From a08ceeb804e40e13673339aace0c554eb50e921a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Fri, 31 Dec 2021 22:55:49 +0100 Subject: complete stuff on hypergeometric differential equations --- buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc | 5 +- buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex | 5 +- buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex | 2 + buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/1.tex | 158 -------------------- buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/2.tex | 52 ------- buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/3.tex | 11 -- .../chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/401.tex | 159 +++++++++++++++++++++ .../chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/402.tex | 52 +++++++ .../chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/403.tex | 11 ++ 9 files changed, 230 insertions(+), 225 deletions(-) delete mode 100644 buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/1.tex delete mode 100644 buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/2.tex delete mode 100644 buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/3.tex create mode 100644 buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/401.tex create mode 100644 buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/402.tex create mode 100644 buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/403.tex (limited to 'buch/chapters/040-rekursion') diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc b/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc index bf68f89..9536684 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc @@ -9,6 +9,7 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ chapters/040-rekursion/beta.tex \ chapters/040-rekursion/linear.tex \ chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex \ - chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/1.tex \ - chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/2.tex \ + chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/401.tex \ + chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/402.tex \ + chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/403.tex \ chapters/040-rekursion/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex b/buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex index 26fef37..a92740e 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex @@ -19,7 +19,8 @@ \aufgabetoplevel{chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben} \begin{uebungsaufgaben} %\uebungsaufgabe{0} -\uebungsaufgabe{1} -\uebungsaufgabe{2} +\uebungsaufgabe{401} +\uebungsaufgabe{402} +\uebungsaufgabe{403} \end{uebungsaufgaben} diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex index 5d84720..5a66e4c 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex @@ -912,7 +912,9 @@ Summe~\eqref{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:stammfunktion:summe}. %TODO: Dies ist ein Spezialfall der Eulerschen Integraltransformation für %hypergeometrische Funktionen. + \subsection{TODO} \begin{itemize} +\item Hypergeometrische Transformationen \item Gausscher Kettenbruch \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Gauss\%27s_continued_fraction} \end{itemize} diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/1.tex b/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/1.tex deleted file mode 100644 index a28786b..0000000 --- a/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/1.tex +++ /dev/null @@ -1,158 +0,0 @@ -Schreiben Sie die Funktion -\[ -\arcsin x -= -x -+ -\frac{1}{2} \frac{x^3}{5} -+ -\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\frac{x^5}{5} -+ -\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\frac{x^7}{7} -+ -\dots -+ -\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot (2k-1)}{2\cdot4\cdot 6\cdot (2k)} -\frac{x^{2k+1}}{2k+1} -+ -\dots -\] -mit Hilfe der hypergeometrischen Funktion $\mathstrut_2F_1$. - -\begin{loesung} -Zunächst betrachten wir die Produkte -\[ -p_k -= -\frac{1\cdot 3\cdot \ldots \cdot (2k-1)}{2\cdot 4\cdot\ldots\cdot (2k)}. -\] -Durch Kürzen mit $2^k$ erhalten wir Produkte im Zähler und im Nenner, deren -Faktoren in Einerschritten ansteigen: -\[ -p_k -= -\frac{ -\frac12\cdot -\bigl( -\frac12+1\bigr)\cdot\ldots\cdot\bigl(\frac12+k-1\bigr) -}{ -1\cdot 2\cdot \ldots \cdot k -} -= -\frac{(\frac12)_k}{(1)_k} -= -\frac{(\frac12)_k}{k!