From ced982f32f430b7e3b82b3cc062411b8130b0bfd Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Fri, 11 Mar 2022 22:34:32 +0100 Subject: Bohr-Mollerup und Eindeutigkeit der Gamma-Funktion --- buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex | 196 +++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 196 insertions(+) create mode 100644 buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex (limited to 'buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex') diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex b/buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex new file mode 100644 index 0000000..96897be --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex @@ -0,0 +1,196 @@ +% +% bohrmollerup.tex +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\subsection{Der Satz von Bohr-Mollerup +\label{buch:rekursion:subsection:bohr-mollerup}} +Die Integralformel und die Grenzwertdefinition für die Gamma-Funktion +zeigen beide, dass das Problem der Ausdehnung der Fakultät zu einer +Funktion $\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ eine Lösung hat, aber es ist noch +nicht klar, in welchem Sinn dies die einzig mögliche Lösung ist. +Der Satz von Bohr-Mollerup gibt darauf eine Antwort. + +\begin{satz} +\label{buch:satz:bohr-mollerup} +Eine Funktion $f\colon \mathbb{R}^+\to\mathbb{R}$ mit den Eigenschaften +\begin{enumerate}[i)] +\item $f(1)=1$, +\item $f(x+1)=xf(x)$ für alle $x\in\mathbb{R}^+$ und +\item die Funktion $\log f(t)$ ist konvex +\end{enumerate} +ist die Gamma-Funktion: $f(t)=\Gamma(t)$. +\end{satz} + +Für den Beweis verwenden wir die folgende Eigenschaft einer konvexen +Funktion $g(x)$. +Sei +\begin{equation} +S(y,x) = \frac{g(y)-g(x)}{y-x} +\qquad\text{für $y-x$} +\end{equation} +die Steigung der Sekante zwischen den Punkten $(x,g(x))$ und $(y,g(y))$ +des Graphen von $g$. +Da $g$ konvex ist, ist $S(y,x)$ eine monoton wachsende Funktion +der beiden Variablen $x$ und $y$, solange $y>x$. + +\begin{proof}[Beweis] +Wir halten zunächst fest, dass die Bedingungen i) und ii) zur Folge haben, +dass $f(n+1)=n!$ ist für alle positiven natürlichen Zahlen. +Für die Steigung einer Sekante der Funktion $g(x)=\log f(x)$ kann damit +für natürliche Argumente bereits berechnet werden, es ist +\[ +S(n,n+1) += +\frac{\log n! - \log (n-1)!}{n+1-n} += +\frac{\log n + \log (n-1)! - \log(n-1)!}{1} += +\log n +\] +und entsprechend auch $S(n-1,n) = \log(n-1)$. + +\begin{figure} +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\draw (-6,0) -- (6,0); + +\node at (-5,0) [above] {$n-1\mathstrut$}; +\node at (0,0) [above] {$n\mathstrut$}; +\node at (3,0) [above] {$n+x\mathstrut$}; +\node at (5,0) [above] {$n+1\mathstrut$}; + +\node[color=blue] at (-5,-2.3) {$S(n-1,n)\mathstrut$}; +\node[color=red] at (-1.666,-2.3) {$S(n-1,n+x)\mathstrut$}; +\node[color=darkgreen] at (1.666,-2.3) {$S(n,n+x)\mathstrut$}; +\node[color=orange] at (5,-2.3) {$S(n,n+1)\mathstrut$}; + +\node at (-3.333,-2.3) {$<\mathstrut$}; +\node at (0,-2.3) {$<\mathstrut$}; +\node at (3.333,-2.3) {$<\mathstrut$}; + +\draw[color=blue] (-5,0) -- (-5,-2) -- (0,0); +\draw[color=red] (-5,0) -- (-1.666,-2) -- (3,0); +\draw[color=darkgreen] (0,0) -- (1.666,-2) -- (3,0); +\draw[color=orange] (0,0) -- (5,-2) -- (5,0); + +\fill (-5,0) circle[radius=0.08]; +\fill (0,0) circle[radius=0.08]; +\fill (3,0) circle[radius=0.08]; +\fill (5,0) circle[radius=0.08]; + +\draw[double,color=blue] (-5,-2.5) -- (-5,-3.0); +\draw[double,color=orange] (5,-2.5) -- (5,-3.0); + +\node[color=blue] at (-5,-3.3) {$\log (n-1)\mathstrut$}; +\node[color=orange] at (5,-3.3) {$\log (n)\mathstrut$}; + +\end{tikzpicture} +\end{center} +\caption{Für den Beweis des Satzes von Bohr-Mollerup wird die +Sekantensteigung $S(x,y)$ für die Argumente $n-1$, $n$, $n+x$ und $n+1$ +verwendet. +\label{buch:rekursion:fig:bohr-mollerup}} +\end{figure} +Wir wenden jetzt die eben erwähnte Tatsache, dass $S(x,y)$ monoton +wachsend ist, auf die Punkte $n-1$, $n$, $n+x$ und $n+1$ wie +in Abbildung~\ref{buch:rekursion:fig:bohr-mollerup} an, wobei +$0 Date: Sun, 13 Mar 2022 11:05:56 +0100 Subject: add beta distribution graphs --- buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex') diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex b/buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex index 96897be..cd9cadc 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex @@ -172,7 +172,7 @@ erhalten wir (x)_n f(x) < n^x (n-1)! -\\ +\intertext{oder nach Division durch $(x)_n$} %\underbrace{ \frac{(n-1)^x (n-1)!}{(x)_n} %}_{\displaystyle\to \Gamma(x)} -- cgit v1.2.1 From 3a95957a38a1cc8bcd865459a75cda87a2a8b56c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Sat, 18 Jun 2022 21:41:57 +0200 Subject: add new image, stuff about hypergeometrich series --- buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex | 17 +++++++++++++++++ 1 file changed, 17 insertions(+) (limited to 'buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex') diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex b/buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex index cd9cadc..57e503a 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex @@ -5,12 +5,27 @@ % \subsection{Der Satz von Bohr-Mollerup \label{buch:rekursion:subsection:bohr-mollerup}} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.pdf} +\caption{Der Graph der Funktion $\log|\Gamma(x)|$ ist für $x>0$ konvex. +Die blau hinterlegten Bereiche zeigen an, wo die Gamma-Funktion +negative Werte annimmt. +\label{buch:rekursion:gamma:loggammaplot}} +\end{figure} Die Integralformel und die Grenzwertdefinition für die Gamma-Funktion zeigen beide, dass das Problem der Ausdehnung der Fakultät zu einer Funktion $\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ eine Lösung hat, aber es ist noch nicht klar, in welchem Sinn dies die einzig mögliche Lösung ist. Der Satz von Bohr-Mollerup gibt darauf eine Antwort. +Der Graph +in Abbildung~\ref{buch:rekursion:gamma:loggammaplot} +zeigt, dass die Werte der Gamma-Funktion für $x>0$ so schnell +anwachsen, dass sogar die Funktion $\log|\Gamma(x)|$ konvex ist. +Der Satz von Bohr-Mollerup besagt, dass diese Eigenschaft zur +Charakterisierung der Gamma-Funktion verwendet werden kann. + \begin{satz} \label{buch:satz:bohr-mollerup} Eine Funktion $f\colon \mathbb{R}^+\to\mathbb{R}$ mit den Eigenschaften @@ -20,6 +35,8 @@ Eine Funktion $f\colon \mathbb{R}^+\to\mathbb{R}$ mit den Eigenschaften \item die Funktion $\log f(t)$ ist konvex \end{enumerate} ist die Gamma-Funktion: $f(t)=\Gamma(t)$. +\index{Satz!von Bohr-Mollerup}% +\index{Bohr-Mollerup, Satz von}% \end{satz} Für den Beweis verwenden wir die folgende Eigenschaft einer konvexen -- cgit v1.2.1