From 87dab3df54f6d637a41cdce617eb6553164a9ce0 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 25 Nov 2021 21:13:58 +0100 Subject: new material on hypergeometric functions --- buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex | 603 +++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 603 insertions(+) create mode 100644 buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex (limited to 'buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex') diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex new file mode 100644 index 0000000..ac07789 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex @@ -0,0 +1,603 @@ +% +% hypergeometrisch.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Hypergeometrische Funktionen +\label{buch:rekursion:ssection:hypergeometrische-funktion}} +\rhead{Hypergeometrische Funktionen} +Kann man eine Formel für die Lösung $S_n$ der lineare Differenzengleichung +\[ +n^3S_{n} += +16(n-{\textstyle\frac12})(2n^2-2n+1)S_{n-1} +-256(n-1)^3S_3 +\] +mit Anfangswerten $S_0=1$ und $S_1=8$ angeben? +Dies scheint auf den ersten Blick unmöglich kompliziert, man kann aber +zeigen, dass +\[ +S_n += +\sum_{k=0}^n +\binom{2n-2k}{n-k}^2 \binom{2k}{k}^2 +\] +gilt (\cite[p.~xi]{buch:ab}). +Die Lösung ist also eine Summe von Summanden, die sehr viel einfacher +aussehen und vor allem die besondere Eigenschaft haben, dass die +Quotienten aufeinanderfolgender Terme rationale Funktionen von von $k$ +sind. +% XXX Quotient berechnen + +Eine besonders simple solche Funktion ist die geometrische Reihe, die +im Abschnitt~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:geometrisch} +in Erinnerung gerufen wird. +Abschnitt~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:reihen} +definiert den Begriff der hypergeometrischen Reihe und zeigt, +wie sie in eine Standardform gebracht werden können. +In Abschnitt~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:beispiele} +schliesslich wird an Hand von Beispielen gezeigt, wie bekannte +Funktionen als hypergeometrische Funktionen interpretiert werden können. + +\subsection{Die geometrische Reihe +\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:geometrisch}} +Die besonders einfache Potenzreihe +\[ +f(q) += +\sum_{k=0}^\infty aq^k +\] +heisst die {\em geometrische Reihe}. +Die Partialsummen +\[ +S_n += +\sum_{k=0}^n aq^k +\] +kann mit der Differenz +\begin{equation} +(1-q)S_n += +S_n - qS_n += +\sum_{k=0}^n aq^k +- +\sum_{k=1}^{n+1} aq^k += +a -aq^{n+1} +\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:qsumme} +\end{equation} +berechnet werden, die man nach +\begin{equation} +S_n += +a\frac{1-q^{n+1}}{1-q} +\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:geomsumme} +\end{equation} +auflösen kann. + +Fü $q<1$ geht $q^n\to 0$ und damit konvergiert +$S_n$ gegen +\[ +\sum_{k=0}^\infty aq^k += +a\frac{1}{1-q}. +\] + +Die geometrische Reihe ist charakterisiert dadurch, dass aufeinanderfolgende +Terme den gleichen Quotienten +\[ +\frac{aq^{k+1}}{aq^k} += +q +\] +haben. +Die Berechnung der Summe in +\eqref{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:qsumme} +beruht darauf, dass die Multiplikation mit $q$ einen ``anderen'' +Teil