From ced982f32f430b7e3b82b3cc062411b8130b0bfd Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Fri, 11 Mar 2022 22:34:32 +0100
Subject: Bohr-Mollerup und Eindeutigkeit der Gamma-Funktion

---
 buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex | 2 ++
 1 file changed, 2 insertions(+)

(limited to 'buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex')

diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
index 737cf7f..af5d572 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
@@ -714,4 +714,6 @@ Die Genauigkeit erreicht sechs korrekte Nachkommastellen mit nur
 %
 %
 %
+\input{chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex}
+\input{chapters/040-rekursion/integral.tex}
 
-- 
cgit v1.2.1


From 97931f8f854d0b18dc5c0cb3cb2fecae922f81a2 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Sun, 13 Mar 2022 11:05:56 +0100
Subject: add beta distribution graphs

---
 buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex | 25 ++++++++++++++++++-------
 1 file changed, 18 insertions(+), 7 deletions(-)

(limited to 'buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex')

diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
index af5d572..7d4453b 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
@@ -651,8 +651,11 @@ Abschnitt~\ref{buch:funktionentheorie:section:fortsetzung}
 beschrieben wird, kann die Funktion auf ganz $\mathbb{C}$ ausgedehnt
 werden, mit Ausnahme einzelner Pole.
 Die Funktionalgleichung gilt natürlich für alle $z\in\mathbb{C}$,
-für die $\Gamma(z)$ definiert ist.
-In einer Umgebung von $z=-n$ gilt
+für die $\Gamma(z)$ definiert ist, nicht nur für diejenigen $z$, für
+die das Integral konvergiert. 
+Wir können Sie daher verwenden, um das Argument in den Bereich
+zu bringen, wo das Integral zur Berechnung verwendet werden kann.
+Dazu berechnen wir
 \[
 \Gamma(z)
 =
@@ -665,12 +668,20 @@ In einer Umgebung von $z=-n$ gilt
 \dots
 =
 \frac{\Gamma(z+n)}{z(z+1)(z+2)\cdots(z+n-1)}
+=
+\frac{\Gamma(z+n)}{(z)_n}.
 \]
-Keiner der Faktoren im Nenner verschwindet in der Nähe von $z=-n$, der
-Zähler hat aber einen Pol erster Ordnung an dieser Stelle.
-Daher hat auch der Quotient einen Pol erster Ordnung.
-Abbildung~\ref{buch:rekursion:fig:gamma} zeigt die Pole bei den
-nicht negativen ganzen Zahlen.
+Dies gilt für jedes natürlich $n$.
+Für $n$ gross genug, genauer für 
+$n\ge |\operatorname{Re}z|$,
+ist $\operatorname{Re}(z+n)=\operatorname{Re}z + n>0$ und damit
+kann $\Gamma(z+n)$ mit der Integralformel berechnet werden.
+
+Die Gamma-Funktion hat keine Nullstellen, aber in der Nähe von $z=-n$
+hat der Nenner eine Nullstelle erster Ordnung.
+Somit hat $\Gamma(z)$ Pole erster Ordnung bei den negativen
+ganzen Zahlen und bei $0$, wie sie in
+Abbildung~\ref{buch:rekursion:fig:gamma} gezeigt werden.
 
 \subsubsection{Numerische Berechnung}
 \begin{table}
-- 
cgit v1.2.1


From e71c0efc46317cd9a2e1acb2304b0adadfc08da3 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Thu, 16 Jun 2022 22:17:47 +0200
Subject: some fixes in chapter 4

---
 buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex | 6 +++---
 1 file changed, 3 insertions(+), 3 deletions(-)

(limited to 'buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex')

diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
index 7d4453b..8c02752 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
@@ -480,8 +480,8 @@ ganzzahlige Argumente übereinstimmen.
 Der folgende Abschnitt macht deutlich, dass es sehr viele Funktionen gibt,
 die ebenfalls die Funktionalgleichung erfüllen.
 Eine vollständige Rechtfertigung für diese Definition wird später
-in Abschnitt~\ref{buch:rekursion:gamma:subsection:beta}
-\eqref{buch:rekursion:gamma:integralbeweis}
+in Abschnitt~\ref{buch:rekursion:gamma:subsection:integralbeweis}
+in Formel~\eqref{buch:rekursion:gamma:integralbeweis}
 auf Seite~\pageref{buch:rekursion:gamma:integralbeweis}
 gegeben.
 
