From b27c5dac8188b7bb79ae7d8db94dd16d4cc07a65 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Sat, 4 Dec 2021 19:57:55 +0100 Subject: more hypergeometric functions --- buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex | 228 ++++++++++++++++++++++- 1 file changed, 226 insertions(+), 2 deletions(-) (limited to 'buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex') diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex index ac07789..8c46202 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex @@ -565,11 +565,14 @@ z^k \mathstrut_1F_2(1;1,\frac{3}{2};z). \] Damit lässt sich die Sinus-Funktion als -\[ +\begin{equation} \sin x = x\,\mathstrut_1F_2\biggl(\begin{matrix}1\\1,\frac32\end{matrix};-x^2\biggr) -\] += +x\,\mathstrut_1F_2\biggl(\begin{matrix}\text{---}\\\frac32\end{matrix};-x^2\biggr) +\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:sinhyper} +\end{equation} durch eine hypergeometrische Funktion ausdrücken. \subsubsection{Hyperbolische Funktionen} @@ -593,6 +596,11 @@ xf(-x^2) x\,\mathstrut_1F_2\biggl( \begin{matrix}1\\1,\frac{3}{2}\end{matrix} ;x^2 +\biggr) += +x\,\mathstrut_0F_1\biggl( +\begin{matrix}\text{---}\\,\frac{3}{2}\end{matrix} +;x^2 \biggr). \end{align*} Bis auf das Vorzeichen des Arguments der hypergeometrischen Funktion @@ -600,4 +608,220 @@ ist diese Darstellung identisch mit der von $\sin x$. Dies illustriert die Rolle der hypergeometrischen Funktionen als ``grosse Vereinheitlichung'' der bekannten speziellen Funktionen. +% +% Ableitung und Stammfunktion +% +\subsection{Ableitung und Stammfunktion hypergeometrischer Funktionen} +Sowohl Ableitung wie auch Stammfunktion einer hypergeometrischen +Funktion lässt sich immer durch hypergeometrische Reihen ausdrücken. + +\subsubsection{Ableitung} +Wir gehen aus von der Funktion +\begin{equation} +f(x) += +\mathstrut_nF_m\biggl( +\begin{matrix}a_1,\dots,a_n\\b_1,\dots,b_m\end{matrix}; +x\biggr) += +\sum_{k=0}^\infty +\frac{ +(a_1)_k\cdot\ldots\cdot(a_n)_k +}{ +(b_1)_k\cdot\ldots\cdot(b_m)_k +} +\frac{x^k}{k!}. +\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:f} +\end{equation} +Die Ableitung von $f(x)$ ist +\[ +f'(x) += +\sum_{k=0}^\infty +\frac{ +(a_1)_k\cdot\ldots\cdot(a_n)_k +}{ +(b_1)_k\cdot\ldots\cdot(b_m)_k +} +\frac{x^{k-1}}{(k-1)!} += +\sum_{k=1}^\infty +\frac{ +(a_1)_{k+1}\cdot\ldots\cdot(a_n)_{k+1} +}{ +(b_1)_{k+1}\cdot\ldots\cdot(b_m)_{k+1} +} +\frac{x^k}{k!}. +\] +Der Koeffizient besteht zwar aus lauter Pochhammer-Symbolen, aber sie +haben jeweils zu einen Faktor zuviel. +Indem man den jeweils ersten Faktor ausklammert, kann man die +Terme wieder in die Form einer hypergeometrischen Reihe bringen. +\begin{align*} +f'(x) +&= +\sum_{k=1}^\infty +\frac{ +a_1(a_1)_{k}\cdot\ldots\cdot a_n(a_n)_{k} +}{ +b_1(b_1)_{k}\cdot\ldots\cdot b_m(b_m)_{k} +} +\frac{x^k}{k!} +\\ +&= +\sum_{k=1}^\infty +\frac{ +a_1\cdot\ldots\cdot a_n +}{ +b_1\cdot\ldots\cdot b_m +} +\frac{ +(a_1+1)_{k}\cdot\ldots\cdot(a_n+1)_{k} +}{ +(b_1+1)_{k}\cdot\ldots\cdot(b_m+1)_{k} +} +\frac{x^k}{k!