From 205b65bcb0891d941b60f295876b40121cfe871e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Sat, 18 Dec 2021 17:17:17 +0100 Subject: more info about gamma function --- buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex | 256 +++++++++++++++++++++++++++++++++- 1 file changed, 251 insertions(+), 5 deletions(-) (limited to 'buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex') diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex index 36937c7..9bbbd13 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex @@ -574,17 +574,13 @@ $y(10^k) - \Gamma(\frac{5}{2})$ zusammengefasst. Die Genauigkeit erreicht sechs korrekte Nachkommastellen mit nur 337 Auswertungen des Integranden. -% -% Spiegelformel -% -\subsection{Die Spiegelungsformel} - % % Beta-Integrale % \subsection{Die Beta-Funktion} \begin{definition} +\label{buch:rekursion:gamma:def:beta-funktion} Das Beta-Integral ist das Integral \[ B(x,y) @@ -745,10 +741,260 @@ s^{x-1} Die Beta-Funktion kann aus der Gamma-Funktion nach \begin{equation} B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} +\label{buch:rekursion:gamma:betagamma} \end{equation} berechnet werden. \end{satz} +\subsubsection{Der Wert von $\Gamma(\frac12)$?} +Als Anwendung der Formel~\eqref{buch:rekursion:gamma:betagamma} +untersuchen wir den Fall $y=1-x$. +In diesem Fall wird der Nenner zu $\Gamma(x+1-x)=\Gamma(1)=1$ und damit +\begin{equation} +\Gamma(x)\Gamma(1-x) += +B(x,1-x) += +\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{-x}\,dt. +\label{buch:rekursion:gamma:spiegelung-betaintegral} +\end{equation} +Sofern man in der Lage ist, das Integral auf der rechten Seite von +\eqref{buch:rekursion:gamma:spiegelung-betaintegral} auszuwerten, +kann man eine einfache Beziehung zwischen zwei Werten der Gamma-Funktion +an Stellen, die durch eine Spiegelung an der Geraden +$\operatorname{Re}x=\frac12$ auseinander hervorgehen. +Für $x=\frac12$ wird der Ausdruck besonders einfach: +\[ +\Gamma({\textstyle\frac12})^2 += +\int_0^1 t^{\frac12}(1-t)^{-\frac12}\,dt += +\int_0^1 \sqrt{\frac{t}{1-t}}\,dt. +\] +Mit der Substition $t=\sin^2 s$ wird daraus +\[ +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sqrt{\frac{\sin^2s}{1-\sin^2s}} +2\sin s\cos s +\,ds += +2 +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^2 s\,ds += +2 +\int_0^{\frac{\pi}2} +\frac{1-\cos 2s}{2}\,ds += +\frac{\pi}2-\int_0^{\frac{\pi}2}\cos 2s\,ds, +\] +wobei wir $dt = 2\sin s\cos s\,ds$ verwendet haben. +Da $\cos 2s$ eine im Intervall $[0,\frac{\pi}2]$ bezüglich +des Punktes $\frac{\pi}4$ ungerade Funktion ist, verschwindet +das zweite Integral. +Somit folgt +\begin{equation} +\Gamma({\textstyle\frac12})^2 = \frac{\pi}{2} +\qquad\Rightarrow\qquad +\Gamma({\textstyle\frac12}) = \sqrt{\frac{\pi}{2}}. +\label{buch:rekursion:gamma:gamma12} +\end{equation} +Matt Parker hat auf seinem Youtube-Kanal {\em Stand-up Maths} dieses Resultat +sogar zum Titel eines Videos\footnote{\url{https://youtu.be/dGnIJFzkLI4}} +gemacht: +{\em What is the factorial of $-\nicefrac{1}{2}$?} +Die Antwort ist natürlich nur möglich, indem man +$(-\frac12)!$ als Wert +\[ +(-{\textstyle\frac12})! += +\Gamma(-{\textstyle\frac12}+1) += +\Gamma({\textstyle\frac12}) += +\sqrt{\frac{\pi}2} +\] +der Gamma-Funktion interpretiert. + +\subsubsection{Alternative Parametrisierungen} +Die Substitution $t=\sin^2 s$ hat im vorangegangenen Abschnitt +ermöglicht, $\Gamma(\frac12)$ zu ermitteln. +Die Substition erlaubt aber auch, das Beta-Integral in eine alternative +Form zu bringen. +Aus der Definition~\ref{buch:rekursion:gamma:def:beta-funktion} +wird damit +\begin{align*} +B(x,y) +&= +\int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1}\,dt +\\ +&= +2 +\int_0^{\frac{\pi}2} \sin^{2(x-1)} s\cdot (1-\sin^2 s)^{y-1} +\cdot \sin s\cos s\,ds +\\ +&= +2 +\int_0^{\frac{\pi}2} \sin^{2x-1}s \cos^{2y-1} s\,ds. +\intertext{Unter