From 5bd294f334dc1d99e3db29996482f0f2cd1c8b49 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Wed, 27 Oct 2021 08:51:17 +0200 Subject: add gamma function section --- buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex | 157 ++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 157 insertions(+) create mode 100644 buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex (limited to 'buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex') diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex new file mode 100644 index 0000000..1691fc0 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex @@ -0,0 +1,157 @@ +% +% gamma.tex -- Abschnitt über die Gamma-funktion +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Die Gamma-Funktion +\label{buch:rekursion:section:gamma}} +Die Fakultät $x!$ kann rekursiv durch +\[ + x! = x\cdot (x-1)! \qquad\text{und}\qquad 0!=1 +\] +für alle natürlichen Zahlen $x\in\mathbb{N}$ definiert werden. +Äquivalent damit ist eine Funktion +\begin{equation} +\Gamma(x+1) = x\Gamma(x) +\qquad\text{und}\qquad +\Gamma(1)=1. +\label{buch:rekursion:eqn:gammadef} +\end{equation} +Kann man eine reelle oder komplexe Funktion finden, die die +Funktionalgleichung~\eqref{buch:rekursion:eqn:gammadef} +erfüllt und damit die Fakultät auf beliebige Argumente ausdehnt? + +\subsection{Integralformel für die Gamma-Funktion} +Euler hat die folgende Integraldefinition der Gamma-Funktion gegeben. + +\begin{definition} +\label{buch:rekursion:def:gamma} +Die Gamma-Funktion ist die Funktion +\[ +\Gamma +\colon +\{z\in\mathbb{C} \mid \operatorname{Re}z>0\} +\to \mathbb{C} +: +z +\mapsto +\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}\,dt +\] +\end{definition} + +Man beachte, dass das Integral für $x=0$ nicht definiert ist, eine +Potenzreihenentwicklung um einen Punkt $x_0$ auf der positiven reellen +Achse kann also höchstens den Konvergenzradius $\varrho=|x_0|$ haben. + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/040-rekursion/images/gammaplot.pdf} +\caption{Graph der Gamma-Funktion $z\mapsto\Gamma(z)$ und der alternativen +Funktion $\Gamma(z)+\sin(\pi z)$, die für ganzzahlige Argumente ebenfalls +die Werte der Fakultät annimmt. +\label{buch:rekursion:fig:gamma}} +\end{figure} + +\subsubsection{Alternative Lösungen} +Die Funktion $\Gamma(z)$ ist nicht die einzige Funktion, die natürlichen +Zahlen die Werte $\Gamma(n+1) = n!$ der Fakultät annimmt. +Indem man eine beliebige Funktion $f(z)$ addiert, die auf alle +natürlichen Zahlen verschwindet, also $f(n)=0$ für $n\in\mathbb{N}$, +erhält man eine weitere Funktion, die auf natürlichen Zahlen +die Werte der Fakultät annimmt. +Ein Beispiel einer solchen Funktion ist +\begin{equation} +z\mapsto f(z)=\Gamma(z) + \sin \pi z, +\label{buch:rekursion:eqn:gammaalternative} +\end{equation} +die Funktion $f(z)=\sin\pi z$ verschwindet sogar auf allen ganzen +Zahlen. + +In Abbildung~\ref{buch:rekursion:fig:gamma} ist die Gamma-Funktion +in rot geplotet, die Funktion~\eqref{buch:rekursion:eqn:gammaalternative} +in grün. +Die Punkte $(n,(n-1)!)$ sind in blau bezeichnet, sie sind beiden Graphen +gemeinsam. + +\subsubsection{Pol erster Ordnung bei $z=0$} +Wir haben zu prüfen, dass sowohl der Wert $\Gamma(1)$ korrekt ist als +auch die Rekursionsformel~\eqref{buch:rekursion:eqn:gammadef} gilt. +Der Wert für $z=1$ ist +\begin{align*} +\Gamma(1) +&= +\int_0^\infty t^{1-1}e^{-t}\,dt += +\left[ -e^{-t} \right]_0^\infty += +1. +\end{align*} +Für die Rekursionsformel kann mit Hilfe von partieller Integration +bekommen: +\begin{align*} +\Gamma(z+1) +&= +\int_0^\infty t^{z+1-1}e^{-t}\,dt += +\biggl[-t^{z}e^{-t}\biggr]_0^\infty ++ +\int_0^\infty z t^{z-1}e^{-t}\,dt +\\ +&= +z +\int_0^\infty +t^{z-1}e^{-t}\,dt += +z \Gamma(z). +\end{align*} + +Für $00$ folgt aus der +Funktionalgleichung +\[ +\Gamma(z) = \frac{\Gamma(1+z)}{z}. +\] +Da $\Gamma(1)=1$ ist und $\Gamma$ eine in einer +Umgebung von $1$ stetige Funktion ist, kann sie in der Form +\( +\Gamma(1+z)=\Gamma(1) + zf(z) +\) +schreiben, wobei $f(z)$ eine differenzierbare Funktion ist mit +$f'(1)=\Gamma'(1)$. +Daraus ergibt sich für $\Gamma(z)$ der Ausdruck +\[ +\Gamma(z) = \frac{\Gamma(1)}{z} + f(z) = \frac{1}{z} + f(z). +\] +Die Gamma-Funktion hat daher and er Stelle $z=0$ einen Pol erster Ordnung. + +\subsubsection{Ausdehnung auf $\operatorname{Re}z<0$} +Die Integralformel konvergiert nicht für $\operatorname{Re}z\le 0$. +Durch analytische Fortsetzung, wie sie im +Abschnitt~\ref{buch:funktionentheorie:section:fortsetzung} +beschrieben wird, kann die Funktion auf ganz $\mathbb{C}$ ausgedehnt +werden, mit Ausnahme einzelner Pole. +Die Funktionalgleichung gilt natürlich für alle $z\in\mathbb{C}$, +für die $\Gamma(z)$ definiert ist. +In einer Umgebung von $z=-n$ gilt +\[ +\Gamma(z) += +\frac{\Gamma(z+1)}{z} += +\frac{\Gamma(z+2)}{z(z+1)} += +\frac{\Gamma(z+3)}{z(z+1)(z+2)} += +\dots += +\frac{\Gamma(z+n)}{z(z+1)(z+2)\cdots(z+n-1)} +\] +Keiner der Faktoren im Nenner verschwindet in der Nähe von $z=-n$, der +Zähler hat aber einen Pol erster Ordnung an dieser Stelle. +Daher hat auch der Quotient einen Pol erster Ordnung. +Abbildung~\ref{buch:rekursion:fig:gamma} zeigt die Pole bei den +nicht negativen ganzen Zahlen. + + + + + -- cgit v1.2.1