@@ -511,7 +511,7 @@ der Gamma-Funktion und berechnen
 \int_{-\infty}^\infty e^{-s^2}\,ds
 =
 \sqrt{\pi}.
-\label{buch:rekursion:gamma:betagamma}
+\label{buch:rekursion:gamma:wert12}
 \end{align}
 Der Integrand im letzten Integral ist die Wahrscheinlichkeitsdichte
 einer Normalverteilung, deren Integral wohlbekannt ist.
-- 
cgit v1.2.1


From 6893688fccb63844102d8f1d728302d4eb823d68 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Sat, 18 Jun 2022 11:01:07 +0200
Subject: add new graphs

---
 buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex | 130 ++++++++++++++++++++++++++++------
 1 file changed, 110 insertions(+), 20 deletions(-)

(limited to 'buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex')

diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
index 8c02752..e4dfa9a 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
@@ -203,7 +203,41 @@ x\lim_{n\to\infty}
 Weil $n/(n+1)\to 1$ ist und die Funktion $z\mapsto z^{x-1}$ für alle
 nach der Definition zulässigen Werte von $x$ eine stetige Funktion ist.
 
+%
+%
+%
 \subsubsection{Numerische Unzulänglichkeiten der Grenzwertdefinition}
+\begin{table}
+\centering
+%\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}l<{$}|>{$}l<{$}|}
+\hline
+\log_{10} n&           n&n!n^{x-1}/(x)_n\mathstrut     &       \text{Fehler%
+\vrule height12pt depth6pt width0pt} \\
+\hline
+\text{\vrule height12pt depth0pt width0pt} 
+          1&          10&1.\underline{7}947392559855804&0.0222854050800643\\
+          2&         100&1.\underline{77}46707942830697&0.0022169433775536\\
+          3&        1000&1.\underline{772}6754214755178&0.0002215705700017\\
+          4&       10000&1.\underline{7724}760067171375&0.0000221558116213\\
+          5&      100000&1.\underline{77245}60664742375&0.0000022155687214\\
+          6&     1000000&1.\underline{77245}40724623101&0.0000002215567940\\
+          7&    10000000&1.\underline{7724538}730613721&0.0000000221558560\\
+          8&   100000000&1.\underline{77245385}31233258&0.0000000022178097\\
+          9&  1000000000&1.\underline{77245385}11320680&0.0000000002265519\\
+         10& 10000000000&1.\underline{772453850}9261316&0.0000000000206155\\
+         11&100000000000&1.\underline{77245385}14549788&0.0000000005494627\\
+           &      \infty&1.\underline{7724538509055161}&
+\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt} \\
+\hline
+\end{tabular}
+\caption{Numerische Berechnung mit der Grenzwertdefinition
+und rekursiver Berechnung von $n!/(x)_n$ mit Hilfe der Folge
+\eqref{buch:rekursion:gamma:pnfolge}.
+Die Konvergenz ist sehr langsam, die Anzahl korrekter Stellen
+wächst logarithmisch mit $n$.
+\label{buch:rekursion:gamma:produktberechnung}}
+\end{table}
 Die Grenzwertdefinition~\ref{buch:rekursion:gamma:def:definition}
 ist zwar zweifellos richtig, kann aber nicht für die numerische 
 Berechnung der Gamma-Funktion verwendet werden.
@@ -237,6 +271,24 @@ ist.
 Die Approximation mit Hilfe der Grenzwertdefinition kann also
 grundsätzlich nicht mehr als zwei korrekte Nachkommastellen liefern.
 