der Summe ergibt, der sich in der Differenze weghebt. + +\subsection{Hypergeometrische Reihen +\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:reihen}} +Es ist plausibel, dass eine etwas lockerere Bedingung an die +Quotienten aufeinanderfolgender Terme einer Reihe immer noch +ermöglichen wird, interessante Aussagen über die durch die +Reihe beschriebenen Funktionen zu machen. + +\begin{definition} +Eine Reihe +\[ +f(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k +\] +heisst {\em hypergeometrisch}, wenn der Quotient aufeinanderfolgender +Koeffizienten eine rationale Funktion von $k$ ist, +wenn also +\[ +\frac{a_{k+1}}{a_k} += +\frac{p(k)}{q(k)} +\] +mit Polynomen $p(k)$ und $q(k)$ ist. +\end{definition} + +Die geometrische Reihe ist natürlich eine hypergeometrische Reihe, +wobei $p(k)/q(k)=1$ ist. +Etwas interessanter ist die Exponentialfunktion, durch die Taylor-Reihe +\[ +e^x = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} +\] +dargestellt werden kann. +Der Quotient aufeinanderfolgender Koeffizienten ist +\[ +\frac{a_{k+1}}{a_k} += +\frac{1/(k+1)!}{1/k!} += +\frac{k!}{(k+1)!} += +\frac{1}{k+1}, +\] +eine rationale Funktion mit Zählergrad $0$ und Nennergrad $1$. + +Die Kosinus-Funktion wird durch die Taylor-Reihe +\[ +\cos x = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k} +\] +dargestellt. +Als Potenzreihe in $x$ kann die Kosinus-Reihe nicht hypergeometrisch sein, +die ungeraden Koeffizienten verschwinden und damit undefinierte +Quotienten haben. +Als Reihe in $z=x^2$ ist aber +\[ +\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!} z^k +\qquad\Rightarrow\qquad +a_k = \frac{(-1)^k}{(2k)!} +\] +hypergeometrisch, weil der Quotient aufeinanderfolgender Koeffizienten +\[ +\frac{a_{k+1}}{a_k} += +\frac{(-1)^{k+1}}{(2k+2)!}\cdot \frac{(2k)!}{(-1)^k} += +-\frac{1}{(2k+2)(2k+1)}, +\] +eine rationale Funktion mit Zählergrad $0$ und Nennergrad $2$. +Es gibt also eine hypergeometrische Reihe $f(z)$ derart, dass +$\cos x = f(x^2)$ ist. + +Seien $p(k)$ und $q(k)$ zwei Polynome derart, dass +\[ +\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{p(k)}{q(k)}. +\] +Daraus lässt sich der Koeffizient $a_{k+1}$ als +\begin{equation} +a_{k+1} += +\frac{p(k)}{q(k)} +\cdot +a_k += +\frac{p(k)}{q(k)} +\cdot +\frac{p(k-1)}{q(k-1)} +\cdot +a_{k-1} +=\dots= +\frac{p(k)}{q(k)} +\frac{p(k-1)}{q(k-1)} +\cdots +\frac{p(1)}{q(1)} +\frac{p(0)}{q(0)} +a_0 +\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:ak+1} +\end{equation} +berechnen. +Alle Koeffizienten haben also den Faktor $a_0=f(0)$ gemeinsam. + +Die Produkte von Quotienten $p(k)/q(k)$ sollen jetzt weiter +vereinfacht werden. +Sei $n$ der Grad von $p(k)$ und $m$ der Grad von $q(k)$. +Dazu nehmen wir an, dass $a_i$, $i=1,\dots,n$ die Nullstellen von $p(k)$ sind +und $b_j$, $j=1,\dots,m$ die Nullstellen von $q(k)$, dass man also +die Polynome als +\begin{align*} +p(k) &= x(k-a_1)(k-a_2)\cdots(k-a_n) +\\ +q(k) &= (k-b_1)(k-b_2)\cdots(k-b_m) +\end{align*} +schreiben kann. +Der Faktor $x$ ist nötig, weil die Polynome $p(k)$ und $q(k)$ nicht +notwendigerweise normiert sind. + +Um das Produkt der Quotienten zu vereinfachen, nehmen wir für den Moment +an, dass Zähler