From 205b65bcb0891d941b60f295876b40121cfe871e Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Sat, 18 Dec 2021 17:17:17 +0100
Subject: more info about gamma function

---
 buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex | 256 +++++++++++++++++++++++++++++++++-
 1 file changed, 251 insertions(+), 5 deletions(-)

(limited to 'buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex')

diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
index 36937c7..9bbbd13 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
@@ -574,17 +574,13 @@ $y(10^k) - \Gamma(\frac{5}{2})$ zusammengefasst.
 Die Genauigkeit erreicht sechs korrekte Nachkommastellen mit nur
 337 Auswertungen des Integranden.
 
-%
-% Spiegelformel
-%
-\subsection{Die Spiegelungsformel}
-
 %
 % Beta-Integrale
 %
 \subsection{Die Beta-Funktion}
 
 \begin{definition}
+\label{buch:rekursion:gamma:def:beta-funktion}
 Das Beta-Integral ist das Integral
 \[
 B(x,y)
@@ -745,10 +741,260 @@ s^{x-1}
 Die Beta-Funktion kann aus der Gamma-Funktion nach
 \begin{equation}
 B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}
+\label{buch:rekursion:gamma:betagamma}
 \end{equation}
 berechnet werden.
 \end{satz}
 
+\subsubsection{Der Wert von $\Gamma(\frac12)$?}
+Als Anwendung der Formel~\eqref{buch:rekursion:gamma:betagamma}
+untersuchen wir den Fall $y=1-x$.
+In diesem Fall wird der Nenner zu $\Gamma(x+1-x)=\Gamma(1)=1$ und damit
+\begin{equation}
+\Gamma(x)\Gamma(1-x)
+=
+B(x,1-x) 
+=
+\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{-x}\,dt.
+\label{buch:rekursion:gamma:spiegelung-betaintegral}
+\end{equation}
+Sofern man in der Lage ist, das Integral auf der rechten Seite von
+\eqref{buch:rekursion:gamma:spiegelung-betaintegral} auszuwerten,
+kann man eine einfache Beziehung zwischen zwei Werten der Gamma-Funktion
+an Stellen, die durch eine Spiegelung an der Geraden
+$\operatorname{Re}x=\frac12$ auseinander hervorgehen.
+Für $x=\frac12$ wird der Ausdruck besonders einfach:
+\[
+\Gamma({\textstyle\frac12})^2
+=
+\int_0^1 t^{\frac12}(1-t)^{-\frac12}\,dt
+=
+\int_0^1 \sqrt{\frac{t}{1-t}}\,dt.
+\]
+Mit der Substition $t=\sin^2 s$ wird daraus
+\[
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sqrt{\frac{\sin^2s}{1-\sin^2s}}
+2\sin s\cos s
+\,ds
+=
+2
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sin^2 s\,ds
+=
+2
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\frac{1-\cos 2s}{2}\,ds
+=
+\frac{\pi}2-\int_0^{\frac{\pi}2}\cos 2s\,ds,
+\]
+wobei wir $dt = 2\sin s\cos s\,ds$ verwendet haben.
+Da $\cos 2s$ eine im Intervall $[0,\frac{\pi}2]$ bezüglich
+des Punktes $\frac{\pi}4$ ungerade Funktion ist, verschwindet
+das zweite Integral.
+Somit folgt
+\begin{equation}
+\Gamma({\textstyle\frac12})^2 = \frac{\pi}{2}
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\Gamma({\textstyle\frac12}) = \sqrt{\frac{\pi}{2}}.
+\label{buch:rekursion:gamma:gamma12}
+\end{equation}
+Matt Parker hat auf seinem Youtube-Kanal {\em Stand-up Maths} dieses Resultat
+sogar zum Titel eines Videos\footnote{\url{https://youtu.be/dGnIJFzkLI4}}
+gemacht:
+{\em What is the factorial of $-\nicefrac{1}{2}$?}
+Die Antwort ist natürlich nur möglich, indem man
+$(-\frac12)!$ als Wert
+\[
+(-{\textstyle\frac12})!
+=
+\Gamma(-{\textstyle\frac12}+1)
+=
+\Gamma({\textstyle\frac12})
+=
+\sqrt{\frac{\pi}2}
+\]
+der Gamma-Funktion interpretiert.
+
+\subsubsection{Alternative Parametrisierungen}
+Die Substitution $t=\sin^2 s$ hat im vorangegangenen Abschnitt
+ermöglicht, $\Gamma(\frac12)$ zu ermitteln.
+Die Substition erlaubt aber auch, das Beta-Integral in eine alternative
+Form zu bringen.
+Aus der Definition~\ref{buch:rekursion:gamma:def:beta-funktion}
+wird damit
+\begin{align*}
+B(x,y)
+&=
+\int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1}\,dt
+\\
+&=
+2
+\int_0^{\frac{\pi}2} \sin^{2(x-1)} s\cdot (1-\sin^2 s)^{y-1}
+\cdot \sin s\cos s\,ds
+\\
+&=
+2
+\int_0^{\frac{\pi}2} \sin^{2x-1}s \cos^{2y-1} s\,ds.