+Den Quotienten $n!/(x)_n$ kann man mit Hilfe der Rekursionsformel
+\begin{equation}
+p_n = p_{n-1}\cdot \frac{n}{x+n-1},\qquad
+p_0 = 0
+\label{buch:rekursion:gamma:pnfolge}
+\end{equation}
+etwas effizienter berechnen. 
+Insbesondere umgeht man damit das Problem, dass $n!$ den Wertebereich 
+des \texttt{double} Datentyps sprengt.
+Der Wert der Gamma-Funktion kann dann durch $p_nn^{x-1}$ approximiert
+werden.
+Die Tabelle~\ref{buch:rekursion:gamma:produktberechnung} fasst die
+Resultate zusammen und zeigt, dass die Konvergenz logarithmisch ist:
+die Anzahl korrekter Nachkommastellen ist $\log_{10}n$.
+
+%
+% Produktformel
+%
 \subsection{Produktformel}
 Ein möglicher Ausweg aus den numerischen Schwierigkeiten mit der
 Grenzwertdefinition ist, den schnell wachsenden Faktor $n!$
@@ -253,8 +305,10 @@ xe^{\gamma x}
 \prod_{k=1}^\infty
 \biggl(1+\frac{x}k\biggr)\,e^{-\frac{x}{k}},
 \label{buch:rekursion:gamma:eqn:produktformel}
+\index{Gamma-Funktion!Produktformel}%
 \end{equation}
 wobei $\gamma$ die Euler-Mascheronische Konstante
+\index{Euler-Mascheronische Konstante}%
 \[
 \gamma
 =
@@ -368,16 +422,20 @@ vollständig bewiesen.
 
 \begin{table}
 \centering
-\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
 \hline
-k &  \Gamma(\frac12,n) & \Gamma(\frac12) - \Gamma(\frac12,n) \\
+k & n &  \Gamma(\frac12,n) & \Gamma(\frac12) - \Gamma(\frac12,n)%
+\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt} \\
 \hline
-1 & 1.\underline{7}518166478 & -0.0206372031 \\
-2 & 1.\underline{77}02543372 & -0.0021995137 \\
-3 & 1.\underline{772}2324556 & -0.0002213953 \\
-4 & 1.\underline{7724}316968 & -0.0000221541 \\
-5 & 1.\underline{77245}16354 & -0.0000022156 \\
-6 & 1.\underline{772453}6293 & -0.0000002216 \\
+\text{\vrule height12pt depth0pt width0pt} 
+     1&     10& 1.\underline{7}518166478& -0.0206372031 \\
+     2&    100& 1.\underline{77}02543372& -0.0021995137 \\
+     3&   1000& 1.\underline{772}2324556& -0.0002213953 \\
+     4&  10000& 1.\underline{7724}316968& -0.0000221541 \\
+     5& 100000& 1.\underline{77245}16354& -0.0000022156 \\
+     6&1000000& 1.\underline{772453}6293& -0.0000002216 \\
+\infty&       & 1.\underline{7724538509}&
+\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt} \\
 \hline
 \end{tabular}
 \caption{Werte $\Gamma(\frac12,n)$ von $\Gamma(\frac12)$ berechnet mit
@@ -385,6 +443,9 @@ $n=10^k$ Faktoren der
 Produktformel~\eqref{buch:rekursion:gamma:eqn:produktformel}
 und der zugehörige Fehler.
 Die korrekten Nachkommastellen sind unterstrichen.
+Die Konvergenz ist genau gleich langsam wie in der Berechnung mit
+Hilfe der Grenzwert-Definition in
+Tabelle~\ref{buch:rekursion:gamma:produktberechnung}.
 \label{buch:rekursion:gamma:gammatabelle}}
 \end{table}
 
@@ -436,6 +497,9 @@ die richtigen Werte für natürliche Argumente hat, es wird aber auch
 gezeigt, dass dies nicht ausreicht um zu schliessen, dass die
 Integralformel mit der früher definierten Gamma-Funktion übereinstimmt.
 
+%
+% Funktionalgleichung für die Integraldefinition
+%
 \subsubsection{Funktionalgleichung für die Integraldefinition}
 Tatsächlich ist es einfach nachzuprüfen, dass die Funktionalgleichung
 der Gamma-Funktion auch für die Definition~\ref{buch:rekursion:def:gamma}
@@ -494,6 +558,9 @@ die Werte der Fakultät annimmt.
 \label{buch:rekursion:fig:gamma}}
 \end{figure}
 
+%
+% Der Wert Gamma(1/2)
+%
 \subsubsection{Der Wert $\Gamma(\frac12)$}
 Die Integraldarstellung kann dazu verwendet werden, $\Gamma(\frac12)$ 
 zu berechnen.
@@ -516,7 +583,11 @@ der Gamma-Funktion und berechnen
 Der Integrand im letzten Integral ist die Wahrscheinlichkeitsdichte
 einer Normalverteilung, deren Integral wohlbekannt ist.
 