und Nenner vom Grad $n=m=1$ ist. +Dann ist nach +\eqref{buch:rekursion:hypergeometrisch:ak+1} +\[ +a_{k} += +x^{k} +\frac{ +(k-1-a_1) \cdots (2-a_1)(1-a_1)(0-a_1) +}{ +(k-1-b_1) \cdots (2-b_1)(1-b_1)(0-b_1) +} += +\frac{(-a_1)_k}{(-b_1)_k} x^k. +\] +Die Koeffizienten können daher als Quotienten von Pochhammer-Symbolen +geschrieben werden. +Für Polynome $p(k)$ und $q(k)$ höheren Grades sind die Koeffizienten +von der Form +\[ +a_k += +\frac{(-a_1)_k(-a_2)_k\cdots (-a_n)_k}{(-b_1)_k(-b_2)_k\cdots(-b_m)_k} +x^ka_0. +\] +Jede hypergeometrische Reihe kann daher in der Form +\[ +a_0 +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(-a_1)_k(-a_2)_k\cdots (-a_n)_k}{(-b_1)_k(-b_2)_k\cdots(-b_m)_k} +x^k +\] +geschrieben werden. + +\begin{definition} +\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:def} +Die hypergeometrische Funktion +$\mathstrut_pF_q$ ist definiert durch die Reihe +\[ +\mathstrut_pF_q +\biggl( +\begin{matrix} +a_1,\dots,a_p\\ +b_1,\dots,b_q +\end{matrix} +; +x +\biggr) += +\mathstrut_pF_q(a_1,\dots,a_p;b_1,\dots,b_q;x) += +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(a_1)_k\cdots(a_p)_k}{(b_1)_k\cdots(b_q)_k}\frac{x^k}{k!}. +\] +\end{definition} + +Da $(1)_k=k!$ hätte die Definition den Nenner $k!$ in der Reihe +auch durch eines der Pochhammer-Symbole ausdrücken können. +Wird dieser Nenner nicht gebraucht, kann man ihn durch einen +zusätzlichen Faktor $(1)_k$ im Zähler des Bruchs von Pochhammer-Symbolen +kompensieren, wodurch sich der Grad $p$ des Zählers natürlich um $1$ +erhöht. + +Die oben analysierte Summe $S$ kann mit der Definition als +\[ +S += +a_0 +\, +\mathstrut_{n+1}F_m \biggl( +\begin{matrix} +-a_1,-a_2,\dots,-a_n,1\\ +-b_1,-b_2,\dots,-a_m +\end{matrix}; x +\biggr) +\] +beschrieben werden. + +\subsection{Beispiele von hypergeometrischen Funktionen +\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:beispiele}} +Viele der bekannten Reihenentwicklungen häufig verwendeter Funktionen +lassen sich durch die hypergeometrischen Funktionen von +Definition~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:def} ausdrücken. +In diesem Abschnitt werden einige Beispiel dazu gegeben. + +\subsubsection{Die geometrische Reihe} +In der geometrischen Reihe fehlt der Nenner $k!$, es braucht +daher einen Term $(1)_k$ im Zähler, um den Nenner zu kompensieren. +Somit ist die geometrische Reihe +\[ +\frac{a}{1-x} += +\sum_{k=0}^\infty +ax^k += +a\sum_{k=0}^\infty +\frac{(1)_k}{1} +\frac{x^k}{k!} += +a\,\mathstrut_1F_0(1,x). +\] + +\subsubsection{Exponentialfunktion} +Die Exponentialfunktion ist die Reihe +\[ +e^x = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}. +\] +In diesem Fall werden keine Quotienten von Pochhammer-Symbolen +benötigt, es ist daher +\[ +e^x = \mathstrut_0F_0(x). +\] + +\subsubsection{Wurzelfunktion} +Die Wurzelfunktion $x\mapsto \sqrt{x}$ hat keine Taylor-Entwicklung +in $x=0$, aber die Funktion $x\mapsto\sqrt{1+x}$ hat die Taylor-Reihe +\[ +\sqrt{1+x} += +1 ++ +\frac12 x +- +\frac{1\cdot 1}{2\cdot 4}x^2 ++ +\frac{1\cdot 1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}x^3 +- +\frac{1\cdot 1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}x^4 ++ +\dots +\] +Um die Verbindung zu einer hypergeometrischen Funktion herzustellen, +müssen wir den Term $x^k/k!