From a08ceeb804e40e13673339aace0c554eb50e921a Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Fri, 31 Dec 2021 22:55:49 +0100
Subject: complete stuff on hypergeometric differential equations

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 buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/1.tex | 158 ----------------------
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--- a/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/1.tex
+++ /dev/null
@@ -1,158 +0,0 @@
-Schreiben Sie die Funktion
-\[
-\arcsin x
-=
-x
-+
-\frac{1}{2} \frac{x^3}{5}
-+
-\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\frac{x^5}{5}
-+
-\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\frac{x^7}{7}
-+
-\dots
-+
-\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot (2k-1)}{2\cdot4\cdot 6\cdot (2k)}
-\frac{x^{2k+1}}{2k+1}
-+
-\dots
-\]
-mit Hilfe der hypergeometrischen Funktion $\mathstrut_2F_1$.
-
-\begin{loesung}
-Zunächst betrachten wir die Produkte
-\[
-p_k
-=
-\frac{1\cdot 3\cdot \ldots \cdot (2k-1)}{2\cdot 4\cdot\ldots\cdot (2k)}.
-\]
-Durch Kürzen mit $2^k$ erhalten wir Produkte im Zähler und im Nenner, deren
-Faktoren in Einerschritten ansteigen:
-\[
-p_k
-=
-\frac{
-\frac12\cdot
-\bigl(
-\frac12+1\bigr)\cdot\ldots\cdot\bigl(\frac12+k-1\bigr)
-}{
-1\cdot 2\cdot \ldots \cdot k
-}
-=
-\frac{(\frac12)_k}{(1)_k}
-=
-\frac{(\frac12)_k}{k!}
-\]
-Damit haben wir den ersten Faktor mit Pochhammer-Symbolen geschrieben.
-Den Nenner können wir für den obligatorischen Nenner $k!$ verwenden,
-der in einer hypergeometrischen Reihe vorkommt.
-
-Den verbleibenden Teil muss jetzt in der Form $qz^k$ geschrieben werden,
-wobei $q$ ein Quotient von Pochhammer-Symbolen sein muss.
-Da die Potenzen von $x$ in Zweierschritten ansteigen, müssen wir als
-Argument $z=x^2$ verwenden und einen gemeinsamen Faktor $x$ aus der
-Funktion ausklammern.
-
-Im Faktor $1/(2k+1)$ nimmt der Nenner in Zweierschritten zu, wir schreiben
-ihn daher zunächst als
-\[
-\frac{1}{2k+1}
-=
-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\frac12+k}
-=
-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\frac32+k-1}.
-\]
-Den zweiten Bruch können wir jetzt als Quotiente von Pochhammer-Symbolen
-schreiben, nämlich
-\begin{align*}
-\frac{1}{\frac32+k-1}
-&=
-\frac{
-\frac32
-\cdot
-\bigl(\frac32+1)
-\cdot
-\bigl(\frac32+2)
-\cdots
-\bigl(\frac32+k-2)
-\phantom{
-\mathstrut
-\cdot
-\bigl(\frac32+k-1)
-}
-}{
-\frac32
-\cdot
-\bigl(\frac32+1)
-\cdot
-\bigl(\frac32+2)
-\cdots
-\bigl(\frac32+k-2)
-\cdot
-\bigl(\frac32+k-1)
-}
-\\
-&=
-2
-\frac{
-\frac12
-\cdot
-\frac32
-\cdot
-\bigl(\frac32+1)
-\cdot
-\bigl(\frac32+2)
-\cdots
-\bigl(\frac32+k-2)
-\phantom{
-\mathstrut
-\cdot
-\bigl(\frac32+k-1)
-}
-}{
-\phantom{
-\frac12
-\cdot
-\mathstrut
-}
-\frac32
-\cdot
-\bigl(\frac32+1)
-\cdot
-\bigl(\frac32+2)
-\cdots
-\bigl(\frac32+k-2)
-\cdot
-\bigl(\frac32+k-1)
-}
-\\
-&=
-2\frac{(\frac12)_k}{(\frac32)_k}.
-\end{align*}
-Damit wird die Reihe
-\[
-\arcsin x
-=
-x
-\sum_{k=0}^\infty
-\frac{(\frac12)_k}{(1)_k}
-\cdot
-\frac{(\frac12)_k}{(\frac32)_k}
-\cdot
-(x^2)^k
-=
-x
-\sum_{k=0}^\infty
-\frac{(\frac12)_k(\frac12)_k}{(\frac32)_k}
-\cdot
-\frac{(x^2)^k}{k!}
-=
-\mathstrut_2F_1\biggl(
-\begin{matrix}
-\frac12,\frac12\\ \frac32
-\end{matrix}
-;x^2
-\biggr).
-\qedhere
-\]
-\end{loesung}
-- 
cgit v1.2.1

