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Date: Mon, 20 Jun 2022 10:58:52 +0200
Subject: fix some typos

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 buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex | 83 ++++++++++++++++--------
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--- a/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex
@@ -432,9 +432,10 @@ Definition~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:def}
 offensichtlichen Regeln:
 
 \begin{satz}[Permutationsregel]
+\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:satz:permuationsregel}
 Sei $\pi$ eine beliebige Permutation der Zahlen $1,\dots,p$ und $\sigma$ eine
 beliebige Permutation der Zahlen $1,\dots,q$, dann ist 
-\[
+\begin{equation}
 \mathstrut_pF_q\biggl(
 \begin{matrix}
 a_1,\dots,a_p\\b_1,\dots,a_q
@@ -448,13 +449,15 @@ a_{\pi(1)},\dots,a_{\pi(p)}\\b_{\sigma(1)},\dots,b_{\sigma(q)}
 \end{matrix}
 ;x
 \biggr).
-\]
+\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:permuationsregel}
+\end{equation}
 \end{satz}
 
 \begin{satz}[Kürzungsformel]
+\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:satz:kuerzungsregel}
 Stimmt einer der Koeffizienten $a_k$ mit einem der Koeffizienten $b_i$
 überein, dann können sie weggelassen werden:
-\[
+\begin{equation}
 \mathstrut_{p+1}F_{q+1}\biggl(
 \begin{matrix}
 c,a_1,\dots,a_p\\
@@ -470,7 +473,8 @@ b_1,\dots,b_q
 \end{matrix};
 x
 \biggr).
-\]
+\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:kuerzungsregel}
+\end{equation}
 \end{satz}
 
 %
@@ -613,19 +617,25 @@ Die Wurzelfunktion ist daher die hypergeometrische Funktion
 =
 \mathstrut_1F_0(-{\textstyle\frac12};\mp x).
 \]
-Mit der Newtonschen Binomialreihe
+Mit der Newtonschen Binomialreihe, die in 
+Abschnitt~\ref{buch:differentialgleichungen:subsection:newtonschereihe}
+hergleitet wird,
+kann man ganz analog jede beliebige Wurzelfunktion
 \begin{align*}
 (1+x)^\alpha
 &=
 1+\alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+\dots
-\\
-&=
+%\\
+%&
+=
 \sum_{k=0}^\infty \frac{(-\alpha)_k}{k!}x^k
 =
 \mathstrut_1F_0\biggl(\begin{matrix}-\alpha\\\text{---}\end{matrix};-x\biggr)
 \end{align*}
-kann man ganz analog jede beliebige Wurzelfunktion
 durch $\mathstrut_1F_0$ ausdrücken.
+Dieses Resultat ist der Inhalt von
+Satz~\ref{buch:differentialgleichungen:satz:newtonschereihe}
+
 