$ abspalten. +Dann wird +\begin{align*} +\sqrt{1+x} +&= +1 ++ +\frac12 \frac{x}{1!} +- +\frac{1\cdot 1}{2^2}\frac{x^2}{2!} ++ +\frac{1\cdot 1\cdot 3}{2^3}\frac{x^3}{3!} +- +\frac{1\cdot 1\cdot 3\cdot 5}{2^4}\frac{x^4}{4!} ++ +\dots +\\ +&= +1 ++ +\frac12 \cdot\frac{x}{1!} +- +\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{2!} ++ +\frac{1}{2}\cdot \frac{1}2\cdot \frac{3}{2}\cdot\frac{x^3}{3!} +- +\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot\frac{x^4}{4!} ++ +\dots +\end{align*} +Es ist noch etwas undurchsichtig, warum die ersten beiden Terme +das gleiche Vorzeichen haben und warum der Faktor $\frac12$ in jedem +Term zweimal vorkommt. +Diese Unklarheit kann jedoch beseitigt werden, wenn man den ersten +Faktor als $-\frac12$ schreibt: +\begin{align*} +\sqrt{1+x} +&= +1 +- +\biggl(-\frac12\biggr)\cdot\frac{x}{1!} ++ +\biggl(-\frac{1}{2}\biggr)\cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{2!} +- +\biggl(-\frac{1}{2}\biggr)\cdot \frac{1}2\cdot \frac{3}{2}\cdot\frac{x^3}{3!} ++ +\biggl(-\frac{1}{2}\biggr)\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot\frac{x^4}{4!} ++ +\dots +\\ +&= +1 + +\biggl(-\frac12\biggr)\cdot\frac{-x}{1!} ++ +\biggl(-\frac{1}{2}\biggr)\cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{(-x)^2}{2!} ++ +\biggl(-\frac{1}{2}\biggr)\cdot \frac{1}2\cdot \frac{3}{2}\cdot\frac{(-x)^3}{3!} ++ +\biggl(-\frac{1}{2}\biggr)\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot\frac{(-x)^4}{4!} ++ +\dots +\end{align*} +Die Koeffizienten sind aufsteigende Produkte mit $k$ Faktoren, die alle bei +$-\frac12$ beginnen, sie können daher als Pochhammer-Symbole $(-\frac12)_k$ +geschrieben werden. +Die Wurzelfunktion ist daher die hypergeometrische Funktion +\[ +\sqrt{1\pm x} += +\sum_{k=0}^\infty +\biggl(-\frac12\biggr)_k \frac{(-x)^k}{k!} += +\mathstrut_1F_0(-{\textstyle\frac12};\mp x). +\] + +\subsubsection{Logarithmusfunktion} +Für $x\in (-1,1)$ konvergiert die Taylor-Reihe +\[ +\log(1+x) += +x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\dots +\] +der Logarithmusfunktion im Punkt $x=0$. +Die Reihe beginnt nicht mit einem konstanten Term, daher klammern wir +zunächst einen Faktor $x$ aus: +\[ +\log(1+x) += +x\cdot +\biggl( +1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}-\frac{x^3}{4}+\dots +\] +Um dies in die Form einer hypergeometrischen Funktion zu bringen, +muss zunächst wieder der Nenner $k!$ hergestellt werden. +\begin{align*} +\log(1+x) +&= +x\cdot\biggl( +1 +- \frac{1!}{2} \frac{x}{1!} ++ \frac{2!}{3} \frac{x^2}{2!} +- \frac{3!}{4} \frac{x^3}{3!}+\dots +\biggr). +\intertext{Den Nenner $k+1$ kann man als Quotienten $k!/(k+1)!$ erhalten, +also} +\log(1+x) +&= +x\cdot\biggl( +1 +- \frac{(1!)^2}{2!} \frac{x}{1!} ++ \frac{(2!)^2}{3!} \frac{x^2}{2!} +- \frac{(3!)^2}{4!} \frac{x^3}{3!}+\dots +\biggr). +\end{align*} +Die Fakultät +\[ +(k+1)! += +1\cdot 2 \cdot 3 \cdot\ldots\cdot k\cdot (k+1) += +2 \cdot (2 + 1) \cdot (2+2) \cdot\ldots\cdot (2+k-2) \cdot (2+k-1) += +(2)_{k} +\] +ist auch ein Pochhammer-Symbol, so dass die Logarithmusfunktion +zur hypergeometrischen Funktion +\[ +\log(1+x) += +x\cdot\biggl( +1 ++ \frac{(1)_1(1)_1}{(2)_1} \frac{(-x)}{1!