+\intertext{Unter Verwendung der Formel~\eqref{buch:rekursion:gamma:betagamma},
+die die Beta-Funktion durch Gamma-Funktionen auszudrücken erlaubt, findet
+man die Formel}
+\int_0^{\frac{\pi}2} \sin^{2x-1}s \cos^{2y-1} s\,ds
+&=
+\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{2\Gamma(x+y)}
+\end{align*}
+für ein bestimmtes Integral von Potenzen von Sinus- und Kosinus-Funktionen.
+
+Die alternative Substitution $t = s/(s+1)$ verwandelt das Beta-Integral
+$B(x,y)$ in ein Integral über die positive Halbachse ab:
+\begin{align}
+B(x,y)
+&=
+\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt
+\notag
+\\
+&=
+\int_0^\infty
+\frac{s^{x-1}}{(s+1)^{x-1}}
+\frac{1}{(s+1)^{y-1}}
+\frac{ds}{(s+1)^2}
+\notag
+\\
+&=
+\int_0^\infty
+\frac{s^{x-1}}{(s+1)^{x+y}}\,ds,
+\label{buch:rekursion:gamma:beta:sinf}
+\end{align}
+wobei wir
+\[
+\frac{dt}{ds}
+=
+\frac{d}{ds}
+\frac{s}{s+1}
+=
+\frac{(s+1)-s}{(s+1)^2}
+=
+\frac{1}{(s+1)^2}
+\]
+verwendet haben.
+Diese Darstellung des Beta-Integrals wird später
+% XXX Ort ergänzen
+dazu verwendet, die Spiegelungsformel für die Gamma-Funktion
+herzuleiten.
+
+Eine weitere mögliche Parametrisierung verwendet $t = (1+s)/2$
+mit $dt=\frac12 ds$.
+Damit wird das Beta-Integral
+\begin{equation}
+B(x,y)
+=
+\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt
+=
+\frac12
+\int_{-1}^1
+\biggl(\frac{1+s}2\biggr)^{x-1}
+\biggl(\frac{1-s}2\biggr)^{y-1}
+\,ds
+=
+2^{1-x-y}
+\int_{-1}^1
+(1+s)^{x-1}(1-s)^{y-1}
+\,ds.
+\label{buch:rekursion:gamma:beta:symm}
+\end{equation}
+
+\subsubsection{Die Verdoppelungsformel von Legendre}
+Die trigonometrische Substitution kann dazu verwendet werden, die
+Legendresche Verdoppelungsformel für die Gamma-Funktion herzuleiten.
+
+\begin{satz}[Legendre]
+\[
+\Gamma(x)\Gamma(x+{\textstyle\frac12})
+=
+2^{1-2x}\sqrt{\pi}
+\Gamma(2x)
+\]
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Der Wert $\Gamma(2x)$ entsteht, wenn man $B(x,x)$ mit Hilfe der
+Gamma-Funktion als
+\[
+B(x,x)
+=
+\frac{\Gamma(x)^2}{\Gamma(2x)}
+\]
+schreibt.
+Das Ziel ist, $B(x,x)$ auf einem alternativen Weg zu berechnen.
+
+Mit Hilfe von \eqref{buch:rekursion:gamma:beta:symm}
+kann man das Beta-Integral zu
+\begin{align*}
+B(x,x)
+&=
+2^{1-2x}
+\int_{-1}^1
+(1+s)^{x-1}(1-s)^{x-1}
+\,ds
+=
+2^{1-2x}
+\int_{-1}^1(1-s^2)^{x-1}\,ds
+\end{align*}
+vereinfachen.
+Der Integrand ist gerade, es folgt
+\[
+B(x,x)
+=
+2^{1-2x}
+\cdot 2
+\int_0^1(1-s^2)^{x-1}\,ds.
+\]
+Das Integral kann mit der Substitution $s^2=t$ wieder in die Form
+eines Beta-Integrals gebracht werden:
+\begin{align*}
+2\int_0^1(1-s^2)^{x-1}\,ds
+&=
+\int_0^1 (1-t)^{x-1} \,\frac{dt}{\sqrt{t}}
+=
+\int_0^1 t^{\frac12-1}(1-t)^{x-1}\,dt
+=
+B({\textstyle\frac12},x).
+\end{align*}
+In der Substitution haben wir $2s\,ds = dt$ oder $2\,ds = dt/\sqrt{t}$
+verwendet.
+Das letzte Beta-Integral kann man nun wieder mit Gamma-Funktionen
+schreiben, nämlich als
+\[
+B({\textstyle\frac12},x)
+=
+\frac{\Gamma({\textstyle\frac12})\Gamma(x)}{\Gamma(x+{\textstyle\frac12})}.
+\]
+Setzt man alles zusammen, erhält man jetzt
+\begin{align*}
+\frac{\Gamma(x)^2}{\Gamma(2x)}
+&=
+\frac1{2^{2x-1}}
+\frac{\Gamma({\textstyle\frac12})\Gamma(x)}{\Gamma(x+{\textstyle\frac12})}
+\\
+\Rightarrow\qquad
+\Gamma(x)\Gamma(x+{\textstyle\frac12})
+&=
+2^{1-2x}
+\Gamma({\textstyle\frac12})\Gamma(2x)
+=
+2^{1-2x}\sqrt{\pi}\Gamma(2x),
+\end{align*}
+wobei wir den bekannten Wert $\Gamma(\frac12)=\sqrt{\pi}$ verwendet haben.
+\end{proof}
+
+Setzt man $x=\frac12$ in die Verdoppelungsformel ein, erhält man
+\[
+\Gamma({\textstyle\frac12})\Gamma(1) = 2^{1-2\frac12}\sqrt{\pi}\Gamma(1)
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\Gamma({\textstyle\frac12}) = \sqrt{\pi},
+\]
+in Übereinstimmung mit dem bereits bekannten Wert.
+
 \subsubsection{Beta-Funktion und Binomialkoeffizienten}
 Die Binomialkoeffizienten können mit Hilfe der Fakultät als
 \begin{equation}
-- 
cgit v1.2.1