-\subsubsection{Alternative Lösungen}
+%
+% Alternative Lösungen
+%
+\subsubsection{Alternative Lösungen der
+Funktionalgleichung~\ref{buch:rekursion:eqn:gammadef}}
 Die Funktion $\Gamma(z)$ ist nicht die einzige Funktion, die natürlichen
 Zahlen die Werte $\Gamma(n+1) = n!$ der Fakultät annimmt.
 Indem man eine beliebige Funktion $f(z)$ addiert, die auf alle
@@ -560,6 +631,9 @@ Dann ist $ f(z) = \Gamma(z) $.
 % XXX Gamma in the interval (1,2)
 %Man beachte, dass 
 
+%
+% Laplace-Transformierte der Potenzfunktion
+%
 \subsubsection{Laplace-Transformierte der Potenzfunktion}
 Die Integraldarstellung der Gamma-Funktion erlaubt jetzt auch, die
 Laplace-Transformation der Potenzfunktion zu berechnen.
@@ -594,6 +668,9 @@ Durch die Substitution $st = u$ oder $t=\frac{u}{s}$ wird daraus
 \]
 \end{proof}
 
+%
+% Pol erster Ordnung bei z=0
+%
 \subsubsection{Pol erster Ordnung bei $z=0$}
 Wir haben zu prüfen, dass sowohl der Wert $\Gamma(1)$ korrekt ist als
 auch die Rekursionsformel~\eqref{buch:rekursion:eqn:gammadef} gilt.
@@ -644,6 +721,9 @@ Daraus ergibt sich für $\Gamma(z)$ der Ausdruck
 \]
 Die Gamma-Funktion hat daher an der Stelle $z=0$ einen Pol erster Ordnung.
 
+%
+% Ausdehnung auf Re(z) < 0
+%
 \subsubsection{Ausdehnung auf $\operatorname{Re}z<0$}
 Die Integralformel konvergiert nicht für $\operatorname{Re}z\le 0$.
 Durch analytische Fortsetzung, wie sie im
@@ -683,22 +763,29 @@ Somit hat $\Gamma(z)$ Pole erster Ordnung bei den negativen
 ganzen Zahlen und bei $0$, wie sie in
 Abbildung~\ref{buch:rekursion:fig:gamma} gezeigt werden.
 
+%
+% Numerische Berechnung
+%
 \subsubsection{Numerische Berechnung}
 \begin{table}
 \centering
-\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
 \hline
-k & y(10^k) & y(10^k) - \Gamma(\frac{5}{2}) \\
+k &  n=10^k & y(n)         & y(n) - \Gamma(\frac{5}{3}) 
+\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt} \\
 \hline
-1 & 0.0000000000 & -0.9027452930 \\
-2 & 0.3319129461 & -0.5708323468 \\
-3 & 0.\underline{902}5209490 & -0.0002243440 \\
-4 & 0.\underline{902745}1207 & -0.0000001723 \\
-5 & 0.\underline{902745}0962 & -0.0000001968 \\
-6 & 0.\underline{902745}0962 & -0.0000001968 \\
+\text{\vrule height12pt depth0pt width0pt} 
+1 &      10 & 0.0000000000 & -0.9027452930 \\
+2 &     100 & 0.3319129461 & -0.5708323468 \\
+3 &    1000 & 0.\underline{902}5209490 & -0.0002243440 \\
+4 &   10000 & 0.\underline{902745}1207 & -0.0000001723 \\
+5 &  100000 & 0.\underline{902745}0962 & -0.0000001968 \\
+6 & 1000000 & 0.\underline{902745}0962 & -0.0000001968 \\
+  & \infty  & 0.\underline{9027452929} &
+\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt} \\
 \hline
 \end{tabular}
-\caption{Resultate der Berechnung von $\Gamma(\frac{5}{2})$ mit Hilfe
+\caption{Resultate der Berechnung von $\Gamma(\frac{5}{3})$ mit Hilfe
 der Differentialgleichung \eqref{buch:rekursion:gamma:eqn:gammadgl}.
 Die korrekten Stellen sind unterstrichen.
 Es sind immerhin sechs korrekte Stellen gefunden, wobei nur 337
@@ -708,7 +795,7 @@ Auswertungen des Integranden notwendig waren.
 Im Prinzip könnte die Integraldefinition der numerischen Berechnung
 entgegenkommen.
 Um diese Hypothese zu prüfen, berechnen wir das Integral für
-$z=\frac52$ mit Hilfe der äquivalenten Differentialgleichungen
+$z=\frac53$ mit Hilfe der äquivalenten Differentialgleichungen
 \begin{equation}
 \dot{y}(t) = t^{z-1}e^{-t}
 \qquad\text{mit Anfangsbedingung $y(0)=0$}.
@@ -717,10 +804,13 @@ $z=\frac52$ mit Hilfe der äquivalenten Differentialgleichungen
 Der gesuchte Wert ist der Grenzwert $\lim_{t\to\infty} y(t)$.
 In der Tabelle~\ref{buch:rekursion:gamma:table:gammaintegral}
 sind die Werte von $y(10^k)$ sowie die Differenzen 
-$y(10^k) - \Gamma(\frac{5}{2})$ zusammengefasst.
+$y(10^k) - \Gamma(\frac{5}{3})$ zusammengefasst.
 Die Genauigkeit erreicht sechs korrekte Nachkommastellen mit nur
 337 Auswertungen des Integranden.
 
