From 531c564ecc1d73e1ddf25890720212d89f18edc1 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Wed, 8 Dec 2021 20:15:41 +0100 Subject: add new stuff about airy and hypergeometric functions --- buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex | 251 ++++++++++++++++++++++- buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex | 85 ++++++++ 2 files changed, 329 insertions(+), 7 deletions(-) (limited to 'buch/chapters/040-rekursion') diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex index 00eee19..36937c7 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex @@ -106,7 +106,7 @@ und erhalten \begin{equation} x! = -\frac{n!n^x}{(x+1)_n}\cdot +\frac{n!\,n^x}{(x+1)_n}\cdot \frac{(n+1)_x}{n^x}. \label{buch:rekursion:gamma:eqn:produkt3} \end{equation} @@ -139,7 +139,7 @@ Dies würde die folgende Definition rechtfertigen. Die Gamma-Funktion $\Gamma(x)$ einer Zahl $x\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,-3,\dots\}$ ist der Grenzwert \[ -\Gamma(x) = \lim_{n\to\infty} \frac{n!n^{x-1}}{(x)_n}. +\Gamma(x) = \lim_{n\to\infty} \frac{n!\,n^{x-1}}{(x)_n}. \] \end{definition} @@ -170,11 +170,11 @@ dies ist möglich, indem man mit $x$ erweitert: \begin{align*} \Gamma(x+1) &= -\lim_{n\to\infty}\frac{n!n^x}{(x+1)_n} +\lim_{n\to\infty}\frac{n!\,n^x}{(x+1)_n} = -x\lim_{n\to\infty}\frac{n!n^x}{x(x+1)_n} +x\lim_{n\to\infty}\frac{n!\,n^x}{x(x+1)_n} = -x\lim_{n\to\infty}\frac{n!n^x}{(x)_{n+1}}. +x\lim_{n\to\infty}\frac{n!\,n^x}{(x)_{n+1}}. \intertext{Wir müssen jetzt nur noch zeigen, dass der Grenzwert auf der rechten Seite gegen $\Gamma(x)$ konvergiert, in dessen Definition aber die Potenz $n^{x-1}$ vorkommt. @@ -217,7 +217,7 @@ Dies ist aber viel zu kleine, um gute Approximationen auch für kleine Werte von $x$ zu geben. So findet man zum Beispiel für $x=\frac12$ und $n=170$ mit Octave \[ -\frac{n!n^{x-1}}{(x)_n} +\frac{n!\,n^{x-1}}{(x)_n} = \frac{170!}{\sqrt{170}\cdot \frac12\cdot\frac32\cdot\ldots\cdot\frac{339}{2}} = @@ -304,7 +304,7 @@ berechnen wir \frac{1}{\Gamma(x)} &= \lim_{n\to\infty} -\frac{(x)_n}{n!n^{x-1}} +\frac{(x)_n}{n!\,n^{x-1}} = \lim_{n\to\infty} \frac{x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)}{1\cdot 2\cdot3\cdots (n-1)\cdot n\cdot n^{x-1}} @@ -584,6 +584,243 @@ Die Genauigkeit erreicht sechs korrekte Nachkommastellen mit nur % \subsection{Die Beta-Funktion} +\begin{definition} +Das Beta-Integral ist das Integral +\[ +B(x,y) += +\int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1}\,dt +\] +für $\operatorname{Re}x>0$, $\operatorname{Re}y>0$. +\end{definition} + +Aus der Definition kann man sofort ablesen, dass $B(x,y)=B(y,x)$. +Für $y=1$ folgt ausserdem +\[ +B(x,1) = \int_0^1 t^{x-1}\,dt = \biggl[ \frac{t^x}{x}\biggr]_0^1 = \frac{1}{x}. +\] +Speziell gilt $B(1,1)=1$. + +\subsubsection{Rekursionsformeln für das Beta-Integral} +Aus der Definition folgt direkt +\begin{align*} +B(x,y+1) +&= +\int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y+1-1}\,dt += +\int_0^1 (1-t) t^{x-1} (1-t)^{y-1}\,dt +\\ +&= +\int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1}\,dt +- +\int_0^1 t^{x} (1-t)^{y-1}\,dt +\\ +&= +B(x,y) - B(x+1,y) +\end{align*} +oder +\begin{equation} +B(x+1,y) = B(x,y) - B(x,y+1). +\label{buch:rekursion:gamma:betarek1} +\end{equation} +% +%XXX Vergleich mit der Rekursionsformel für Binomialkoeffizienten +% +Durch partielle Integration kann man eine weitere Rekursionsformel finden. +Dazu berechnet man +\begin{align} +B(x,y+1) +&= +\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y}\,dt +\notag +\\ +&= +\biggl[\frac{t^x}x(1-t)^y\biggr]_0^1 ++ +\frac{y}x \int_0^1 t^x(1-t)^{y-1}\,dt +\notag +\\ +&= + \frac{y}x B(x+1,y). +\label{buch:rekursion:gamma:betarek2} +\end{align} +Durch Gleichsetzen +\eqref{buch:rekursion:gamma:betarek1} +und +\eqref{buch:rekursion:gamma:betarek2} +entsteht die Rekursionsformel +\[ +B(x,y)-B(x,y+1) += +B(x+1,y) += +\frac{x}{y}B(x,y+1) +\] +oder +\begin{equation} +B(x,y) += +\frac{x+y}{y}B(x,y+1). +\label{buch:rekursion:gamma:betarek3} +\end{equation} + +\subsubsection{Beta-Funktion und Gamma-Funktion} +Die Rekursionsbeziehung~\eqref{buch:rekursion:gamma:betarek3} +kann jetzt dazu verwendet werden, eine Darstellung der Beta-Funktion +durch die Gamma-Funktion zu finden. +Durch $n$-fache Anwendung von \eqref{buch:rekursion:gamma:betarek3} +ergibt sich zunächst +\begin{align*} +B(x,y) +&= +\frac{x+y}{y} +B(x,y+1) += +\frac{x+y}{y} +\frac{x+y+1}{y+1} +B(x,y+2) +\\ +&= +\frac{x+y}{y} +\frac{x+y+1}{y+1} +\cdot +\ldots +\cdot +\frac{x+y+n-1}{y+n-1} +B(x,y+n) += +\frac{(x+y)_n}{(y)_n} +B(x,y+n) +\intertext{Die Beta-Funktion auf der rechten Seite kann als Integral +geschrieben werden:} +&= +\frac{(x+y)_n}{(y)_n} +\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y+n-1}\,dt. +\intertext{Wir streben an, mit dem Grenzübergang $n\to\infty$ aus den +Pochhammer-Symbolen Gamma-Funktionen zu machen, dazu müssen gemäss +Definition~\ref{buch:rekursion:gamma:def:definition} weitere Faktoren +$1/(n!\,n^{x-1})$ vorhanden sein. +Wir erweitern geeignet und nehmen die übrig bleibenden Faktoren in +das Integral. +So ergibt sich} +&= +\frac{(x+y)_n}{n!\, n^{x+y-1}} +\frac{n!\,n^{y-1}}{(y)_n} +\int_0^1 n^{x} t^{x-1}(1-t)^{y+n-1}\,dt. +\intertext{Mit der Substition $s/n=t$ wird das Integral zu einem Integral +über das Interval $[0,n]$} +&= +\frac{(x+y)_n}{n!\, n^{x+y-1}} +\frac{n!\,n^{y-1}}{(y)_n} +\int_0^n +n^{x} +\biggl(\frac{s}{n}\biggr)^{x-1} +\biggl(1-\frac{s}{n}\biggr)^{y+n-1} +\,\frac{ds}{n}. +\\ +&= +\frac{(x+y)_n}{n!\, n^{x+y-1}} +\frac{n!\,n^{y-1}}{(y)_n} +\int_0^n +n^{x-1} +\biggl(\frac{s}{n}\biggr)^{x-1} +\biggl(1-\frac{s}{n}\biggr)^{y+n-1} +\,ds. +\intertext{Beim Grenzübergang $n\to\infty$ wird daraus} +&= +\underbrace{\frac{(x+y)_n}{n!\, n^{x+y-1}}}_{\displaystyle \to 1/\Gamma(x+y)} +\underbrace{\frac{n!\,n^{y-1}}{(y)_n}}_{\displaystyle\to \Gamma(y)} +\int_0^n +s^{x-1} +\underbrace{\biggl(1-\frac{s}{n}\biggr)^{n}}_{\displaystyle\to e^{-s}} +\underbrace{\biggl(1-\frac{s}{n}\biggr)^{y-1}}_{\displaystyle\to 1} +\,ds. +\\ +&\to \frac{\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \int_0^\infty s^{x-1}e^{-s}\,ds += +\frac{\Gamma(y)\Gamma(x)}{\Gamma(x+y)}. +\end{align*} + +\begin{satz} +Die Beta-Funktion kann aus der Gamma-Funktion nach +\begin{equation} +B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} +\end{equation} +berechnet werden. +\end{satz} + +\subsubsection{Beta-Funktion und Binomialkoeffizienten} +Die Binomialkoeffizienten können mit Hilfe der Fakultät als +\begin{equation} +\binom{n}{k} += +\frac{n!}{(n-k)!\,k!} += +\frac{\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k-1)\Gamma(k-1)} += +\frac{(n-2)\Gamma(n-2)}{\Gamma(n-k-1)\Gamma(k-1)} += +\frac{n-2}{B(n-k-1,k-1)} +\label{buch:rekursion:gamma:binombeta} +\end{equation} +geschrieben werden. +Die Rekursionsbeziehung +\[ +\binom{n+1}{k} = \binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} +\] +der Binomialkoeffizienten erzeugt das vertraute Pascal-Dreieck, +die Formel \eqref{buch:rekursion:gamma:binombeta} für die +Binomialkoeffizienten macht daraus +\[ +\frac{n-1}{B(n-k,k-1)} += +\frac{n-2}{B(n-k,k-2)} ++ +\frac{n-2}{B(n-k-1,k-1)}, +\] +die für ganzzahlige Argumente gilt. +Wir wollen nachrechnen, dass dies für beliebige Argumente