From 70c3ca6d69642f132dd53003dc36df3845c97e60 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Sun, 2 Jan 2022 20:39:43 +0100
Subject: typos

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 buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex | 96 +-----------------------
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index f3ac2ff..30d262e 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex
@@ -278,7 +278,7 @@ Die oben analysierte Summe $S$ kann mit der Definition als
 S
 =
 a_0
-\,
+\cdot
 \mathstrut_{n+1}F_m \biggl(
 \begin{matrix}
 -a_1,-a_2,\dots,-a_n,1\\
@@ -309,7 +309,7 @@ a\sum_{k=0}^\infty
 \frac{(1)_k}{1}
 \frac{x^k}{k!}
 =
-a\,\mathstrut_1F_0(1,x).
+a\cdot\mathstrut_1F_0(1,x).
 \]
 
 \subsubsection{Exponentialfunktion}
@@ -608,7 +608,7 @@ x\,\mathstrut_1F_2\biggl(
 ;\frac{x^2}{4}
 \biggr)
 =
-x\,\mathstrut_0F_1\biggl(
+x\cdot\mathstrut_0F_1\biggl(
 \begin{matrix}\text{---}\\\frac{3}{2}\end{matrix}
 ;\frac{x^2}4
 \biggr).
@@ -755,7 +755,7 @@ Die Ableitung der Kosinus-Funktion ist daher
 \cdot\biggl(-\frac{x}2\biggr)
 =
 -x
-\,
+\cdot
 \mathstrut_0F_1\biggl(;\frac32;-\frac{x^2}4\biggr)
 \intertext{Dies stimmt mit der in
 \eqref{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:sinhyper}
@@ -834,94 +834,6 @@ Term, der in der hypergeometrischen Funktion $\mathstrut_nF_m$
 vorkommt, aber nicht in der
 Summe~\eqref{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:stammfunktion:summe}.
 
-%\subsection{Integraldarstellung der hypergeometrischen Funktion
-%$\mathstrut_2F_1$}
-%Das Integral
-%\[
-%f(x)
-%=
-%\int_0^1 t^{b-1} (1-t)^{c-b-1} (1-xt)^{-a}\,dt
-%\]
-%kann im allgemeinen nicht in geschlossener Form evaluiert werden.
-%Die Newtonsche binomische Reihe ermöglicht, den $x$ enthaltenden
-%Faktor als
-%\[
-%(1-xt)^{-a}
-%=
-%\sum_{k=0}^\infty
-%\frac{(a)_k}{k!} x^k t^k
-%\]
-%zu schreiben.
-%Setzt man dies ins Integral ein, erhält man
-%\[
-%f(x)
-%=
-%\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k
-%\int_0^1 t^{b-1} (1-t)^{c-b-1} t^k\,dt
-%=
-%\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k
-%\int_0^1 t^{k+b-1} (1-t)^{c-b-1} t^k\,dt.
-%\]
-%Das Integral ist die Beta-Funktion $B(k+b,c-b)$ und kann daher mit Hilfe
-%der Gamma-Funktion geschrieben werden.
-%Es gilt
-%\[
-%B(k+b,c-b)
-%=
-%\frac{\Gamma(k+b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c+k)}.
-%\]
-%Mit Hilfe der Funktionalgleichung der Gamma-Funktion kann man
-%\begin{align*}
-%\Gamma(u+k)
-%&=
-%\Gamma(u+k-1) (u+k-1)
-%=
-%\Gamma(u+k-2) (u+k-2)(u+k-1)
-%\\
-%&=
-%\ldots
-%\\
-%&=
-%\Gamma(u) u(u+1)\cdots(u+k-2)(u+k-1)
-%\end{align*}
-%schreiben, womit das Integral zu
-%\begin{align*}
-%f(x)
-%&=
-%\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k
-%\frac{\Gamma(k+b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c+k)}
-%=
-%\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k
-%\frac{\Gamma(b)(b)_k\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)(c)_k}
-%\\
-%&=
-%\frac{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)}
-%\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k(b)_k}{(c)_k} x^k
-%=
-%\frac{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)}\,\mathstrut_2F_1(a,b;c;x)
-%\end{align*}
-%vereinfacht werden kann.
-%Damit ist das Integral bestimmt. 
-%Durch Auflösung nach der hypergeometrischen Funktion bekommt man
-%die folgende Integraldarstellung.
-%
-%\begin{satz}
-%Die hypergeometrische Funktion $\mathstrut_2F_1$ hat die
-%Integraldarstellung
-%\[
-%\mathstrut_2F_1\biggl(
-%\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};x
-%\biggr)
-%=
-%\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}
-%\int_0^1 t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-xt)^{-a}\,dt.
-%\]
-%\end{satz}
-%
-%TODO: Dies ist ein Spezialfall der Eulerschen Integraltransformation für
-%hypergeometrische Funktionen.
-
-
 \subsection{TODO}
 \begin{itemize}
 \item Hypergeometrische Transformationen
-- 
cgit v1.2.1

