From e17a1e21efc407031292b95a6f1a1f2f1ef3993e Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Sun, 2 Jan 2022 20:21:57 +0100
Subject: more problems

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 .../chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/403.tex | 37 ++++++++++++++++++++--
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@@ -2,10 +2,43 @@ Finden Sie eine Formel für $\Gamma(\frac12+n)$ für $n\in\mathbb{N}$.
 
 \begin{loesung}
 Die Funktionalgleichung für die Gamma-Funktion bedeutet
-\[
+\begin{align*}
 \Gamma({\textstyle\frac12}+n)
-=
+&=
 ({\textstyle\frac12}+n-1)
 \Gamma({\textstyle\frac12}+n-1)
+\\
+&=
+({\textstyle\frac12}+n-1)
+({\textstyle\frac12}+n-2)
+\Gamma({\textstyle\frac12}+n-2)
+\\
+&=
+({\textstyle\frac12}+n-1)
+({\textstyle\frac12}+n-2)
+\dots
+({\textstyle\frac12})
+\cdot
+\Gamma({\textstyle\frac12})
+\\
+&=
+\Gamma({\textstyle\frac12})
+\cdot
+({\textstyle\frac12})
+\dots
+({\textstyle\frac12}+n-1)
+=
+\Gamma({\textstyle\frac12})\cdot ({\textstyle\frac12})_n
+=
+\sqrt{\pi\mathstrut}\cdot ({\textstyle\frac12})_n.
+\end{align*}
+Mit dem Resultat von Aufgaben~\ref{404} kann jetzt das Pochhammer-Symbol
+durch bekanntere Funktionen dargestellt und somit der
+gesuchte $\Gamma$-Funktionswert als
+\[
+\Gamma({\textstyle\frac12}+n)
+=
+\frac{(2n)!\cdot \sqrt{\pi\mathstrut}}{n!\cdot 2^{2n}}
 \]
+geschrieben werden.
 \end{loesung}
-- 
cgit v1.2.1