Verwendung der Formel~\eqref{buch:rekursion:gamma:betagamma}, +die die Beta-Funktion durch Gamma-Funktionen auszudrücken erlaubt, findet +man die Formel} +\int_0^{\frac{\pi}2} \sin^{2x-1}s \cos^{2y-1} s\,ds +&= +\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{2\Gamma(x+y)} +\end{align*} +für ein bestimmtes Integral von Potenzen von Sinus- und Kosinus-Funktionen. + +Die alternative Substitution $t = s/(s+1)$ verwandelt das Beta-Integral +$B(x,y)$ in ein Integral über die positive Halbachse ab: +\begin{align} +B(x,y) +&= +\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt +\notag +\\ +&= +\int_0^\infty +\frac{s^{x-1}}{(s+1)^{x-1}} +\frac{1}{(s+1)^{y-1}} +\frac{ds}{(s+1)^2} +\notag +\\ +&= +\int_0^\infty +\frac{s^{x-1}}{(s+1)^{x+y}}\,ds, +\label{buch:rekursion:gamma:beta:sinf} +\end{align} +wobei wir +\[ +\frac{dt}{ds} += +\frac{d}{ds} +\frac{s}{s+1} += +\frac{(s+1)-s}{(s+1)^2} += +\frac{1}{(s+1)^2} +\] +verwendet haben. +Diese Darstellung des Beta-Integrals wird später +% XXX Ort ergänzen +dazu verwendet, die Spiegelungsformel für die Gamma-Funktion +herzuleiten. + +Eine weitere mögliche Parametrisierung verwendet $t = (1+s)/2$ +mit $dt=\frac12 ds$. +Damit wird das Beta-Integral +\begin{equation} +B(x,y) += +\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt += +\frac12 +\int_{-1}^1 +\biggl(\frac{1+s}2\biggr)^{x-1} +\biggl(\frac{1-s}2\biggr)^{y-1} +\,ds += +2^{1-x-y} +\int_{-1}^1 +(1+s)^{x-1}(1-s)^{y-1} +\,ds. +\label{buch:rekursion:gamma:beta:symm} +\end{equation} + +\subsubsection{Die Verdoppelungsformel von Legendre} +Die trigonometrische Substitution kann dazu verwendet werden, die +Legendresche Verdoppelungsformel für die Gamma-Funktion herzuleiten. + +\begin{satz}[Legendre] +\[ +\Gamma(x)\Gamma(x+{\textstyle\frac12}) += +2^{1-2x}\sqrt{\pi} +\Gamma(2x) +\] +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Der Wert $\Gamma(2x)$ entsteht, wenn man $B(x,x)$ mit Hilfe der +Gamma-Funktion als +\[ +B(x,x) += +\frac{\Gamma(x)^2}{\Gamma(2x)} +\] +schreibt. +Das Ziel ist, $B(x,x)$ auf einem alternativen Weg zu berechnen. + +Mit Hilfe von \eqref{buch:rekursion:gamma:beta:symm} +kann man das Beta-Integral zu +\begin{align*} +B(x,x) +&= +2^{1-2x} +\int_{-1}^1 +(1+s)^{x-1}(1-s)^{x-1} +\,ds += +2^{1-2x} +\int_{-1}^1(1-s^2)^{x-1}\,ds +\end{align*} +vereinfachen. +Der Integrand ist gerade, es folgt +\[ +B(x,x) += +2^{1-2x} +\cdot 2 +\int_0^1(1-s^2)^{x-1}\,ds. +\] +Das Integral kann mit der Substitution $s^2=t$ wieder in die Form +eines Beta-Integrals gebracht werden: +\begin{align*} +2\int_0^1(1-s^2)^{x-1}\,ds +&= +\int_0^1 (1-t)^{x-1} \,\frac{dt}{\sqrt{t}} += +\int_0^1 t^{\frac12-1}(1-t)^{x-1}\,dt += +B({\textstyle\frac12},x). +\end{align*} +In der Substitution haben wir $2s\,ds = dt$ oder $2\,ds = dt/\sqrt{t}$ +verwendet. +Das letzte Beta-Integral kann man nun wieder mit Gamma-Funktionen +schreiben, nämlich als +\[ +B({\textstyle\frac12},x) += +\frac{\Gamma({\textstyle\frac12})\Gamma(x)}{\Gamma(x+{\textstyle\frac12})}. +\] +Setzt man alles zusammen, erhält man jetzt +\begin{align*} +\frac{\Gamma(x)^2}{\Gamma(2x)} +&= +\frac1{2^{2x-1}} +\frac{\Gamma({\textstyle\frac12})\Gamma(x)}{\Gamma(x+{\textstyle\frac12})} +\\ +\Rightarrow\qquad +\Gamma(x)\Gamma(x+{\textstyle\frac12}) +&= +2^{1-2x} +\Gamma({\textstyle\frac12})\Gamma(2x) += +2^{1-2x}\sqrt{\pi}\Gamma(2x), +\end{align*} +wobei wir den bekannten Wert $\Gamma(\frac12)=\sqrt{\pi}$ verwendet haben. +\end{proof} + +Setzt man $x=\frac12$ in die Verdoppelungsformel ein, erhält man +\[ +\Gamma({\textstyle\frac12})\Gamma(1) = 2^{1-2\frac12}\sqrt{\pi}\Gamma(1) +\qquad\Rightarrow\qquad +\Gamma({\textstyle\frac12}) = \sqrt{\pi}, +\] +in Übereinstimmung mit dem bereits bekannten Wert. + \subsubsection{Beta-Funktion und Binomialkoeffizienten} Die Binomialkoeffizienten können mit Hilfe der Fakultät als \begin{equation} -- cgit v1.2.1