From 531c564ecc1d73e1ddf25890720212d89f18edc1 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Wed, 8 Dec 2021 20:15:41 +0100
Subject: add new stuff about airy and hypergeometric functions

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 .../chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex | 248 ++++++++++++++++++++-
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--- a/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex
+++ b/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex
@@ -141,30 +141,254 @@ c\frac{(a)_{k+1}(b)_{k+1}}{(c)_{k+1}} \frac{1}{k!}
 -ab \frac{(a)_k(b)_k}{(c)_k}\frac{1}{k!}
 \\
 &=
-\frac{(a)_k(b)_k}{(c)_k}
-\frac{1}{(k-2)!}
+\frac{(a)_k(b)_k}{(c)_{k+1}}
+\frac{1}{k!}
 \biggl(
-\frac{(a+k)(b+k)}{c+k}\frac1{k-1}
--1
+(a+k)(b+k)k
+-(c+k)(k-1)k
 +
-c\frac{(a+k)(b+k)}{c+k}\frac1{(k-1)k}
+c(a+k)(b+k)
 \\
 &\qquad
--(a+b+1)\frac1{k-1} 
--ab \frac1{(k-1)k}
+\qquad
+\qquad
+-(a+b+1)(c+k)k
+-ab(c+k)
+\biggr).
+\intertext{Der zweite, vierte und fünfte Term können zu}
+&=
+\frac{(a)_k(b)_k}{(c)_{k+1}}
+\frac{1}{k!}
+\biggl(
+(a+k)(b+k)k
++
+c(a+k)(b+k)
+-(ab+ak+bk+k^2)(c+k)
 \biggr)
-\\
+\intertext{zusammengefasst werden.
+Der Faktor $(ab+ak+bk+k^2)$ kann als Produkt $(a+k)(b+k)$ faktorisiert
+werden, der dann als gemeinsamer Faktor aus allen Termen ausgeklammert
+werden kann:}
 &=
 \frac{(a)_k(b)_k}{(c)_{k+1}}
 \frac{1}{k!}
 \biggl(
-(a+k)(b+k)k - (c+k)(k-1)k + (a+k)(b+k) - (a+b+1)(c+k)k-ab(c+k)
+(a+k)(b+k)k
++
+c(a+k)(b+k)
+-(a+k)(b+k)(c+k)
+\biggr)
+\\
+&=
+\frac{(a)_{k+1}(b)_{k+1}}{(c)_{k+1}}
+\frac{1}{k!}
+\biggl(
+k
++
+c
+-(c+k)
 \biggr)
+=0.
 \end{align*}
+Damit ist gezeigt, dass $\mathstrut_2F_1(a,b;c;x)$ eine Lösung
+der Differentialgleichung ist.
 
+Die hypergeometrische Reihe kann auch direkt mit Hilfe der
+Potenzreihenmethode als Lösung der Differentialgleichung gefunden 
+werden.
 
+\subsection{Lösung als verallgemeinerte Potenzreihe}
+Da die hypergeometrische Reihe eine Differentialgleichung
+zweiter Ordnung mit einer Singularität bei $x=0$ ist, 
+kann man versuchen eine zweite, linear unabhängige Lösung mit
+Hilfe der Methode der verallgemeinerten Potenzreihen zu finden.
+Dazu setzt man die Lösung in der Form
+\begin{align*}
+y_2(x)
+&=
+\sum_{k=0}^\infty a_kx^{\varrho+k}
+&
+&\Rightarrow&
+y_2'(x)
+&=
+\sum_{k=0}^\infty (\varrho+k)a_kx^{\varrho+k-1}
+\\
+&&
+&&
+y_2''(x)
+&=
+\sum_{k=0}^\infty (\varrho+k)(\varrho+k-1)a_kx^{\varrho+k-2}
+\end{align*}
+an, wobei $a_0\ne 0$ sein soll.
+Einsetzen in die Differentialgleichung ergibt
+\begin{align*}
+0&=
+x(1-x)y_2''(x) + (c-(a+b+1)x) y_2'(x) -aby_2(x)
+\\
+&=
+x(1-x)
+\sum_{k=0}^\infty (\varrho+k)(\varrho+k-1)a_kx^{\varrho+k-2}
++
+(c-(a+b+1)x)
+\sum_{k=0}^\infty (\varrho+k)a_kx^{\varrho+k-1}
+-
+abx^{\varrho}\sum_{k=0}^\infty a_kx^{\varrho+k}
+\\
+&=
+-\sum_{k=0}^\infty (\varrho+k)(\varrho+k-1)a_kx^{\varrho+k}
++
+\sum_{k=0}^\infty (\varrho+k)(\varrho+k-1)a_kx^{\varrho+k-1}
++
+c
+\sum_{k=0}^\infty (\varrho+k)a_kx^{\varrho+k-1}
+\\
+&\qquad
+-
+(a+b+1)
+\sum_{k=0}^\infty (\varrho+k)a_kx^{\varrho+k}
+-
+ab
+\sum_{k=0}^\infty a_kx^{\varrho+k}.
+\intertext{Durch Verschiebung des Summationsindex in der zweiten
+und dritten Summe wird der Koeffizientenvergleich etwas
+einfacher}
+&=
+-\sum_{k=0}^\infty (\varrho+k)(\varrho+k-1)a_kx^{\varrho+k}
++
+\sum_{k=-1}^\infty (\varrho+k+1)(\varrho+k)a_{k+1}x^{\varrho+k}
++
+c
+\sum_{k=-1}^\infty (\varrho+k+1)a_{k+1}x^{\varrho+k}
+\\
+&\qquad
+-
+(a+b+1)
+\sum_{k=0}^\infty (\varrho+k)a_kx^{\varrho+k}
+-
+ab
+\sum_{k=0}^\infty a_kx^{\varrho+k}
+\\
+&=
+-\sum_{k=0}^\infty (\varrho+k)(\varrho+k-1)a_kx^{\varrho+k}
++
+\sum_{k=-1}^\infty (\varrho+k+1)(\varrho+k+c)a_{k+1}x^{\varrho+k}
+\\
+&\qquad
+-
+\sum_{k=0}^\infty ((\varrho+k)(a+b+1)+ab)a_kx^{\varrho+k}
+\\
+&=
+\bigl(
+\varrho(\varrho-1)
++c\varrho \bigr)
+x^{\varrho-1}
++
+\sum_{k=0}^\infty
+\bigl(
+-(\varrho+k)(\varrho+k-1)a_k
++(\varrho+k+1)(\varrho+k+c)a_{k+1}
+\\
+&
+\qquad
+\qquad
+\qquad
+\qquad
+\qquad
+\qquad
+-((\varrho+k)(a+b+1)+ab)a_k
+\bigr)
+x^{\varrho+k}.
+\end{align*}
+Aus dem ersten Term kann man die Indexgleichung
+\[
+0
+=
+\varrho(\varrho-1)+c\varrho
+=
+\varrho(\varrho-1+c)
+\]
+ablesen, die die Nullstellen $\varrho=0$ und $\varrho=1-c$ hat.
+Die Nullstelle $\varrho=0$ ergibt natürlich die bereits gefundene
+hypergeometrische Reihe.
 