} ++ \frac{(1)_2(1)_2}{(2)_2} \frac{(-x)^2}{2!} ++ \frac{(1)_3(1)_3}{(2)_2} \frac{(-x)^3}{3!}+\dots +\biggr) += +x\cdot +\mathstrut_2F_1\biggl(\begin{matrix}1,1\\2\end{matrix};-x\biggr). +\] + + +\subsubsection{Trigonometrische Funktionen} +Die Kosinus-Funktion wurde bereits als hypergeometrische Funktion erkannt, +im Folgenden soll dies auch noch für die Sinus-Funktion +durchgeführt werden. +Die Taylor-Reihe der Sinus-Funktion im Punkt $0$ ist +\begin{align*} +\sin x +&= +x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\dots +\end{align*} +In dieser Reihe fehlen die geraden Potenzen, wir Klammern daher einen +Faktor $x$ aus und schreiben den Rest als eine Funktion von $-x^2$ +\begin{align*} +\sin x +&= +x +\biggl( +1+\frac{-x^2}{3!}+\frac{(-x^2)^2}{5!}-\frac{(-x^2)^3}{7!}+\dots +\biggr) += +x f(-x^2). +\end{align*} +Die Funktion $f(z)$ soll jetzt als hypergeometrische Funktion geschrieben +werden. +Dazu muss zunächst wieder der Nenner $k!$ wiederhergestellt werden: +\[ +f(z) += +1 ++ +\frac{1!}{3!}\cdot \frac{z}{1!} ++ +\frac{2!}{5!}\cdot \frac{z^2}{2!} ++ +\frac{3!}{7!}\cdot \frac{z^3}{3!} ++ +\dots +\] +Die Koeffizienten $k!/(2k+1)!$ müssen jetzt durch Pochhammer-Symbole +mit jeweils $k$ Faktoren ausgedrückt werden. +Dazu muss die Fakultät $(2k+1)!$ in zwei Produkte +\[ +(2k+1) += +2\cdot 3 \cdot 4\cdot 5\cdot \ldots \cdot 2k \cdot (2k+1) += +(2\cdot 4 \cdot 6\cdot\ldots\cdot 2k) +\cdot +(3\cdot 5\cdot 7\cdot \ldots \cdot (2k+1)) +\] +aufgespaltet werden. +Diese Produkte haben zwar $k$-Faktoren, aber sie sind keine +Pochhammer-Symbole, weil die Differenz aufeinanderfolgender Faktoren +jeweils $2$ ist. +Wir dividieren die geraden Faktoren durch $2$ und dividieren die +ungeraden durch $2$, dadurch ändert sich das Produkt nicht und wird +\[ +(2k+1)! += +(1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot k) +\cdot +\biggl( +\frac{3}{2}\cdot +\frac{5}{2}\cdot +\frac{7}{2}\cdot +\ldots\cdot +\frac{2k+1}{2} +\biggr) += +(1)_k\cdot \biggl(\frac{3}{2}\biggr)_k +\] +Setzt man dies in die Reihe ein, wird +\[ +f(z) += +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(1)_k}{(1)_k\cdot (\frac{3}{2})_k} +z^k += +\mathstrut_1F_2(1;1,\frac{3}{2};z). +\] +Damit lässt sich die Sinus-Funktion als +\[ +\sin x += +x\,\mathstrut_1F_2\biggl(\begin{matrix}1\\1,\frac32\end{matrix};-x^2\biggr) +\] +durch eine hypergeometrische Funktion ausdrücken. + +\subsubsection{Hyperbolische Funktionen} +Die für die Sinus-Funktion angewendete Methode lässt sich auch +auf die Funktion +\begin{align*} +\sinh x +&= +\sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} +\\ +&= +x +\, +\biggl( +1+\frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!}+\frac{x^6}{7!}+\dots +\biggr) +\\ +&= +xf(-x^2) += +x\,\mathstrut_1F_2\biggl( +\begin{matrix}1\\1,\frac{3}{2}\end{matrix} +;x^2 +\biggr). +\end{align*} +Bis auf das Vorzeichen des Arguments der hypergeometrischen Funktion +ist diese Darstellung identisch mit der von $\sin x$. +Dies illustriert die Rolle der hypergeometrischen Funktionen als +``grosse Vereinheitlichung'' der bekannten speziellen Funktionen. + + -- cgit v1.2.1