} +\\ +&= +\frac{ +a_1\cdot\ldots\cdot a_n +}{ +b_1\cdot\ldots\cdot b_m +} +\, +\mathstrut_nF_m\biggl( +\begin{matrix}a_1+1,\dots,a_n+1\\b_1+1,\dots,b_m+1\end{matrix}; +x\biggr). +\end{align*} + +\begin{beispiel} +Die Kosinus-Funktion +\[ +\cos x += +1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots += +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k} +\] +kann wie folgt als hypergeometrische Funktion geschrieben werden. +Der Nenner hat $2k$ Faktoren, er muss also aus zwei Pochhammer-Symbolen +zusammengesetzt werden. +Dazu muss er erst um den Faktor $2^{2k}$ gekürzt werden, was +\[ +\frac{(2k)!}{2^{2k}} += +\frac12\cdot\frac32\cdot\frac52\cdot\ldots\cdot\frac{2k-1}2 +\cdot +\frac22\cdot\frac42\cdot\frac62\cdot\ldots\cdot\frac{2k}2 += +({\textstyle\frac12})_k\cdot k!. +\] +Damit kann jetzt die Kosinus-Funktion als +\begin{align*} +\cos x +&= +\sum_{k=0}^\infty +\frac{2^k}{(2k)!}\biggl(\frac{-x^2}{4}\biggr)^k += +\sum_{k=0}^\infty +\frac{1}{(\frac12)_k} +\frac{1}{k!}\biggl(\frac{-x^2}{4}\biggr)^k += +\mathstrut_0F_1\biggl(;\frac12;-\frac{x^2}4\biggr) +\end{align*} +geschrieben werden kann. + +Die Ableitung der Kosinus-Funktion ist daher +\begin{align*} +\frac{d}{dx} \cos x +&= +\frac{d}{dx} +\mathstrut_0F_1\biggl(;\frac12;-\frac{x^2}4\biggr) += +\frac{1}{\frac12} +\, +\mathstrut_0F_1\biggl(;\frac32;-\frac{x^2}4\biggr) +\cdot\biggl(-\frac{x}2\biggr) += +-x +\, +\mathstrut_0F_1\biggl(;\frac32;-\frac{x^2}4\biggr) +\intertext{Dies stimmt mit der in +\eqref{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:sinhyper} +gefundenen Darstellung der Sinusfunktion mit Hilfe der hypergeometrischen +Funktion $\mathstrut_0F_1$ überein, es ist also wie erwartet} +&=-\sin x. +\qedhere +\end{align*} +\end{beispiel} + +\subsubsection{Stammfunktion} +Eine Stammfunktion kann man auf die gleiche Art und Weise wie +die Ableitung finden. +Termweises Integrieren der Funktion +\eqref{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:f} +ergibt +\begin{align} +\int f(x)\,dx +&= +\sum_{k=0}^\infty +\frac{ +(a_1)_k\cdot\ldots\cdot(a_n)_k +}{ +(b_1)_k\cdot\ldots\cdot(b_m)_k +} +\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}. +\notag +\intertext{Wieder muss man die Pochhammer-Symbole durch solche mit +einem zusätzlichen Faktor schreiben. +Dies ist möglich, wenn keiner der Parameter $a_i=1$ und $b_j=1$ +ist. +Die Stammfunktion wird daher +} +&= +\sum_{k=1}^\infty +\frac{ +(a_1-1)(a_1)_k +\cdot\ldots\cdot +(a_n-1)(a_n)_k +}{ +(b_1-1)(b_1)_k +\cdot\ldots\cdot +(b_m-1)(b_m)_k +} +\frac{x^k}{k!} +\notag +\\ +&= +\sum_{k=1}^\infty +\frac{ +(a_1-1)_{k+1} +\cdot\ldots\cdot +(a_n-1)_{k+1} +}{ +(b_1-1)_{k+1} +\cdot\ldots\cdot +(b_m-1)_{k+1} +} +\frac{x^k}{k!} +\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:stammfunktion:summe} +\\ +&= +\mathstrut_nF_m\biggl( +\begin{matrix} +a_1-1,\dots,a_n-1\\ +b_1-1,\dots,b_m-1 +\end{matrix} +;x +\biggr) +- +\frac{(a_1-1)\dots(a_n-1)}{(b_1-1)\dots(b_m-1)}. +\notag +\end{align} +Der Term auf der rechten Seite kompensiert den konstanten +Term, der in der hypergeometrischen Funktion $\mathstrut_nF_m$ +vorkommt, aber nicht in der +Summe~\eqref{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:stammfunktion:summe}. + -- cgit v1.2.1