} -\] -Damit haben wir den ersten Faktor mit Pochhammer-Symbolen geschrieben. -Den Nenner können wir für den obligatorischen Nenner $k!$ verwenden, -der in einer hypergeometrischen Reihe vorkommt. - -Den verbleibenden Teil muss jetzt in der Form $qz^k$ geschrieben werden, -wobei $q$ ein Quotient von Pochhammer-Symbolen sein muss. -Da die Potenzen von $x$ in Zweierschritten ansteigen, müssen wir als -Argument $z=x^2$ verwenden und einen gemeinsamen Faktor $x$ aus der -Funktion ausklammern. - -Im Faktor $1/(2k+1)$ nimmt der Nenner in Zweierschritten zu, wir schreiben -ihn daher zunächst als -\[ -\frac{1}{2k+1} -= -\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\frac12+k} -= -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\frac32+k-1}. -\] -Den zweiten Bruch können wir jetzt als Quotiente von Pochhammer-Symbolen -schreiben, nämlich -\begin{align*} -\frac{1}{\frac32+k-1} -&= -\frac{ -\frac32 -\cdot -\bigl(\frac32+1) -\cdot -\bigl(\frac32+2) -\cdots -\bigl(\frac32+k-2) -\phantom{ -\mathstrut -\cdot -\bigl(\frac32+k-1) -} -}{ -\frac32 -\cdot -\bigl(\frac32+1) -\cdot -\bigl(\frac32+2) -\cdots -\bigl(\frac32+k-2) -\cdot -\bigl(\frac32+k-1) -} -\\ -&= -2 -\frac{ -\frac12 -\cdot -\frac32 -\cdot -\bigl(\frac32+1) -\cdot -\bigl(\frac32+2) -\cdots -\bigl(\frac32+k-2) -\phantom{ -\mathstrut -\cdot -\bigl(\frac32+k-1) -} -}{ -\phantom{ -\frac12 -\cdot -\mathstrut -} -\frac32 -\cdot -\bigl(\frac32+1) -\cdot -\bigl(\frac32+2) -\cdots -\bigl(\frac32+k-2) -\cdot -\bigl(\frac32+k-1) -} -\\ -&= -2\frac{(\frac12)_k}{(\frac32)_k}. -\end{align*} -Damit wird die Reihe -\[ -\arcsin x -= -x -\sum_{k=0}^\infty -\frac{(\frac12)_k}{(1)_k} -\cdot -\frac{(\frac12)_k}{(\frac32)_k} -\cdot -(x^2)^k -= -x -\sum_{k=0}^\infty -\frac{(\frac12)_k(\frac12)_k}{(\frac32)_k} -\cdot -\frac{(x^2)^k}{k!} -= -\mathstrut_2F_1\biggl( -\begin{matrix} -\frac12,\frac12\\ \frac32 -\end{matrix} -;x^2 -\biggr). -\qedhere -\] -\end{loesung} diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/2.tex b/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/2.tex deleted file mode 100644 index b70626c..0000000 --- a/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/2.tex +++ /dev/null @@ -1,52 +0,0 @@ -Berechnen Sie -\begin{teilaufgaben} -\item $\Gamma(\frac{5}2)$ -\item $\displaystyle \frac{\Gamma(\frac{16}3)}{\Gamma(\frac{10}3)}$ -\end{teilaufgaben} - -\begin{loesung} -\begin{teilaufgaben} -\item -Mit Hilfe der Funktionalgleichung findet man -\[ -\Gamma({\textstyle\frac52}) -= -\frac32 -\cdot -\Gamma({\textstyle\frac32}) -= -\frac32 -\cdot -\frac12 -\cdot -\Gamma({\textstyle\frac12}) -= -\frac{3}{4}\sqrt{\pi}. -\] -\item -Ebenfalls unter Verwendung der Funktionalgleichung der Gamma-Funktion -findet man -\[ -\Gamma({\textstyle\frac{16}3}) -= -\frac{13}3 -\cdot -\Gamma({\textstyle\frac{13}3}) -= -\frac{13}3 -\cdot -\frac{10}3 -\cdot -\Gamma({\textstyle\frac{10}3}) -\quad\Rightarrow\quad -\frac{\Gamma(\frac{16}3)}{\Gamma(\frac{10}3)} -= -\frac{13}3\cdot\frac{10}3 -= -\frac{130}{9} -\approx -14.4444. -\qedhere -\] -\end{teilaufgaben} -\end{loesung} diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/3.tex b/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/3.tex deleted file mode 100644 index a747ecb..0000000 --- a/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/3.tex +++ /dev/null @@ -1,11 +0,0 @@ -Finden Sie eine Formel für $\Gamma(\frac12+n)$ für $n\in\mathbb{N}$. - -\begin{loesung} -Die Funktionalgleichung für die Gamma-Funktion bedeutet -\[ -\Gamma({\textstyle\frac12}+n) -= -({\textstyle\frac12}+n-1) -\Gamma({\textstyle\frac12}+n-1) -\] -\end{loesung} diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/401.tex b/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/401.tex new file mode 100644 index 0000000..e83b083 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/401.tex @@ -0,0 +1,159 @@ +Schreiben Sie die Funktion +\[ +\arcsin x += +x ++ +\frac{1}{2} \frac{x^3}{5} ++ +\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\frac{x^5}{5} ++ +\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\frac{x^7}{7} ++ +\dots ++ +\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot (2k-1)}{2\cdot4\cdot 6\cdot (2k)} +\frac{x^{2k+1}}{2k+1} ++ +\dots +\] +mit Hilfe der hypergeometrischen Funktion $\mathstrut_2F_1$. + +\begin{loesung} +Zunächst betrachten wir die Produkte +\[ +p_k += +\frac{1\cdot 3\cdot \ldots \cdot (2k-1)}{2\cdot 4\cdot\ldots\cdot (2k)}. +\] +Durch Kürzen mit $2^k$ erhalten wir Produkte im Zähler und im Nenner, deren +Faktoren in Einerschritten ansteigen: +\[ +p_k += +\frac{ +\frac12\cdot +\bigl( +\frac12+1\bigr)\cdot\ldots\cdot\bigl(\frac12+k-1\bigr) +}{ +1\cdot 2\cdot \ldots \cdot k +} += +\frac{(\frac12)_k}{(1)_k} += +\frac{(\frac12)_k}{k!