From c247f6fde1c0c41da9b1957b341190bc7e133a0d Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Tue, 28 Dec 2021 13:39:03 +0100
Subject: improve readability

---
 buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex | 515 +---------------------------------
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index e3ceefe..dc0141f 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
@@ -428,6 +428,14 @@ Man beachte, dass das Integral für $x=0$ nicht definiert ist, eine
 Potenzreihenentwicklung um einen Punkt $x_0$ auf der positiven reellen
 Achse kann also höchstens den Konvergenzradius $\varrho=|x_0|$ haben.
 
+Die Definition~\ref{buch:rekursion:def:gamma} wird erst später in
+\eqref{buch:rekursion:gamma:integralbeweis} auf
+Seite~\pageref{buch:rekursion:gamma:integralbeweis} gegeben.
+Im Folgenden wird zunächst verifiziert, dass die Integraldarstellung
+die richtigen Werte für natürliche Argumente hat, es wird aber auch
+gezeigt, dass dies nicht ausreicht um zu schliessen, dass die
+Integralformel mit der früher definierten Gamma-Funktion übereinstimmt.
+
 \subsubsection{Funktionalgleichung für die Integraldefinition}
 Tatsächlich ist es einfach nachzuprüfen, dass die Funktionalgleichung
 der Gamma-Funktion auch für die Definition~\ref{buch:rekursion:def:gamma}
@@ -508,7 +516,7 @@ Die Punkte $(n,(n-1)!)$ sind in blau bezeichnet, sie sind beiden Graphen
 gemeinsam.
 
 
-% XXX Beweis der Integraldarstellung der Gamma-Funktion
+
 
 \subsubsection{Laplace-Transformierte der Potenzfunktion}
 Die Integraldarstellung der Gamma-Funktion erlaubt jetzt auch, die
@@ -659,511 +667,6 @@ $y(10^k) - \Gamma(\frac{5}{2})$ zusammengefasst.
 Die Genauigkeit erreicht sechs korrekte Nachkommastellen mit nur
 337 Auswertungen des Integranden.
 
-%%
-%% Beta-Integrale
-%%
-%\subsection{Die Beta-Funktion}
-%
-%\begin{definition}
-%\label{buch:rekursion:gamma:def:beta-funktion}
-%Das Beta-Integral ist das Integral
-%\[
-%B(x,y)
-%=
-%\int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1}\,dt
-%\]
-%für $\operatorname{Re}x>0$, $\operatorname{Re}y>0$.
-%\end{definition}
-%
-%Aus der Definition kann man sofort ablesen, dass $B(x,y)=B(y,x)$.
-%Für $y=1$ folgt ausserdem
-%\[
-%B(x,1) = \int_0^1 t^{x-1}\,dt = \biggl[ \frac{t^x}{x}\biggr]_0^1 = \frac{1}{x}.
-%\]
-%Speziell gilt $B(1,1)=1$.
-%
-%\subsubsection{Rekursionsformeln für das Beta-Integral}
-%Aus der Definition folgt direkt
-%\begin{align*}
-%B(x,y+1)
-%&=
-%\int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y+1-1}\,dt
-%=
-%\int_0^1 (1-t) t^{x-1} (1-t)^{y-1}\,dt
-%\\
-%&=
-%\int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1}\,dt
-%-
-%\int_0^1 t^{x} (1-t)^{y-1}\,dt
-%\\
-%&=
-%B(x,y) - B(x+1,y)
-%\end{align*}
-%oder
-%\begin{equation}
-%B(x+1,y) = B(x,y) - B(x,y+1).
-%\label{buch:rekursion:gamma:betarek1}
-%\end{equation}
-%%
-%%XXX Vergleich mit der Rekursionsformel für Binomialkoeffizienten
-%%
-%Durch partielle Integration kann man eine weitere Rekursionsformel finden.
-%Dazu berechnet man
-%\begin{align}
-%B(x,y+1)
-%&=
-%\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y}\,dt
-%\notag
-%\\
-%&=
-%\biggl[\frac{t^x}x(1-t)^y\biggr]_0^1
-%+
-%\frac{y}x \int_0^1 t^x(1-t)^{y-1}\,dt
-%\notag
-%\\
-%&=
-% \frac{y}x B(x+1,y).
-%\label{buch:rekursion:gamma:betarek2}
-%\end{align}
-%Durch Gleichsetzen
-%\eqref{buch:rekursion:gamma:betarek1}
-%und
-%\eqref{buch:rekursion:gamma:betarek2}
-%entsteht die Rekursionsformel
-%\[
-%B(x,y)-B(x,y+1)
-%=
-%B(x+1,y)
-%=
-%\frac{x}{y}B(x,y+1)
-%\]
-%oder
-%\begin{equation}
-%B(x,y)
-%=
-%\frac{x+y}{y}B(x,y+1).
