From 816cb13511777905e7a98e49bd6f5201b86811e4 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 27 Dec 2021 23:42:11 +0100 Subject: more exponential function stuff --- buch/chapters/050-differential/beispiele.tex | 296 ++++++++++++++++++++++++++- 1 file changed, 294 insertions(+), 2 deletions(-) (limited to 'buch/chapters/050-differential/beispiele.tex') diff --git a/buch/chapters/050-differential/beispiele.tex b/buch/chapters/050-differential/beispiele.tex index c0a57d8..9a844dc 100644 --- a/buch/chapters/050-differential/beispiele.tex +++ b/buch/chapters/050-differential/beispiele.tex @@ -106,7 +106,299 @@ direkt als Potenzreihenlösung der Differentialgleichung zu finden. \subsection{Exponentialfunktion und ihre Varianten \label{buch:differentialgleichungen:subsection:exponentialfunktion}} +In Kapitel~\ref{buch:chapter:exponential} wurde die Exponentialfunktion +auf algebraische Weise definiert, die Berechnung wurde ermöglicht +mit Hilfe von Grenzwerten und Potenzreihen. +Dabei blieb die Ableitung der Exponentialfunktion aussen vor. +Die Exponentialfunktion lässt sich aber natürlich auch über +Differentialgleichungen charakterisieren. + +\subsubsection{Die Ableitung der Exponentialfunktion} +Aus der Potenzreihendarstellung +\[ +\exp(x) += +\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} +\] +folgt sofort, dass die Ableitung +\[ +\frac{d}{dx}\exp(x) += +\frac{d}{dx} +\sum_{k=0}^\infty +\frac{x^k}{k!} += +\sum_{k=1}^\infty \frac{kx^{k-1}}{k!} += +\sum_{k=1}^\infty{x^{k-1}}{(k-1)!} += +\sum_{l=0}^\infty \frac{x^l}{l!} += +\exp(x), +\] +wobei $l=k-1$ gesetzt wurde. +Die Exponentialfunktion ist also ihre eigene Ableitung. + +\subsubsection{Lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten} +Mit der Exponentialfunktion lassen sich beliebige homogene lineare +Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten lösen. +Sei die Differentialgleichung +\[ +y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \dots + a_2y'' + a_1y' + a_0y = 0 +\] +gegeben. +Mit dem Ansatz $y(x)=e^{\lambda x}$ ergibt sich die Gleichung +\[ +\lambda^n e^{\lambda x} ++ +a_{n-1}\lambda^{n-1} e^{\lambda x} ++ +\dots ++ +a_2\lambda^2e^{\lambda x} ++ +a_1\lambda e^{\lambda x} ++ +a_0e^{\lambda x} += +(\lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + \dots + a_2\lambda^2 + a_1\lambda + a_0) +e^{\lambda x} += +0. +\] +Da $e^{\lambda x}\ne 0$ ist, kann $y(x)$ nur dann eine Lösung sein, wenn +$\lambda$ eine Nullstelle des {\em charakteristischen Polynoms} +\[ +p(\lambda) += +\lambda^n ++ +a_{n-1}\lambda^{n-1} ++ +\dots ++ +a_2\lambda^2 ++ +a_1\lambda ++ +a_0 +\] +ist. + +\subsubsection{Ableitungen der trigonometrische Funktionen} +Die Drehmatrix +\[ +D_{\omega t} += +\begin{pmatrix} +\cos\omega t&-\sin\omega t\\ +\sin\omega t& \cos\omega t +\end{pmatrix} +\] +bschreibt eine Drehung der Ebene mit der Winkelgeschwindigkeit +$\omega$. +Der Punkt $(r,0)$ beschreibt unter dieser Drehung eine Kreisbahn +parametrisiert durch +\[ +t \mapsto \gamma(t)=(r\cos\omega t,r\sin\omega t). +\] +Der Geschwindigkeitsvektor zur Zeit $t$ ist natürlich +\[ +\vec{v}(0) += +\begin{pmatrix} +0\\ +r\omega +\end{pmatrix}, +\] +zu einer späteren Zeit $t$ ist er +\[ +\vec{v}(t) += +D_{\omega t} \vec{v}(0) += +\begin{pmatrix} +\cos\omega t&-\sin\omega t\\ +\sin\omega t& \cos\omega t +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} +0\\r\omega +\end{pmatrix} += +r +\begin{pmatrix} +-\omega\sin\omega t\\ + \omega\cos\omega t +\end{pmatrix} +\] +Gleichzeitig ist $\vec{v}(t)$ natürlich auch die Ableitung von $\gamma(t)$, +also +\[ +\dot{\gamma}(t) += +r +\frac{d}{dt} +\begin{pmatrix} +\cos\omega t\\ +\sin\omega t +\end{pmatrix} += +r +\begin{pmatrix} +-\omega\sin\omega t\\ + \omega\cos\omega t +\end{pmatrix} +\qquad\Rightarrow\qquad +\left\{ +\begin{aligned} +\frac{d}{dt} \cos\omega t &= -\omega \sin\omega t\\ +\frac{d}{dt} \sin\omega t &= \phantom{-} \omega \cos\omega t +\end{aligned} +\right. +\] +Dies bedeutet, dass