+Eine noch wesentlich effizientere Auswertung des $\Gamma$-Integrals
+mit Hilfe der Gauss-Laguerre-Quadratur wird in Kapitel~\ref{chapter:laguerre} 
+von Patrick Müller dargestellt.
 
 %
 %
-- 
cgit v1.2.1


From 3a95957a38a1cc8bcd865459a75cda87a2a8b56c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Sat, 18 Jun 2022 21:41:57 +0200
Subject: add new image, stuff about hypergeometrich series

---
 buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex | 21 +++++++++++++++++++--
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(limited to 'buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex')

diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
index e4dfa9a..45acf9f 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
@@ -20,6 +20,8 @@ für alle natürlichen Zahlen $x\in\mathbb{N}$ definiert werden.
 \end{equation}
 Kann man eine reelle oder komplexe Funktion finden, die die
 Funktionalgleichung~\eqref{buch:rekursion:eqn:gammadef}
+\index{Gamma-Funktion!Funktionalgleichung}%
+\index{Funktionalgleichung der Gamma-Funktion}%
 erfüllt und damit die Fakultät auf beliebige Argumente ausdehnt?
 
 \subsection{Definition als Grenzwert}
@@ -141,6 +143,8 @@ $x\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,-3,\dots\}$ ist der Grenzwert
 \[
 \Gamma(x) = \lim_{n\to\infty} \frac{n!\,n^{x-1}}{(x)_n}.
 \] 
+\index{Grenzwertdefinition der Gamma-Funktion}%
+\index{Gamma-Funktion!Grenzwertdefinition}%
 \end{definition}
 
 \subsubsection{Rekursionsgleichung für $\Gamma(x)$}
@@ -204,7 +208,7 @@ Weil $n/(n+1)\to 1$ ist und die Funktion $z\mapsto z^{x-1}$ für alle
 nach der Definition zulässigen Werte von $x$ eine stetige Funktion ist.
 
 %
-%
+% Numerische Unzulänglichkeit der Grenzwertdefinition
 %
 \subsubsection{Numerische Unzulänglichkeiten der Grenzwertdefinition}
 \begin{table}
@@ -316,6 +320,8 @@ wobei $\gamma$ die Euler-Mascheronische Konstante
 \biggl(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\log n\biggr)
 \]
 ist.
+\index{Gamma-Funktion!Produktformel}%
+\index{Produktformel für die Gamma-Funkion}%
 \end{satz}
 
 \begin{proof}[Beweis]
@@ -483,6 +489,8 @@ z
 \mapsto
 \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt
 \]
+\index{Gamma-Funktion!Integraldefinition}%
+\index{Integraldefinition der Gamma-Funktion}%
 \end{definition}
 