-%\label{buch:rekursion:gamma:betarek3}
-%\end{equation}
-%
-%\subsubsection{Beta-Funktion und Gamma-Funktion}
-%Die Rekursionsbeziehung~\eqref{buch:rekursion:gamma:betarek3}
-%kann jetzt dazu verwendet werden, eine Darstellung der Beta-Funktion
-%durch die Gamma-Funktion zu finden.
-%Durch $n$-fache Anwendung von \eqref{buch:rekursion:gamma:betarek3}
-%ergibt sich zunächst
-%\begin{align*}
-%B(x,y)
-%&=
-%\frac{x+y}{y}
-%B(x,y+1)
-%=
-%\frac{x+y}{y}
-%\frac{x+y+1}{y+1}
-%B(x,y+2)
-%\\
-%&=
-%\frac{x+y}{y}
-%\frac{x+y+1}{y+1}
-%\cdot
-%\ldots
-%\cdot
-%\frac{x+y+n-1}{y+n-1}
-%B(x,y+n)
-%=
-%\frac{(x+y)_n}{(y)_n}
-%B(x,y+n)
-%\intertext{Die Beta-Funktion auf der rechten Seite kann als Integral
-%geschrieben werden:}
-%&=
-%\frac{(x+y)_n}{(y)_n}
-%\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y+n-1}\,dt.
-%\end{align*}
-%Wir halten dieses Zwischenresultat für spätere Verwendung fest.
-%
-%\begin{lemma}
-%\label{buch:rekursion:gamma:betareklemma}
-%Für $n\in\mathbb{N}$ gilt
-%\[
-%B(x,y+n) = \frac{(y)_n}{(x+y)_n} B(x,y).
-%\]
-%\end{lemma}
-%
-%Wir streben an, mit dem Grenzübergang $n\to\infty$ aus den
-%Pochhammer-Symbolen Gamma-Funktionen zu machen, dazu müssen gemäss
-%Definition~\ref{buch:rekursion:gamma:def:definition} weitere Faktoren
-%$1/(n!\,n^{x-1})$ vorhanden sein.
-%Wir erweitern geeignet und nehmen die übrig bleibenden Faktoren in
-%das Integral.
-%So ergibt sich
-%\begin{align*}
-%B(x,y)
-%&=
-%\frac{(x+y)_n}{n!\, n^{x+y-1}}
-%\frac{n!\,n^{y-1}}{(y)_n}
-%\int_0^1 n^{x} t^{x-1}(1-t)^{y+n-1}\,dt.
-%\intertext{Mit der Substition $s/n=t$ wird das Integral zu einem Integral
-%über das Interval $[0,n]$}
-%&=
-%\frac{(x+y)_n}{n!\, n^{x+y-1}}
-%\frac{n!\,n^{y-1}}{(y)_n}
-%\int_0^n
-%n^{x}
-%\biggl(\frac{s}{n}\biggr)^{x-1}
-%\biggl(1-\frac{s}{n}\biggr)^{y+n-1}
-%\,\frac{ds}{n}.
-%\\
-%&=
-%\frac{(x+y)_n}{n!\, n^{x+y-1}}
-%\frac{n!\,n^{y-1}}{(y)_n}
-%\int_0^n
-%n^{x-1}
-%\biggl(\frac{s}{n}\biggr)^{x-1}
-%\biggl(1-\frac{s}{n}\biggr)^{y+n-1}
-%\,ds.
-%\intertext{Beim Grenzübergang $n\to\infty$ wird daraus}
-%&=
-%\underbrace{\frac{(x+y)_n}{n!\, n^{x+y-1}}}_{\displaystyle \to 1/\Gamma(x+y)}
-%\underbrace{\frac{n!\,n^{y-1}}{(y)_n}}_{\displaystyle\to \Gamma(y)}
-%\int_0^n
-%s^{x-1}
-%\underbrace{\biggl(1-\frac{s}{n}\biggr)^{n}}_{\displaystyle\to e^{-s}}
-%\underbrace{\biggl(1-\frac{s}{n}\biggr)^{y-1}}_{\displaystyle\to 1}
-%\,ds.
-%\\
-%&\to \frac{\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \int_0^\infty s^{x-1}e^{-s}\,ds
-%=
-%\frac{\Gamma(y)\Gamma(x)}{\Gamma(x+y)}.