die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen +\begin{equation} +\begin{aligned} +\frac{d}{dt} \sin t&=\phantom{-}\cos t\\ +\frac{d}{dt} \cos t&=-\sin t +\end{aligned} +\label{buch:differentialgleichungen:trigo:ableitungen} +\end{equation} + +\subsubsection{Differentialgleichung für trigonometrische Funktionen} +Aus den Ableitungen~\eqref{buch:differentialgleichungen:trigo:ableitungen} +folgt, dass die trigonometrischen Funktionen $\sin t $ und $\cos t$ +Lösungen der Differentialgleichung $y''=-y$ sind. +Das zugehörige charakteristische Polynom ist +\[ +\lambda^2+1=0 +\qquad\Rightarrow\qquad +\lambda^2=-1 +\qquad\Rightarrow\qquad +\lambda=\pm i. +\] +Daraus ergeben sich die Lösungen +\[ +y_{\pm}(t) = e^{\pm i t}. +\] +Da eine Differentialgleichung zweiter Ordnung nur zwei linear unabhängige +Lösungen haben kann, müssen sich $\sin t$ und $\cos t$ durch +$e^{\pm it}$ ausdrücken lassen. + +Die Kosinus-Funktion zeichnet sich dadurch aus, dass $\cos 0=1$ und +$\cos' 0=0$ ist. +Gesucht ist also eine Lösung der Linearkombination der Lösungen +$y_{\pm}$ der Differentialgleichung mit diesen Anfangswerten. +Zunächst halten wir fest, dass $y_{\pm}(0)=e^{\pm i\cdot 0}=1$. +Für die Ableitungen von $y^{\pm it}$ gilt +\[ +\frac{d}{dt} += +e^{\pm i t} += +\pm ie^{\pm i t} +\qquad\Rightarrow\qquad +\frac{d}{dt}y_{\pm}(0) = \pm i. +\] +Die Linearkombination $Ay_+(t)+By_-(t)$ hat die Anfangswerte +\begin{align*} +Ay_+(0)+By_-(0)&=A+B\\ +Ay'_+(0)+By'_-(0)&=Ai-Bi. +\end{align*} +Damit die Linearkombination $\cos t=Ay_+(t)+By_-(t)$ ist, müssen +$A$ und $B$ Lösungen des Gleichungssystems +\[ +\begin{linsys}{2} + A&+& B&=&1\\ +iA&-&iB&=&0 +\end{linsys} +\qquad\Rightarrow\qquad +\begin{linsys}{2} + A&+& B&=&1\\ + A&-& B&=&0 +\end{linsys} +\] +Die Summe und Differenz der beiden Gleichungen führt auf +\[ +\begin{aligned} +2A&=1\\ +2B&=1 +\end{aligned} +\qquad\Rightarrow\qquad +\begin{aligned} +A=&\textstyle\frac12\\ +B=&\textstyle\frac12 +\end{aligned} +\qquad\Rightarrow\qquad +\cos t = \frac{e^{it}+e^{-it}}{2}. +\] + +Andererseits hat die Sinus-Funktion die Anfangswerte $\sin 0=0$ und +$\sin' 0=1$, dies führt auf das Gleichungssystem +\[ +\begin{linsys}{2} + A&+& B&=&0\\ +iA&-&iB&=&1 +\end{linsys} +\qquad\Rightarrow\qquad +\begin{linsys}{2} + A&+& B&=&0\\ + A&-& B&=&\frac{1}i +\end{linsys} +\] +Diesemal führen +Summe und Differenz der beiden Gleichungen auf +\[ +\begin{aligned} +2A&=\frac{1}i\\ +2B&=-\frac{1}i +\end{aligned} +\qquad\Rightarrow\qquad +\begin{aligned} +A=&\textstyle\phantom{-}\frac1{2i}\\ +B=&\textstyle{-\frac1{2i}} +\end{aligned} +\qquad\Rightarrow\qquad +\sin t = \frac{e^{it}-e^{-it}}{2i}. +\] + +\subsubsection{Potenzreihen für $\sin t$ und $\cos t$} +Aus der Potenzreihe der Exponentialfunktion kann man jetzt auch +Potenzreihen für $\sin t$ und $\cos t$ ableiten. +Zunächst ist +\begin{align*} +y_+(t) +&= +1 + it - \frac{t^2}{2!} - \frac{it^3}{3!} + \frac{t^4}{4!} + \frac{it^5}{5!} +- \frac{t^6}{6!} - \frac{it^7}{7!} + \dots +\\ +y_+(t) +&= +1 - it - \frac{t^2}{2!} + \frac{it^3}{3!} + \frac{t^4}{4!} - \frac{it^5}{5!} +- \frac{t^6}{6!} + \frac{it^7}{7!} + \dots +\intertext{Die trigonometrischen Funktionen können daraus linear kombiniert +werden, zum Beispiel ist die Kosinus-Funktion} +\cos t += +\frac{y_+(t)+y_-(t)}{2} +&= +1-\frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} -\frac{t^6}{6!}+\dots += +\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{t^{2k}}{(2k)!}. +\intertext{Auf die gleiche Art findet man für die Sinus-Funktion} +\sin t += +\frac{y_+(t)-y_-(t)}{2i} +&= +t-\frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!} - \frac{t^7}{t!} + \dots += +\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{t^{2k+1}}{(2k+1)!}. +\end{align*} + +\subsubsection{Hyperbolische Funktionen} + + + + -\subsubsection{Lineare Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten} -\subsubsection{Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten} -- cgit v1.2.1