 Man beachte, dass das Integral für $x=0$ nicht definiert ist, eine
@@ -564,6 +572,7 @@ die Werte der Fakultät annimmt.
 \subsubsection{Der Wert $\Gamma(\frac12)$}
 Die Integraldarstellung kann dazu verwendet werden, $\Gamma(\frac12)$ 
 zu berechnen.
+\index{Gamma-Funktion!WertGamma12@Wert von $\Gamma(\frac12)$}%
 Dazu verwendet man die Substition $t=s^2$ in der Integraldefinition
 der Gamma-Funktion und berechnen
 \begin{align}
@@ -618,6 +627,8 @@ Von Wielandt stammt das folgende, noch etwas speziellere Resultat,
 welches hier nicht bewiesen wird.
 
 \begin{satz}[Wielandt]
+\index{Satz!von Wielandt}%
+\index{Wielandt, Satz von}%
 Ist $f(z)$ eine für $\operatorname{Re}z>0$ definiert Funktion mit
 den folgenden drei Eigenschaften
 \begin{enumerate}
@@ -637,6 +648,7 @@ Dann ist $ f(z) = \Gamma(z) $.
 \subsubsection{Laplace-Transformierte der Potenzfunktion}
 Die Integraldarstellung der Gamma-Funktion erlaubt jetzt auch, die
 Laplace-Transformation der Potenzfunktion zu berechnen.
+\index{Laplace-Transformierte der Potenzfunktion}%
 
 \begin{satz}
 Die Laplace-Transformierte der Potenzfunktion $f(t)=t^\alpha$ ist
@@ -672,6 +684,7 @@ Durch die Substitution $st = u$ oder $t=\frac{u}{s}$ wird daraus
 % Pol erster Ordnung bei z=0
 %
 \subsubsection{Pol erster Ordnung bei $z=0$}
+\index{Gamma-Funktion!Pol@Pol bei $z=0$}%
 Wir haben zu prüfen, dass sowohl der Wert $\Gamma(1)$ korrekt ist als
 auch die Rekursionsformel~\eqref{buch:rekursion:eqn:gammadef} gilt.
 Der Wert für $z=1$ ist
@@ -725,6 +738,8 @@ Die Gamma-Funktion hat daher an der Stelle $z=0$ einen Pol erster Ordnung.
 % Ausdehnung auf Re(z) < 0
 %
 \subsubsection{Ausdehnung auf $\operatorname{Re}z<0$}
+\index{Gamma-Funktion!analytische Fortsetzung}%
+\index{analytische Fortsetzung der Gamma-Funktion}%
 Die Integralformel konvergiert nicht für $\operatorname{Re}z\le 0$.
 Durch analytische Fortsetzung, wie sie im
 Abschnitt~\ref{buch:funktionentheorie:section:fortsetzung}
@@ -798,9 +813,11 @@ Um diese Hypothese zu prüfen, berechnen wir das Integral für
 $z=\frac53$ mit Hilfe der äquivalenten Differentialgleichungen
 \begin{equation}
 \dot{y}(t) = t^{z-1}e^{-t}
-\qquad\text{mit Anfangsbedingung $y(0)=0$}.
+\qquad
+\text{mit Anfangsbedingung $y(0)=0$}.
 \label{buch:rekursion:gamma:eqn:gammadgl}
 \end{equation}
+\index{Gamma-Funktion!Loesung@Lösung mit Differentialgleichung}
 Der gesuchte Wert ist der Grenzwert $\lim_{t\to\infty} y(t)$.
 In der Tabelle~\ref{buch:rekursion:gamma:table:gammaintegral}
 sind die Werte von $y(10^k)$ sowie die Differenzen 
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From 9f8e0b23aa9897b429ef997d7de8224844b60880 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Mon, 20 Jun 2022 21:27:44 +0200
Subject: fix all the Bessel stuff

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 buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex | 46 ++++++++++++++++++++++++++++++++++-
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diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
index 45acf9f..2b0700e 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
@@ -73,6 +73,9 @@ gilt.
 Der Plan ist, dies so umzuformen, dass man für $x$ eine beliebige
 komplexe Zahl einsetzen kann.
 
+%
+% Pochhammer-Symbol
+%
 \subsubsection{Pochhammer-Symbol}
 Die spezielle Form des Nenners und des zweiten Faktors im Zähler
 von \eqref{buch:rekursion:gamma:eqn:fakultaet}
@@ -115,6 +118,9 @@ x!
 Der erste Faktor in diesem Ausdruck enthält jetzt nur noch Dinge,
 die für beliebige $x\in\mathbb{C}$ definiert sind.
 
