\
+1.5707963 + 1.3169579i
+\end{cases}
+\]
+Weitere Lösungen erhält man natürlich durch Addition von ganzzahligen
+Vielfachen von $2\pi$.
+\end{loesung}
-- 
cgit v1.2.1