-%\end{align*}
-%
-%\begin{satz}
-%Die Beta-Funktion kann aus der Gamma-Funktion nach
-%\begin{equation}
-%B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}
-%\label{buch:rekursion:gamma:betagamma}
-%\end{equation}
-%berechnet werden.
-%\end{satz}
-%
-%\subsubsection{Der Wert von $\Gamma(\frac12)$?}
-%Als Anwendung der Formel~\eqref{buch:rekursion:gamma:betagamma}
-%untersuchen wir den Fall $y=1-x$.
-%In diesem Fall wird der Nenner zu $\Gamma(x+1-x)=\Gamma(1)=1$ und damit
-%\begin{equation}
-%\Gamma(x)\Gamma(1-x)
-%=
-%B(x,1-x) 
-%=
-%\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{-x}\,dt.
-%\label{buch:rekursion:gamma:spiegelung-betaintegral}
-%\end{equation}
-%Sofern man in der Lage ist, das Integral auf der rechten Seite von
-%\eqref{buch:rekursion:gamma:spiegelung-betaintegral} auszuwerten,
-%kann man eine einfache Beziehung zwischen zwei Werten der Gamma-Funktion
-%an Stellen, die durch eine Spiegelung an der Geraden
-%$\operatorname{Re}x=\frac12$ auseinander hervorgehen.
-%Für $x=\frac12$ wird der Ausdruck besonders einfach:
-%\[
-%\Gamma({\textstyle\frac12})^2
-%=
-%\int_0^1 t^{\frac12}(1-t)^{-\frac12}\,dt
-%=
-%\int_0^1 \sqrt{\frac{t}{1-t}}\,dt.
-%\]
-%Mit der Substition $t=\sin^2 s$ wird daraus
-%\[
-%\int_0^{\frac{\pi}2}
-%\sqrt{\frac{\sin^2s}{1-\sin^2s}}
-%2\sin s\cos s
-%\,ds
-%=
-%2
-%\int_0^{\frac{\pi}2}
-%\sin^2 s\,ds
-%=
-%2
-%\int_0^{\frac{\pi}2}
-%\frac{1-\cos 2s}{2}\,ds
-%=
-%\frac{\pi}2-\int_0^{\frac{\pi}2}\cos 2s\,ds,
-%\]
-%wobei wir $dt = 2\sin s\cos s\,ds$ verwendet haben.
-%Da $\cos 2s$ eine im Intervall $[0,\frac{\pi}2]$ bezüglich
-%des Punktes $\frac{\pi}4$ ungerade Funktion ist, verschwindet
-%das zweite Integral.
-%Somit folgt
-%\begin{equation}
-%\Gamma({\textstyle\frac12})^2 = \frac{\pi}{2}
-%\qquad\Rightarrow\qquad
-%\Gamma({\textstyle\frac12}) = \sqrt{\frac{\pi}{2}}.
-%\label{buch:rekursion:gamma:gamma12}
-%\end{equation}
-%Matt Parker hat auf seinem Youtube-Kanal {\em Stand-up Maths} dieses Resultat
-%sogar zum Titel eines Videos\footnote{\url{https://youtu.be/dGnIJFzkLI4}}
-%gemacht:
-%{\em What is the factorial of $-\nicefrac{1}{2}$?}
-%Die Antwort ist natürlich nur möglich, indem man
-%$(-\frac12)!$ als Wert
-%\[
-%(-{\textstyle\frac12})!
-%=
-%\Gamma(-{\textstyle\frac12}+1)
-%=
-%\Gamma({\textstyle\frac12})
-%=
-%\sqrt{\frac{\pi}2}
-%\]
-%der Gamma-Funktion interpretiert.
-%
-%\subsubsection{Alternative Parametrisierungen}
-%Die Substitution $t=\sin^2 s$ hat im vorangegangenen Abschnitt
-%ermöglicht, $\Gamma(\frac12)$ zu ermitteln.
-%Die Substition erlaubt aber auch, das Beta-Integral in eine alternative
-%Form zu bringen.
-%Aus der Definition~\ref{buch:rekursion:gamma:def:beta-funktion}
-%wird damit
-%\begin{align*}
-%B(x,y)
-%&=
-%\int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1}\,dt
-%\\
-%&=
-%2
-%\int_0^{\frac{\pi}2} \sin^{2(x-1)} s\cdot (1-\sin^2 s)^{y-1}
-%\cdot \sin s\cos s\,ds
-%\\
-%&=
-%2
-%\int_0^{\frac{\pi}2} \sin^{2x-1}s \cos^{2y-1} s\,ds.
