From 3213e60d21021f8101dbd558cf3b9c45db20e47a Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Mon, 20 Dec 2021 07:12:54 +0100
Subject: euler transform and stuff

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 buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex            | 17 +++++++++++++++--
 buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex |  6 ++++--
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diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
index 9bbbd13..407be66 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
@@ -692,13 +692,26 @@ geschrieben werden:}
 &=
 \frac{(x+y)_n}{(y)_n}
 \int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y+n-1}\,dt.
-\intertext{Wir streben an, mit dem Grenzübergang $n\to\infty$ aus den
+\end{align*}
+Wir halten dieses Zwischenresultat für spätere Verwendung fest.
+
+\begin{lemma}
+\label{buch:rekursion:gamma:betareklemma}
+Für $n\in\mathbb{N}$ gilt
+\[
+B(x,y+n) = \frac{(y)_n}{(x+y)_n} B(x,y).
+\]
+\end{lemma}
+
+Wir streben an, mit dem Grenzübergang $n\to\infty$ aus den
 Pochhammer-Symbolen Gamma-Funktionen zu machen, dazu müssen gemäss
 Definition~\ref{buch:rekursion:gamma:def:definition} weitere Faktoren
 $1/(n!\,n^{x-1})$ vorhanden sein.
 Wir erweitern geeignet und nehmen die übrig bleibenden Faktoren in
 das Integral.
-So ergibt sich}
+So ergibt sich
+\begin{align*}
+B(x,y)
 &=
 \frac{(x+y)_n}{n!\, n^{x+y-1}}
 \frac{n!\,n^{y-1}}{(y)_n}
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex
index e6bf213..4d4fb0d 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex
@@ -571,7 +571,7 @@ Damit lässt sich die Sinus-Funktion als
 =
 x\,\mathstrut_1F_2\biggl(\begin{matrix}1\\1,\frac32\end{matrix};-x^2\biggr)
 =
-x\,\mathstrut_1F_2\biggl(\begin{matrix}\text{---}\\\frac32\end{matrix};-x^2\biggr)
+x\,\mathstrut_0F_1\biggl(\begin{matrix}\text{---}\\\frac32\end{matrix};-x^2\biggr)
 \label{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:sinhyper}
 \end{equation}
 durch eine hypergeometrische Funktion ausdrücken.
@@ -600,7 +600,7 @@ x\,\mathstrut_1F_2\biggl(
 \biggr)
 =
 x\,\mathstrut_0F_1\biggl(
-\begin{matrix}\text{---}\\,\frac{3}{2}\end{matrix}
+\begin{matrix}\text{---}\\\frac{3}{2}\end{matrix}
 ;x^2
 \biggr).
 \end{align*}
@@ -909,6 +909,8 @@ Integraldarstellung
 \]
 \end{satz}
 
+TODO: Dies ist ein Spezialfall der Eulerschen Integraltransformation für
+hypergeometrische Funktionen.
 
 \subsection{TODO}
 \begin{itemize}
-- 
cgit v1.2.1