} +\] +Damit haben wir den ersten Faktor mit Pochhammer-Symbolen geschrieben. +Den Nenner können wir für den obligatorischen Nenner $k!$ verwenden, +der in einer hypergeometrischen Reihe vorkommt. + +Den verbleibenden Teil muss jetzt in der Form $qz^k$ geschrieben werden, +wobei $q$ ein Quotient von Pochhammer-Symbolen sein muss. +Da die Potenzen von $x$ in Zweierschritten ansteigen, müssen wir als +Argument $z=x^2$ verwenden und einen gemeinsamen Faktor $x$ aus der +Funktion ausklammern. + +Im Faktor $1/(2k+1)$ nimmt der Nenner in Zweierschritten zu, wir schreiben +ihn daher zunächst als +\[ +\frac{1}{2k+1} += +\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\frac12+k} += +\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\frac32+k-1}. +\] +Den zweiten Bruch können wir jetzt als Quotiente von Pochhammer-Symbolen +schreiben, nämlich +\begin{align*} +\frac{1}{\frac32+k-1} +&= +\frac{ +\frac32 +\cdot +\bigl(\frac32+1) +\cdot +\bigl(\frac32+2) +\cdots +\bigl(\frac32+k-2) +\phantom{ +\mathstrut +\cdot +\bigl(\frac32+k-1) +} +}{ +\frac32 +\cdot +\bigl(\frac32+1) +\cdot +\bigl(\frac32+2) +\cdots +\bigl(\frac32+k-2) +\cdot +\bigl(\frac32+k-1) +} +\\ +&= +2 +\frac{ +\frac12 +\cdot +\frac32 +\cdot +\bigl(\frac32+1) +\cdot +\bigl(\frac32+2) +\cdots +\bigl(\frac32+k-2) +\phantom{ +\mathstrut +\cdot +\bigl(\frac32+k-1) +} +}{ +\phantom{ +\frac12 +\cdot +\mathstrut +} +\frac32 +\cdot +\bigl(\frac32+1) +\cdot +\bigl(\frac32+2) +\cdots +\bigl(\frac32+k-2) +\cdot +\bigl(\frac32+k-1) +} +\\ +&= +2\frac{(\frac12)_k}{(\frac32)_k}. +\end{align*} +Damit wird die Reihe +\[ +\arcsin x += +x +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(\frac12)_k}{(1)_k} +\cdot +\frac{(\frac12)_k}{(\frac32)_k} +\cdot +(x^2)^k += +x +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(\frac12)_k(\frac12)_k}{(\frac32)_k} +\cdot +\frac{(x^2)^k}{k!} += +x\, +\mathstrut_2F_1\biggl( +\begin{matrix} +\frac12,\frac12\\ \frac32 +\end{matrix} +;x^2 +\biggr). +\qedhere +\] +\end{loesung} diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/402.tex b/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/402.tex new file mode 100644 index 0000000..b70626c --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/402.tex @@ -0,0 +1,52 @@ +Berechnen Sie +\begin{teilaufgaben} +\item $\Gamma(\frac{5}2)$ +\item $\displaystyle \frac{\Gamma(\frac{16}3)}{\Gamma(\frac{10}3)}$ +\end{teilaufgaben} + +\begin{loesung} +\begin{teilaufgaben} +\item +Mit Hilfe der Funktionalgleichung findet man +\[ +\Gamma({\textstyle\frac52}) += +\frac32 +\cdot +\Gamma({\textstyle\frac32}) += +\frac32 +\cdot +\frac12 +\cdot +\Gamma({\textstyle\frac12}) += +\frac{3}{4}\sqrt{\pi}. +\] +\item +Ebenfalls unter Verwendung der Funktionalgleichung der Gamma-Funktion +findet man +\[ +\Gamma({\textstyle\frac{16}3}) += +\frac{13}3 +\cdot +\Gamma({\textstyle\frac{13}3}) += +\frac{13}3 +\cdot +\frac{10}3 +\cdot +\Gamma({\textstyle\frac{10}3}) +\quad\Rightarrow\quad +\frac{\Gamma(\frac{16}3)}{\Gamma(\frac{10}3)} += +\frac{13}3\cdot\frac{10}3 += +\frac{130}{9} +\approx +14.4444. +\qedhere +\] +\end{teilaufgaben} +\end{loesung} diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/403.tex b/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/403.tex new file mode 100644 index 0000000..a747ecb --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/403.tex @@ -0,0 +1,11 @@ +Finden Sie eine Formel für $\Gamma(\frac12+n)$ für $n\in\mathbb{N}$. + +\begin{loesung} +Die Funktionalgleichung für die Gamma-Funktion bedeutet +\[ +\Gamma({\textstyle\frac12}+n) += +({\textstyle\frac12}+n-1) +\Gamma({\textstyle\frac12}+n-1) +\] +\end{loesung} -- cgit v1.2.1