-%\intertext{Unter Verwendung der Formel~\eqref{buch:rekursion:gamma:betagamma},
-%die die Beta-Funktion durch Gamma-Funktionen auszudrücken erlaubt, findet
-%man die Formel}
-%\int_0^{\frac{\pi}2} \sin^{2x-1}s \cos^{2y-1} s\,ds
-%&=
-%\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{2\Gamma(x+y)}
-%\end{align*}
-%für ein bestimmtes Integral von Potenzen von Sinus- und Kosinus-Funktionen.
-%
-%Die alternative Substitution $t = s/(s+1)$ verwandelt das Beta-Integral
-%$B(x,y)$ in ein Integral über die positive Halbachse ab:
-%\begin{align}
-%B(x,y)
-%&=
-%\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt
-%\notag
-%\\
-%&=
-%\int_0^\infty
-%\frac{s^{x-1}}{(s+1)^{x-1}}
-%\frac{1}{(s+1)^{y-1}}
-%\frac{ds}{(s+1)^2}
-%\notag
-%\\
-%&=
-%\int_0^\infty
-%\frac{s^{x-1}}{(s+1)^{x+y}}\,ds,
-%\label{buch:rekursion:gamma:beta:sinf}
-%\end{align}
-%wobei wir
-%\[
-%\frac{dt}{ds}
-%=
-%\frac{d}{ds}
-%\frac{s}{s+1}
-%=
-%\frac{(s+1)-s}{(s+1)^2}
-%=
-%\frac{1}{(s+1)^2}
-%\]
-%verwendet haben.
-%Diese Darstellung des Beta-Integrals wird später
-%% XXX Ort ergänzen
-%dazu verwendet, die Spiegelungsformel für die Gamma-Funktion
-%herzuleiten.
-%
-%Eine weitere mögliche Parametrisierung verwendet $t = (1+s)/2$
-%mit $dt=\frac12 ds$.
-%Damit wird das Beta-Integral
-%\begin{equation}
-%B(x,y)
-%=
-%\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt
-%=
-%\frac12
-%\int_{-1}^1
-%\biggl(\frac{1+s}2\biggr)^{x-1}
-%\biggl(\frac{1-s}2\biggr)^{y-1}
-%\,ds
-%=
-%2^{1-x-y}
-%\int_{-1}^1
-%(1+s)^{x-1}(1-s)^{y-1}
-%\,ds.
-%\label{buch:rekursion:gamma:beta:symm}
-%\end{equation}
-%
-%\subsubsection{Die Verdoppelungsformel von Legendre}
-%Die trigonometrische Substitution kann dazu verwendet werden, die
-%Legendresche Verdoppelungsformel für die Gamma-Funktion herzuleiten.
-%
-%\begin{satz}[Legendre]
-%\[
-%\Gamma(x)\Gamma(x+{\textstyle\frac12})
-%=
-%2^{1-2x}\sqrt{\pi}
-%\Gamma(2x)
-%\]
-%\end{satz}
-%
-%\begin{proof}[Beweis]
-%Der Wert $\Gamma(2x)$ entsteht, wenn man $B(x,x)$ mit Hilfe der
-%Gamma-Funktion als
-%\[
-%B(x,x)
-%=
-%\frac{\Gamma(x)^2}{\Gamma(2x)}
-%\]
-%schreibt.
-%Das Ziel ist, $B(x,x)$ auf einem alternativen Weg zu berechnen.
-%
-%Mit Hilfe von \eqref{buch:rekursion:gamma:beta:symm}
-%kann man das Beta-Integral zu
-%\begin{align*}
-%B(x,x)
-%&=
-%2^{1-2x}
-%\int_{-1}^1
-%(1+s)^{x-1}(1-s)^{x-1}
-%\,ds
-%=
-%2^{1-2x}
-%\int_{-1}^1(1-s^2)^{x-1}\,ds
-%\end{align*}
-%vereinfachen.
-%Der Integrand ist gerade, es folgt
-%\[
-%B(x,x)
-%=
-%2^{1-2x}
-%\cdot 2
-%\int_0^1(1-s^2)^{x-1}\,ds.
-%\]
-%Das Integral kann mit der Substitution $s^2=t$ wieder in die Form
-%eines Beta-Integrals gebracht werden:
-%\begin{align*}
-%2\int_0^1(1-s^2)^{x-1}\,ds
-%&=
-%\int_0^1 (1-t)^{x-1} \,\frac{dt}{\sqrt{t}}
-%=
-%\int_0^1 t^{\frac12-1}(1-t)^{x-1}\,dt
-%=
-%B({\textstyle\frac12},x).
-%\end{align*}
-%In der Substitution haben wir $2s\,ds = dt$ oder $2\,ds = dt/\sqrt{t}$
-%verwendet.
