From e71c0efc46317cd9a2e1acb2304b0adadfc08da3 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 16 Jun 2022 22:17:47 +0200 Subject: some fixes in chapter 4 --- buch/chapters/040-rekursion/beta.tex | 3 ++- 1 file changed, 2 insertions(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/chapters/040-rekursion/beta.tex') diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex b/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex index ff59bad..13e074f 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex @@ -13,7 +13,8 @@ Man kann Sie aber auch als Grenzfall der Beta-Funktion verstehen, die in diesem Abschnitt dargestellt wird. -\subsection{Beta-Integral} +\subsection{Beta-Integral +\label{buch:rekursion:gamma:subsection:integralbeweis}} In diesem Abschnitt wird das Beta-Integral eingeführt, eine Funktion von zwei Variablen, welches eine Integral-Definition mit einer reichaltigen Menge von Rekursionsbeziehungen hat, die sich direkt auf -- cgit v1.2.1 From 3a95957a38a1cc8bcd865459a75cda87a2a8b56c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Sat, 18 Jun 2022 21:41:57 +0200 Subject: add new image, stuff about hypergeometrich series --- buch/chapters/040-rekursion/beta.tex | 16 ++++++++++++++-- 1 file changed, 14 insertions(+), 2 deletions(-) (limited to 'buch/chapters/040-rekursion/beta.tex') diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex b/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex index 13e074f..35ff758 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex @@ -8,7 +8,8 @@ Die Eulersche Integralformel für die Gamma-Funktion in Definition~\ref{buch:rekursion:def:gamma} wurde in Abschnitt~\ref{buch:subsection:integral-eindeutig} -mit dem Satz von Mollerup gerechtfertigt. +mit dem Satz~\ref{buch:satz:bohr-mollerup} +von Bohr-Mollerup gerechtfertigt. Man kann Sie aber auch als Grenzfall der Beta-Funktion verstehen, die in diesem Abschnitt dargestellt wird. @@ -31,6 +32,7 @@ B(x,y) \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1}\,dt \] für $\operatorname{Re}x>0$, $\operatorname{Re}y>0$. +\index{Beta-Integral}% \end{definition} Aus der Definition kann man sofort ablesen, dass $B(x,y)=B(y,x)$. @@ -321,6 +323,9 @@ $(-\frac12)!$ als Wert \] der Gamma-Funktion interpretiert. +% +% Alternative Parametrisierung +% \subsubsection{Alternative Parametrisierungen} Die Substitution $t=\sin^2 s$ hat im vorangegangenen Abschnitt ermöglicht, $\Gamma(\frac12)$ zu ermitteln. @@ -383,8 +388,10 @@ wobei wir \] verwendet haben. Diese Darstellung des Beta-Integrals wird später -% XXX Ort ergänzen +in Satz~\ref{buch:funktionentheorie:satz:spiegelungsformel} dazu verwendet, die Spiegelungsformel für die Gamma-Funktion +\index{Gamma-Funktion!Spiegelungsformel}% +\index{Spiegelungsformel der Gamma-Funktion}% herzuleiten. Eine weitere mögliche Parametrisierung verwendet $t = (1+s)/2$ @@ -408,6 +415,9 @@ B(x,y) \label{buch:rekursion:gamma:beta:symm} \end{equation} +% +% +% \subsubsection{Die Verdoppelungsformel von Legendre} Die trigonometrische Substitution kann dazu verwendet werden, die Legendresche Verdoppelungsformel für die Gamma-Funktion herzuleiten. @@ -419,6 +429,8 @@ Legendresche Verdoppelungsformel für die Gamma-Funktion herzuleiten. 2^{1-2x}\sqrt{\pi} \Gamma(2x) \] +\index{Verdoppelungsformel}% +\index{Gamma-Funktion!Verdoppelungsformel von Legendre}% \end{satz} \begin{proof}[Beweis] -- cgit v1.2.1 From 931871e8c8e9b266b9b626d816a803bbd2c56653 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Fri, 1 Jul 2022 20:55:53 +0200 Subject: more index stuff --- buch/chapters/040-rekursion/beta.tex | 2 ++ 1 file changed, 2 insertions(+) (limited to 'buch/chapters/040-rekursion/beta.tex') diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex b/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex index 35ff758..20e3f0e 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex @@ -234,6 +234,7 @@ Durch Einsetzen der Integralformel im Ausdruck Satz. \begin{satz} +\index{Satz!Beta-Funktion und Gamma-Funktion}% Die Beta-Funktion kann aus der Gamma-Funktion nach \begin{equation} B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} @@ -423,6 +424,7 @@ Die trigonometrische Substitution kann dazu verwendet werden, die Legendresche Verdoppelungsformel für die Gamma-Funktion herzuleiten. \begin{satz}[Legendre] +\index{Satz!Verdoppelungsformel@Verdoppelungsformel für $\Gamma(x)$}% \[ \Gamma(x)\Gamma(x+{\textstyle\frac12}) = -- cgit v1.2.1