+Nach Einsetzen der zweiten Lösung der Indexgleichung in der Summe
+legt der Koeffizientenvergleich eine Beziehung
+\begin{align}
+0
+&=
+\bigl(
+-(k-c+1)(k-c)
+-(k-c+1)(a+b+1)+ab
+\bigr)a_k
++
+(k-c+2)(k+1)
+a_{k+1} 
+\notag
+\intertext{zwischen $a_k$ und $a_{k+1}$ fest.
+Daraus kann man den Quotienten aufeinanderfolgender
+Koeffizienten als}
+\frac{a_{k+1}}{a_k}
+&=
+\frac{
+-(k-c+1)(k-c)
+-(k-c+1)(a+b+1)+ab
+}{
+\notag
+(k-c+2)(k+1)
+}
+\\
+&=
+%(%i4) factor(coeff(y,q,0))
+%(%o4)                  - (k - c + a + 1) (k - c + b + 1)
+%(%i5) factor(coeff(y,q,1))
+%(%o5)                         (k + 1) (k - c + 2)
+\frac{
+(a-c+1+k)
+(b-c+1+k)
+}{
+(2-c+k)(k+1)
+}
+\label{buch:differentialgleichungen:hypergeo:verallgkoef}
+\end{align}
+finden.
+Setzt man $a_0=1$, ist die zweite Lösung ist also wieder eine
+hypergeometrische Funktion.%, nämlich
+%\[
+%y_2(x)
+%=
+%x^{1-c}
+%\sum_{k=0}^\infty \frac{(a-c+1)_k(b-c+1)_k}{(2-c)_k}\frac{x^k}{k!}
+%=
+%x^{1-c}
+%\mathstrut_2F_1\biggl(\begin{matrix}a-c+1,b-c+1\\2-c\end{matrix};x\biggr)
+%\]
+Diese Lösung ist aber nur möglich, wenn in
+\eqref{buch:differentialgleichungen:hypergeo:verallgkoef}
+der Nenner nicht verschwindet, d.~h.~$2-c+k\ne 0$
+oder $c \ne k+2$ für all natürlichen $k$.
+$c$ darf also kein natürliche Zahl $\ge 2$ sein.
+Wir fassen die Resultate dieses Abschnitts im folgenden Satz zusammen.
 
-
-
-
+\begin{satz}
+Die eulersche hypergeometrische Differentialgleichung
+\begin{equation}
+x(1-x)\frac{d^2y}{dx^2}
++(c+(a+b+1)x)\frac{dy}{dx}
+-ab y
+=
+0
+\end{equation}
+hat die Lösung
+\[
+y_1(x)
+=
+\mathstrut_2F_1\biggl(\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};x\biggr).
+\]
+Falls $c-2\not\in \mathbb{N}$ ist, ist
+\[
+y_2(x)
+=
+x^{1-c} \mathstrut_2F_1\biggl(\begin{matrix}a-c+1,b-c+1\\2-c\end{matrix};x\biggr)
+\]
+eine zweite, linear unabhängige Lösung.
+\end{satz}
-- 
cgit v1.2.1

