From 531c564ecc1d73e1ddf25890720212d89f18edc1 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Wed, 8 Dec 2021 20:15:41 +0100 Subject: add new stuff about airy and hypergeometric functions --- .../chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex | 248 ++++++++++++++++++++- 1 file changed, 236 insertions(+), 12 deletions(-) (limited to 'buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex') diff --git a/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex b/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex index 1cba88a..1d3cb64 100644 --- a/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex +++ b/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex @@ -141,30 +141,254 @@ c\frac{(a)_{k+1}(b)_{k+1}}{(c)_{k+1}} \frac{1}{k!} -ab \frac{(a)_k(b)_k}{(c)_k}\frac{1}{k!} \\ &= -\frac{(a)_k(b)_k}{(c)_k} -\frac{1}{(k-2)!} +\frac{(a)_k(b)_k}{(c)_{k+1}} +\frac{1}{k!} \biggl( -\frac{(a+k)(b+k)}{c+k}\frac1{k-1} --1 +(a+k)(b+k)k +-(c+k)(k-1)k + -c\frac{(a+k)(b+k)}{c+k}\frac1{(k-1)k} +c(a+k)(b+k) \\ &\qquad --(a+b+1)\frac1{k-1} --ab \frac1{(k-1)k} +\qquad +\qquad +-(a+b+1)(c+k)k +-ab(c+k) +\biggr). +\intertext{Der zweite, vierte und fünfte Term können zu} +&= +\frac{(a)_k(b)_k}{(c)_{k+1}} +\frac{1}{k!} +\biggl( +(a+k)(b+k)k ++ +c(a+k)(b+k) +-(ab+ak+bk+k^2)(c+k) \biggr) -\\ +\intertext{zusammengefasst werden. +Der Faktor $(ab+ak+bk+k^2)$ kann als Produkt $(a+k)(b+k)$ faktorisiert +werden, der dann als gemeinsamer Faktor aus allen Termen ausgeklammert +werden kann:} &= \frac{(a)_k(b)_k}{(c)_{k+1}} \frac{1}{k!} \biggl( -(a+k)(b+k)k - (c+k)(k-1)k + (a+k)(b+k) - (a+b+1)(c+k)k-ab(c+k) +(a+k)(b+k)k ++ +c(a+k)(b+k) +-(a+k)(b+k)(c+k) +\biggr) +\\ +&= +\frac{(a)_{k+1}(b)_{k+1}}{(c)_{k+1}} +\frac{1}{k!} +\biggl( +k ++ +c +-(c+k) \biggr) +=0. \end{align*} +Damit ist gezeigt, dass $\mathstrut_2F_1(a,b;c;x)$ eine Lösung +der Differentialgleichung ist. +Die hypergeometrische Reihe kann auch direkt mit Hilfe der +Potenzreihenmethode als Lösung der Differentialgleichung gefunden +werden. +\subsection{Lösung als verallgemeinerte Potenzreihe} +Da die hypergeometrische Reihe eine Differentialgleichung +zweiter Ordnung mit einer Singularität bei $x=0$ ist, +kann man versuchen eine zweite, linear unabhängige Lösung mit +Hilfe der Methode der verallgemeinerten Potenzreihen zu finden. +Dazu setzt man die Lösung in der Form +\begin{align*} +y_2(x) +&= +\sum_{k=0}^\infty a_kx^{\varrho+k} +& +&\Rightarrow& +y_2'(x) +&= +\sum_{k=0}^\infty (\varrho+k)a_kx^{\varrho+k-1} +\\ +&& +&& +y_2''(x) +&= +\sum_{k=0}^\infty (\varrho+k)(\varrho+k-1)a_kx^{\varrho+k-2} +\end{align*} +an, wobei $a_0\ne 0$ sein soll. +Einsetzen in die Differentialgleichung ergibt +\begin{align*} +0&= +x(1-x)y_2''(x) + (c-(a+b+1)x) y_2'(x) -aby_2(x) +\\ +&= +x(1-x) +\sum_{k=0}^\infty (\varrho+k)(\varrho+k-1)a_kx^{\varrho+k-2} ++ +(c-(a+b+1)x) +\sum_{k=0}^\infty (\varrho+k)a_kx^{\varrho+k-1} +- +abx^{\varrho}\sum_{k=0}^\infty a_kx^{\varrho+k} +\\ +&= +-\sum_{k=0}^\infty (\varrho+k)(\varrho+k-1)a_kx^{\varrho+k} ++ +\sum_{k=0}^\infty (\varrho+k)(\varrho+k-1)a_kx^{\varrho+k-1} ++ +c +\sum_{k=0}^\infty (\varrho+k)a_kx^{\varrho+k-1} +\\ +&\qquad +- +(a+b+1) +\sum_{k=0}^\infty (\varrho+k)a_kx^{\varrho+k} +- +ab +\sum_{k=0}^\infty a_kx^{\varrho+k}. +\intertext{Durch Verschiebung des Summationsindex in der zweiten +und dritten Summe wird der Koeffizientenvergleich etwas +einfacher} +&= +-\sum_{k=0}^\infty (\varrho+k)(\varrho+k-1)a_kx^{\varrho+k} ++ +\sum_{k=-1}^\infty (\varrho+k+1)(\varrho+k)a_{k+1}x^{\varrho+k} ++ +c +\sum_{k=-1}^\infty (\varrho+k+1)a_{k+1}x^{\varrho+k} +\\ +&\qquad +- +(a+b+1) +\sum_{k=0}^\infty (\varrho+k)a_kx^{\varrho+k} +- +ab +\sum_{k=0}^\infty a_kx^{\varrho+k} +\\ +&= +-\sum_{k=0}^\infty (\varrho+k)(\varrho+k-1)a_kx^{\varrho+k} ++ +\sum_{k=-1}^\infty (\varrho+k+1)(\varrho+k+c)a_{k+1}x^{\varrho+k} +\\ +&\qquad +- +\sum_{k=0}^\infty ((\varrho+k)(a+b+1)+ab)a_kx^{\varrho+k} +\\ +&= +\bigl( +\varrho(\varrho-1) ++c\varrho \bigr) +x^{\varrho-1} ++ +\sum_{k=0}^\infty +\bigl( +-(\varrho+k)(\varrho+k-1)a_k ++(\varrho+k+1)(\varrho+k+c)a_{k+1} +\\ +& +\qquad +\qquad +\qquad +\qquad +\qquad +\qquad +-((\varrho+k)(a+b+1)+ab)a_k +\bigr) +x^{\varrho+k}. +\end{align*} +Aus dem ersten Term kann man die Indexgleichung +\[ +0 += +\varrho(\varrho-1)+c\varrho += +\varrho(\varrho-1+c) +\] +ablesen, die die Nullstellen $\varrho=0$ und $\varrho=1-c$ hat. +Die Nullstelle $\varrho=0$ ergibt natürlich die bereits gefundene +hypergeometrische Reihe. +Nach Einsetzen der zweiten Lösung der Indexgleichung in der Summe +legt der Koeffizientenvergleich eine Beziehung +\begin{align} +0 +&= +\bigl( +-(k-c+1)(k-c) +-(k-c+1)(a+b+1)+ab +\bigr)a_k ++ +(k-c+2)(k+1) +a_{k+1} +\notag +\intertext{zwischen $a_k$ und $a_{k+1}$ fest. +Daraus kann man den Quotienten aufeinanderfolgender +Koeffizienten als} +\frac{a_{k+1}}{a_k} +&= +\frac{ +-(k-c+1)(k-c) +-(k-c+1)(a+b+1)+ab +}{ +\notag +(k-c+2)(k+1) +} +\\ +&= +%(%i4) factor(coeff(y,q,0)) +%(%o4) - (k - c + a + 1) (k - c + b + 1) +%(%i5) factor(coeff(y,q,1)) +%(%o5) (k + 1) (k - c + 2) +\frac{ +(a-c+1+k) +(b-c+1+k) +}{ +(2-c+k)(k+1) +} +\label{buch:differentialgleichungen:hypergeo:verallgkoef} +\end{align} +finden. +Setzt man $a_0=1$, ist die zweite Lösung ist also wieder eine +hypergeometrische Funktion.%, nämlich +%\[ +%y_2(x) +%= +%x^{1-c} +%\sum_{k=0}^\infty \frac{(a-c+1)_k(b-c+1)_k}{(2-c)_k}\frac{x^k}{k!} +%= +%x^{1-c} +%\mathstrut_2F_1\biggl(\begin{matrix}a-c+1,b-c+1\\2-c\end{matrix};x\biggr) +%\] +Diese Lösung ist aber nur möglich, wenn in +\eqref{buch:differentialgleichungen:hypergeo:verallgkoef} +der Nenner nicht verschwindet, d.~h.~$2-c+k\ne 0$ +oder $c \ne k+2$ für all natürlichen $k$. +$c$ darf also kein natürliche Zahl $\ge 2$ sein. +Wir fassen die Resultate dieses Abschnitts im folgenden Satz zusammen. - - - +\begin{satz} +Die eulersche hypergeometrische Differentialgleichung +\begin{equation} +x(1-x)\frac{d^2y}{dx^2} ++(c+(a+b+1)x)\frac{dy}{dx} +-ab y += +0 +\end{equation} +hat die Lösung +\[ +y_1(x) += +\mathstrut_2F_1\biggl(\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};x\biggr). +\] +Falls $c-2\not\in \mathbb{N}$ ist, ist +\[ +y_2(x) += +x^{1-c} \mathstrut_2F_1\biggl(\begin{matrix}a-c+1,b-c+1\\2-c\end{matrix};x\biggr) +\] +eine zweite, linear unabhängige Lösung. +\end{satz} -- cgit v1.2.1