gilt. +\begin{align*} +\frac{(n-1)\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-1)} +&= +\frac{(n-2)\Gamma(n-2)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-2)} ++ +\frac{(n-2)\Gamma(n-2)}{\Gamma(n-k-1)\Gamma(k-1)} +\\ +\frac{\Gamma(n)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-1)} +&= +\frac{\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-2)} ++ +\frac{\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k-1)\Gamma(k-1)} +\intertext{Durch Zusammenfassen der Faktoren im Zähler mit Hilfe +der Rekursionsformel für die Gamma-Funktion und Multiplizieren +mit dem gemeinsamen Nenner +$\Gamma(n-k)\Gamma(k-1)=(n-k-1)\Gamma(n-k-1)(k-2)\Gamma(k-2)$ wird daraus} +\Gamma(n) +&= +(k-2) +\Gamma(n-1) ++ +(n-k-1) +\Gamma(n-1) +\intertext{Indem wir die Rekursionsformel für die Gamma-Funktion auf +die rechte Seite anwenden können wir erreichen, dass in allen Termen +ein Faktor +$\Gamma(n-1)$ auftritt:} +(n-1)\Gamma(n-1) +&= +(k-2)\Gamma(n-1) ++ +(n+k-1)\Gamma(n-1) +\\ +n-1 +&= +k-2 ++ +n-k-1 +\end{align*} + + % % % diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex index 2bbb1f4..d836277 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex @@ -825,4 +825,89 @@ Term, der in der hypergeometrischen Funktion $\mathstrut_nF_m$ vorkommt, aber nicht in der Summe~\eqref{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:stammfunktion:summe}. +\subsection{Integraldarstellung der hypergeometrischen Funktion +$\mathstrut_2F_1$} +Das Integral +\[ +f(x) += +\int_0^1 t^{b-1} (1-t)^{c-b-1} (1-xt)^{-a}\,dt +\] +kann im allgemeinen nicht in geschlossener Form evaluiert werden. +Die Newtonsche binomische Reihe ermöglicht, den $x$ enthaltenden +Faktor als +\[ +(1-xt)^{-a} += +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(a)_k}{k!} x^k t^k +\] +zu schreiben. +Setzt man dies ins Integral ein, erhält man +\[ +f(x) += +\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k +\int_0^1 t^{b-1} (1-t)^{c-b-1} t^k\,dt += +\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k +\int_0^1 t^{k+b-1} (1-t)^{c-b-1} t^k\,dt. +\] +Das Integral ist die Beta-Funktion $B(k+b,c-b)$ und kann daher mit Hilfe +der Gamma-Funktion geschrieben werden. +Es gilt +\[ +B(k+b,c-b) += +\frac{\Gamma(k+b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c+k)}. +\] +Mit Hilfe der Funktionalgleichung der Gamma-Funktion kann man +\begin{align*} +\Gamma(u+k) +&= +\Gamma(u+k-1) (u+k-1) += +\Gamma(u+k-2) (u+k-2)(u+k-1) +\\ +&= +\ldots +\\ +&= +\Gamma(u) u(u+1)\cdots(u+k-2)(u+k-1) +\end{align*} +schreiben, womit das Integral zu +\begin{align*} +f(x) +&= +\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k +\frac{\Gamma(k+b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c+k)} += +\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k +\frac{\Gamma(b)(b)_k\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)(c)_k} +\\ +&= +\frac{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)} +\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k(b)_k}{(c)_k} x^k += +\frac{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)}\,\mathstrut_2F_1(a,b;c;x) +\end{align*} +vereinfacht werden kann. +Damit ist das Integral bestimmt. +Durch Auflösung nach der hypergeometrischen Funktion bekommt man +die folgende Integraldarstellung. + +\begin{satz} +Die hypergeometrische Funktion $\mathstrut_2F_1$ hat die +Integraldarstellung +\[ +\mathstrut_2F_1\biggl( +\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};x +\biggr) += +\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)} +\int_0^1 t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-xt)^{-a}\,dt. +\] +\end{satz} + + -- cgit v1.2.1