-%Das letzte Beta-Integral kann man nun wieder mit Gamma-Funktionen
-%schreiben, nämlich als
-%\[
-%B({\textstyle\frac12},x)
-%=
-%\frac{\Gamma({\textstyle\frac12})\Gamma(x)}{\Gamma(x+{\textstyle\frac12})}.
-%\]
-%Setzt man alles zusammen, erhält man jetzt
-%\begin{align*}
-%\frac{\Gamma(x)^2}{\Gamma(2x)}
-%&=
-%\frac1{2^{2x-1}}
-%\frac{\Gamma({\textstyle\frac12})\Gamma(x)}{\Gamma(x+{\textstyle\frac12})}
-%\\
-%\Rightarrow\qquad
-%\Gamma(x)\Gamma(x+{\textstyle\frac12})
-%&=
-%2^{1-2x}
-%\Gamma({\textstyle\frac12})\Gamma(2x)
-%=
-%2^{1-2x}\sqrt{\pi}\Gamma(2x),
-%\end{align*}
-%wobei wir den bekannten Wert $\Gamma(\frac12)=\sqrt{\pi}$ verwendet haben.
-%\end{proof}
-%
-%Setzt man $x=\frac12$ in die Verdoppelungsformel ein, erhält man
-%\[
-%\Gamma({\textstyle\frac12})\Gamma(1) = 2^{1-2\frac12}\sqrt{\pi}\Gamma(1)
-%\qquad\Rightarrow\qquad
-%\Gamma({\textstyle\frac12}) = \sqrt{\pi},
-%\]
-%in Übereinstimmung mit dem bereits bekannten Wert.
-%
-%\subsubsection{Beta-Funktion und Binomialkoeffizienten}
-%Die Binomialkoeffizienten können mit Hilfe der Fakultät als
-%\begin{equation}
-%\binom{n}{k}
-%=
-%\frac{n!}{(n-k)!\,k!}
-%=
-%\frac{\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k-1)\Gamma(k-1)}
-%=
-%\frac{(n-2)\Gamma(n-2)}{\Gamma(n-k-1)\Gamma(k-1)}
-%=
-%\frac{n-2}{B(n-k-1,k-1)}
-%\label{buch:rekursion:gamma:binombeta}
-%\end{equation}
-%geschrieben werden.
-%Die Rekursionsbeziehung
-%\[
-%\binom{n+1}{k} = \binom{n}{k-1} + \binom{n}{k}
-%\]
-%der Binomialkoeffizienten erzeugt das vertraute Pascal-Dreieck,
-%die Formel \eqref{buch:rekursion:gamma:binombeta} für die
-%Binomialkoeffizienten macht daraus
-%\[
-%\frac{n-1}{B(n-k,k-1)}
-%=
-%\frac{n-2}{B(n-k,k-2)}
-%+
-%\frac{n-2}{B(n-k-1,k-1)},
-%\]
-%die für ganzzahlige Argumente gilt.
-%Wir wollen nachrechnen, dass dies für beliebige Argumente gilt.
-%\begin{align*}
-%\frac{(n-1)\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-1)}
-%&=
-%\frac{(n-2)\Gamma(n-2)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-2)}
-%+
-%\frac{(n-2)\Gamma(n-2)}{\Gamma(n-k-1)\Gamma(k-1)}
-%\\
-%\frac{\Gamma(n)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-1)}
-%&=
-%\frac{\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-2)}
-%+
-%\frac{\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k-1)\Gamma(k-1)}
-%\intertext{Durch Zusammenfassen der Faktoren im Zähler mit Hilfe
-%der Rekursionsformel für die Gamma-Funktion und Multiplizieren
-%mit dem gemeinsamen Nenner
-%$\Gamma(n-k)\Gamma(k-1)=(n-k-1)\Gamma(n-k-1)(k-2)\Gamma(k-2)$ wird daraus}
-%\Gamma(n)
-%&=
-%(k-2)
-%\Gamma(n-1)
-%+
-%(n-k-1)
-%\Gamma(n-1)
-%\intertext{Indem wir die Rekursionsformel für die Gamma-Funktion auf
-%die rechte Seite anwenden können wir erreichen, dass in allen Termen
-%ein Faktor
-%$\Gamma(n-1)$ auftritt:}
-%(n-1)\Gamma(n-1)
-%&=
-%(k-2)\Gamma(n-1)
-%+
-%(n+k-1)\Gamma(n-1)
-%\\
-%n-1
-%&=
-%k-2
-%+
-%n-k-1
-%\end{align*}
-%
 
 %
 %
-- 
cgit v1.2.1

