From b061e8140748608327055591a6c9e8a9722274a2 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 27 Dec 2021 20:34:52 +0100 Subject: new stuff about logarithms --- buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex | 172 +++++++++++------------ buch/chapters/040-rekursion/linear.tex | 4 +- 2 files changed, 88 insertions(+), 88 deletions(-) (limited to 'buch/chapters/040-rekursion') diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex index 4d4fb0d..5d84720 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex @@ -825,92 +825,92 @@ Term, der in der hypergeometrischen Funktion $\mathstrut_nF_m$ vorkommt, aber nicht in der Summe~\eqref{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:stammfunktion:summe}. -\subsection{Integraldarstellung der hypergeometrischen Funktion -$\mathstrut_2F_1$} -Das Integral -\[ -f(x) -= -\int_0^1 t^{b-1} (1-t)^{c-b-1} (1-xt)^{-a}\,dt -\] -kann im allgemeinen nicht in geschlossener Form evaluiert werden. -Die Newtonsche binomische Reihe ermöglicht, den $x$ enthaltenden -Faktor als -\[ -(1-xt)^{-a} -= -\sum_{k=0}^\infty -\frac{(a)_k}{k!} x^k t^k -\] -zu schreiben. -Setzt man dies ins Integral ein, erhält man -\[ -f(x) -= -\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k -\int_0^1 t^{b-1} (1-t)^{c-b-1} t^k\,dt -= -\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k -\int_0^1 t^{k+b-1} (1-t)^{c-b-1} t^k\,dt. -\] -Das Integral ist die Beta-Funktion $B(k+b,c-b)$ und kann daher mit Hilfe -der Gamma-Funktion geschrieben werden. -Es gilt -\[ -B(k+b,c-b) -= -\frac{\Gamma(k+b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c+k)}. -\] -Mit Hilfe der Funktionalgleichung der Gamma-Funktion kann man -\begin{align*} -\Gamma(u+k) -&= -\Gamma(u+k-1) (u+k-1) -= -\Gamma(u+k-2) (u+k-2)(u+k-1) -\\ -&= -\ldots -\\ -&= -\Gamma(u) u(u+1)\cdots(u+k-2)(u+k-1) -\end{align*} -schreiben, womit das Integral zu -\begin{align*} -f(x) -&= -\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k -\frac{\Gamma(k+b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c+k)} -= -\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k -\frac{\Gamma(b)(b)_k\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)(c)_k} -\\ -&= -\frac{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)} -\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k(b)_k}{(c)_k} x^k -= -\frac{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)}\,\mathstrut_2F_1(a,b;c;x) -\end{align*} -vereinfacht werden kann. -Damit ist das Integral bestimmt. -Durch Auflösung nach der hypergeometrischen Funktion bekommt man -die folgende Integraldarstellung. - -\begin{satz} -Die hypergeometrische Funktion $\mathstrut_2F_1$ hat die -Integraldarstellung -\[ -\mathstrut_2F_1\biggl( -\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};x -\biggr) -= -\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)} -\int_0^1 t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-xt)^{-a}\,dt. -\] -\end{satz} - -TODO: Dies ist ein Spezialfall der Eulerschen Integraltransformation für -hypergeometrische Funktionen. +%\subsection{Integraldarstellung der hypergeometrischen Funktion +%$\mathstrut_2F_1$} +%Das Integral +%\[ +%f(x) +%= +%\int_0^1 t^{b-1} (1-t)^{c-b-1} (1-xt)^{-a}\,dt +%\] +%kann im allgemeinen nicht in geschlossener Form evaluiert werden. +%Die Newtonsche binomische Reihe ermöglicht, den $x$ enthaltenden +%Faktor als +%\[ +%(1-xt)^{-a} +%= +%\sum_{k=0}^\infty +%\frac{(a)_k}{k!} x^k t^k +%\] +%zu schreiben. +%Setzt man dies ins Integral ein, erhält man +%\[ +%f(x) +%= +%\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k +%\int_0^1 t^{b-1} (1-t)^{c-b-1} t^k\,dt +%= +%\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k +%\int_0^1 t^{k+b-1} (1-t)^{c-b-1} t^k\,dt. +%\] +%Das Integral ist die Beta-Funktion $B(k+b,c-b)$ und kann daher mit Hilfe +%der Gamma-Funktion geschrieben werden. +%Es gilt +%\[ +%B(k+b,c-b) +%= +%\frac{\Gamma(k+b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c+k)}. +%\] +%Mit Hilfe der Funktionalgleichung der Gamma-Funktion kann man +%\begin{align*} +%\Gamma(u+k) +%&= +%\Gamma(u+k-1) (u+k-1) +%= +%\Gamma(u+k-2) (u+k-2)(u+k-1) +%\\ +%&= +%\ldots +%\\ +%&= +%\Gamma(u) u(u+1)\cdots(u+k-2)(u+k-1) +%\end{align*} +%schreiben, womit das Integral zu +%\begin{align*} +%f(x) +%&= +%\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k +%\frac{\Gamma(k+b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c+k)} +%= +%\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k +%\frac{\Gamma(b)(b)_k\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)(c)_k} +%\\ +%&= +%\frac{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)} +%\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k(b)_k}{(c)_k} x^k +%= +%\frac{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)}\,\mathstrut_2F_1(a,b;c;x) +%\end{align*} +%vereinfacht werden kann. +%Damit ist das Integral bestimmt. +%Durch Auflösung nach der hypergeometrischen Funktion bekommt man +%die folgende Integraldarstellung. +% +%\begin{satz} +%Die hypergeometrische Funktion $\mathstrut_2F_1$ hat die +%Integraldarstellung +%\[ +%\mathstrut_2F_1\biggl( +%\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};x +%\biggr) +%= +%\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)} +%\int_0^1 t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-xt)^{-a}\,dt. +%\] +%\end{satz} +% +%TODO: Dies ist ein Spezialfall der Eulerschen Integraltransformation für +%hypergeometrische Funktionen. \subsection{TODO} \begin{itemize} diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/linear.tex b/buch/chapters/040-rekursion/linear.tex index 2c05d60..a3ff0c2 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/linear.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/linear.tex @@ -53,7 +53,7 @@ ebenfalls Lösungen. Ausserdem ist $e^{2k\pi i}F(z)$ eine Lösung der Differenzengleichung, es gibt also unendlich viele linear unabhängige Lösungen. -\subsection{Lösung mit Potenzfunktionen} +\subsection{Lösung mit Exponentialfunktionen} Gesucht ist eine ganze Funktion, also eine Funktion $F\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$, die Lösung einer Differenzengleichung @@ -111,7 +111,7 @@ Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms \lambda_\pm = \begin{cases} \displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{2}=\varphi -\\[3pt] +\\[8pt] \displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{1}{\varphi}, \end{cases} -- cgit v1.2.1