+%
+% Grenwertdefinition
+%
 \subsubsection{Grenzwertdefinition}
 Der zweite Bruch in \eqref{buch:rekursion:gamma:eqn:produkt3}
 besteht aus Termen, die zwar nur für natürliches $x$ definiert sind,
@@ -147,6 +153,9 @@ $x\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,-3,\dots\}$ ist der Grenzwert
 \index{Gamma-Funktion!Grenzwertdefinition}%
 \end{definition}
 
+%
+% Rekursionsgleichung für Gamma(x)
+%
 \subsubsection{Rekursionsgleichung für $\Gamma(x)$}
 Es ist aus der Herleitung klar, dass $\Gamma(n)=(n-1)!$ sein muss.
 Wir sollten dies aber auch direkt aus der
@@ -199,14 +208,49 @@ x\lim_{n\to\infty}
 \frac{n^{x-1}}{(n+1)^{x-1}}
 \\
 &=
+x
 \Gamma(x)
 \lim_{n\to\infty} \biggl(\frac{n}{n+1}\biggr)^{x-1}
 =
-\Gamma(x),
+x\Gamma(x),
 \end{align*}
 Weil $n/(n+1)\to 1$ ist und die Funktion $z\mapsto z^{x-1}$ für alle
 nach der Definition zulässigen Werte von $x$ eine stetige Funktion ist.
 
+%
+% Gamma-Funktion und Pochhammer-Symbol
+%
+\subsubsection{Gamma-Funktion und Pochhammer-Symbol}
+Durch Iteration der Rekursionsformel für $\Gamma(x)$ folgt jetzt
+\begin{align*}
+\Gamma(x+n)
+&=
+(x+n-1) \Gamma(x+n-1)
+\\
+&=
+(x+n-1)(x+n-2)\Gamma(x+n-2)
+\\
+&=
+\underbrace{
+(x+n-1)(x+n-2)\cdots(x-1)(x)
+}_{\text{$n$ Faktoren}} \Gamma(x)
+\\
+&=(x)_n \Gamma(x).
+\end{align*}
+Damit folgt
+
+\begin{satz}
+\label{buch:rekursion:gamma:satz:gamma-pochhammer}
+Die Rekursionsformel für die Gamma-Funktion kann geschrieben werden als
+\[
+\Gamma(x+n) = (x)_n \Gamma(x).
+\]
+Das Pochhammer-Symbol $(x)_n$ ist für alle natürlichen $n$ gegeben durch
+\[
+(x)_n = \frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}.
+\]
+\end{satz}
+
 %
 % Numerische Unzulänglichkeit der Grenzwertdefinition
 %
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cgit v1.2.1


From 931871e8c8e9b266b9b626d816a803bbd2c56653 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Fri, 1 Jul 2022 20:55:53 +0200
Subject: more index stuff

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 buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex | 3 +++
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diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
index 2b0700e..7f19637 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
@@ -240,6 +240,7 @@ Durch Iteration der Rekursionsformel für $\Gamma(x)$ folgt jetzt
 Damit folgt
 
 \begin{satz}
+\index{Satz!Pochhammer-Symbol@Pochhammer-Symbol und $\Gamma(x)$}%
 \label{buch:rekursion:gamma:satz:gamma-pochhammer}
 Die Rekursionsformel für die Gamma-Funktion kann geschrieben werden als
 \[
@@ -344,6 +345,7 @@ in den Zähler zu bringen, so dass er der Konvergenz etwas nachhilft.
 Wir berechnen daher den Kehrwert $1/\Gamma(x)$.
 
 \begin{satz}
+\index{Satz!Produktformel@Produktformel für $\Gamma(x)$}%
 \label{buch:rekursion:gamma:satz:produktformel}
 Der Kehrwert der Gamma-Funktion kann geschrieben werden als
 \begin{equation}
@@ -695,6 +697,7 @@ Laplace-Transformation der Potenzfunktion zu berechnen.
 \index{Laplace-Transformierte der Potenzfunktion}%
 
 \begin{satz}
+\index{Satz!Laplace-Transformierte der Potenzfunktion}%
 Die Laplace-Transformierte der Potenzfunktion $f(t)=t^\alpha$ ist
 \[
 (\mathscr{L}f)(s)
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cgit v1.2.1