 %
 % Logarithmusfunktion
@@ -725,7 +735,7 @@ x f(-x^2).
 Die Funktion $f(z)$ soll jetzt als hypergeometrische Funktion geschrieben
 werden.
 Dazu muss zunächst wieder der Nenner $k!$ wiederhergestellt werden:
-\[
+\begin{equation*}
 f(z)
 =
 1
@@ -737,7 +747,7 @@ f(z)
 \frac{3!}{7!}\cdot \frac{z^3}{3!}
 +
 \dots
-\]
+\end{equation*}
 Die Koeffizienten $k!/(2k+1)!$ müssen jetzt durch Pochhammer-Symbole
 mit jeweils $k$ Faktoren ausgedrückt werden.
 Dazu muss die Fakultät $(2k+1)!$ in zwei Produkte
@@ -777,15 +787,27 @@ müssen wird mit $2^{2k}$ kompensieren:
 (1)_k\cdot \biggl(\frac{3}{2}\biggr)_k
 \end{align*}
 Setzt man dies in die Reihe ein, wird
-\[
+\begin{equation}
 f(z)
 =
 \sum_{k=0}^\infty
 \frac{(1)_k}{(1)_k\cdot (\frac{3}{2})_k\cdot 4^k}
 z^k
 =
-\mathstrut_1F_2\biggl(1;1,\frac{3}{2};\frac{z}4\biggr).
-\]
+\mathstrut_1F_2\biggl(
+\begin{matrix}1\\1,\frac{3}{2}\end{matrix};\frac{z}4
+\biggr)
+=
+\mathstrut_0F_1\biggl(
+\begin{matrix}\text{---}\\\frac{3}{2}\end{matrix};\frac{z}4
+\biggr).
+\label{buch:rekursion:hyperbolisch:eqn:hilfsfunktionf}
+\end{equation}
+Im letzten Schritt wurde die Kürzungsregel
+\eqref{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:kuerzungsregel}
+von
+Satz~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:satz:kuerzungsregel}
+angewendet.
 Damit lässt sich die Sinus-Funktion als
 \begin{equation}
 \sin x
@@ -812,21 +834,24 @@ auf die Funktion
 \sinh x
 &=
 \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}
-\\
-&=
+%\\
+%&
+=
 x
 \,
 \biggl(
 1+\frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!}+\frac{x^6}{7!}+\dots
 \biggr)
-\\
+\intertext{Die Reihe in der Klammer lässt sich mit der Funktion
+$f$ von \eqref{buch:rekursion:hyperbolisch:eqn:hilfsfunktionf}
+schreiben als}
 &=
-xf(-x^2)
-=
-x\,\mathstrut_1F_2\biggl(
-\begin{matrix}1\\1,\frac{3}{2}\end{matrix}
-;\frac{x^2}{4}
-\biggr)
+x\,f(-x^2)
+%=
+%x\cdot\mathstrut_1F_2\biggl(
+%\begin{matrix}1\\1,\frac{3}{2}\end{matrix}
+%;\frac{x^2}{4}
+%\biggr)
 =
 x\cdot\mathstrut_0F_1\biggl(
 \begin{matrix}\text{---}\\\frac{3}{2}\end{matrix}
@@ -1030,7 +1055,7 @@ Damit kann jetzt die Kosinus-Funktion als
 \frac{1}{(\frac12)_k}
 \frac{1}{k!}\biggl(\frac{-x^2}{4}\biggr)^k
 =
-\mathstrut_0F_1\biggl(;\frac12;-\frac{x^2}4\biggr)
+\mathstrut_0F_1\biggl(\begin{matrix}\text{---}\\\frac12\end{matrix};-\frac{x^2}4\biggr)
 \end{align*}
 geschrieben werden kann.
 
@@ -1039,16 +1064,22 @@ Die Ableitung der Kosinus-Funktion ist daher
 \frac{d}{dx} \cos x
 &=
 \frac{d}{dx}
-\mathstrut_0F_1\biggl(;\frac12;-\frac{x^2}4\biggr)
+\mathstrut_0F_1\biggl(
+\begin{matrix}\text{---}\\\frac12\end{matrix};-\frac{x^2}4
+\biggr)
 =
 \frac{1}{\frac12}
 \,
-\mathstrut_0F_1\biggl(;\frac32;-\frac{x^2}4\biggr)
+\mathstrut_0F_1\biggl(
+\begin{matrix}\text{---}\\\frac32\end{matrix};-\frac{x^2}4
+\biggr)
 \cdot\biggl(-\frac{x}2\biggr)
 =
 -x
 \cdot
-\mathstrut_0F_1\biggl(;\frac32;-\frac{x^2}4\biggr)
+\mathstrut_0F_1\biggl(
+\begin{matrix}\text{---}\\\frac32\end{matrix};-\frac{x^2}4
+\biggr)
 \intertext{Dies stimmt mit der in
 \eqref{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:sinhyper}
 gefundenen Darstellung der Sinusfunktion mit Hilfe der hypergeometrischen
-- 
cgit v1.2.1

