From 698aec2e06b917a365e7483935d071fac5a6e142 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Sat, 27 Nov 2021 21:25:46 +0100 Subject: Verallgemeinerte Potenzreihen, Bessel-Funktionen --- .../050-differential/potenzreihenmethode.tex | 343 +++++++++++++++++++++ 1 file changed, 343 insertions(+) (limited to 'buch/chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex') diff --git a/buch/chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex b/buch/chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex index 6d30129..247b962 100644 --- a/buch/chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex +++ b/buch/chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex @@ -238,4 +238,347 @@ Die Newtonsche Reihe für $(1-t)^\alpha$ ist der Wert der hypergeometrischen Funktion $\mathstrut_1F_0$. \end{satz} +% +% Verallgemeinerte Potenzreihen +% +\subsection{Lösung mit verallgemeinerten Potenzreihen +\label{buch:differentialgleichungen:subsection:verallgemeinrt}} +In vielen Anwendungsfällen hat die Differentialgleichung die Form +\begin{equation} +x^2y'' + p(x)xy' + q(x)y = 0, +\label{buch:differentialgleichungen:eqn:dglverallg} +\end{equation} +gesucht ist eine Lösung $y(x)$ auf dem Intervall $[0,\infty)$. +Für die folgende Diskussion nehmen wir an, dass sich die Funktionen +$p(x)$ und $q(x)$ in konvergente Potenzreihen +\begin{align*} +p(x)&=\sum_{k=0}^\infty p_kx^k = p_0+p_1x+p_2x^2+p_3x^3+\dots +\\ +q(x)&=\sum_{k=0}^\infty q_kx^k = q_0+q_1x+q_2x^2+q_3x^3+\dots +\end{align*} +entwickeln lassen. + +\subsubsection{Die Potenzreihenmethode funktioniert nicht} +Für die Differentialgleichung +\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:dglverallg} +funktioniert die Potenzreihenmethod oft nicht. +Sind die Funktionen $p(x)$ und $q(x)$ zum Beispiel Konstante +$p(x)=p_0$ und $q(x)=q_0$, dann führt der Potenzreihenansatz +\[ +y(x) = \sum_{k=0}^\infty a_kx^k +\] +auf die Gleichung +\begin{align*} +x^2\sum_{k=0}^\infty a_kk(k-1)x^{k-2} ++ +p_0x\sum_{k=0}^\infty a_kkx^{k-1} ++ +q_0\sum_{k=0}^\infty a_kx^k +&= +0 +\\ +\Rightarrow\qquad +\sum_{k=0}^\infty\bigl( +k(k-1) ++ +p_0k ++ +q_0 +\bigr)a_kx^k +&= +0. +\end{align*} +Durch Koeffizientenvergleich folgt dann, dass für jedes $k$ mindestens +eine der Gleichungen +\[ +k(k-1) +p_0k +q_0 = k^2 + (p_0-1)k +q_0 = 0 +\qquad\text{und}\qquad +a_k=0 +\] +erfüllt sein muss. +Die erste Gleichung ist eine quadratische Gleichung in $k$, es gibt also +höchstens zwei Koeffizienten, für die die erste Gleichung erfüllt sein +kann, für die also auch die Koeffizienten $a_k\ne 0$ sein können. +Sind die Lösungen nicht ganzzahlig, dann müssen alle Koeffizienten +$a_k=0$ sein, die einzige Potenzreihe ist die triviale Funktion $y(x)=0$. + +\subsubsection{Verallgemeinerte Potenzreihe} +Für Differentialgleichungen der Art +\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:dglverallg} +ist also ein anderer Ansatz nötig. +Die Schwierigkeit bestand darin, dass die Gleichungen für die einzelnen +Koeffizienten $a_k$ voneinander unabhängig waren. +Mit einem zusätzlichen Potenzfaktor $x^\varrho$ mit nicht +notwendigerweise ganzzahligen Wert kann die nötige Flexibilität +erreicht werden. +Wir verwenden daher den Ansatz +\[ +y(x) += +x^\varrho \sum_{k=0}^\infty a_kx^k += +\sum_{k=0}^\infty a_k x^{\varrho+k} +\] +und versuchen nicht nur die Koeffizienten $a_k$ sondern auch den +Exponenten $\varrho$ zu bestimmen. +Durch Modifikation von $\varrho$ können wir immer erreichen, dass +$a_0\ne 0$ ist. + +Die Ableitungen von $y(x)$ mit der zugehörigen Potenz von x sind +\begin{align*} +xy'(x) +&= +\sum_{k=0}^\infty +(\varrho+k)a_kx^{\varrho+k} += +\sum_{k=1}^\infty +(\varrho+k-1)a_{k-1}x^{\varrho+k} +\\ +x^2y''(x) +&= +\sum_{k=0}^\infty +(\varrho+k)(\varrho+k-1)a_kx^{\varrho+k}. +\end{align*} +Diese Ableitungen setzen wir jetzt in die Differentialgleichung ein, +die dadurch zu +\begin{equation} +\sum_{k=0}^\infty (\varrho+k)(\varrho+k-1) a_k x^{\varrho+k} ++ +\sum_{k=0}^\infty \sum_{l=0}^\infty (\varrho+k) p_l a_kx^{\varrho+k+l} ++ +\sum_{k=0}^\infty \sum_{l=0}^\infty q_l a_k x^{\varrho+k+l} += +0 +\label{buch:differentialgleichungen:eqn:veralgpotenzsumme} +\end{equation} +wird. + +Ausgeschrieben geben die einzelnen Terme +\begin{align*} +0 +&= +\varrho(\varrho-1)a_0x^\varrho ++ +(\varrho+1)\varrho a_1x^{\varrho+1} ++ +(\varrho+2)(\varrho+1)a_2x^{\varrho+2} ++ +(\varrho+3)(\varrho+2)a_3x^{\varrho+3} ++ +\dots +\\ +&+ +\varrho p_0 a_0 x^{\varrho} ++ +\bigl((\varrho +1)a_1p_0 + \varrho a_0 p_1\bigr) x^{\varrho+1} ++ +\bigl((\varrho +2)a_2p_0 + (\varrho+1)a_1p_1 + \varrho a_0 p_2\bigr) x^{\varrho+2} ++ +\dots +\\ +&+ +q_0a_0x^{\varrho} ++ +(q_0a_1+q_1a_0) x^{\varrho+1} ++ +(q_0a_2+q_1a_1+q_2a_0) x^{\varrho+2} ++ +(q_0a_3+q_1a_2+q_2a_1+q_3a_0) x^{\varrho+3} ++ +\dots +\end{align*} +Fasst man die Terme mit gleichem Exponenten zusammen, findet man +\begin{align*} +0 +&= +\bigl( +\varrho(\varrho-1) + \varrho p_0 + q_0 +\bigr)a_0 x^{\varrho} +\\ +&+ +\bigl( +((\varrho+1)\varrho ++ +(\varrho+1) p_0 ++ +q_0) a_1 ++ +( \varrho p_1 + q_1)a_0 +\bigr)x^{\varrho+1} +\\ +&+ +\bigl( +( +(\varrho+2)(\varrho+1) ++ +(\varrho+2)p_0 ++ +q_0)a_2 ++ +(\varrho+1)p_1 a_1 ++ +\varrho p_2 a_0 ++q_1a_1+q_2a_0 +\bigr)x^{\varrho+2} +\\ +&+\dots +\end{align*} +Der Koeffizientenvergleich ergibt dann +\[ +\renewcommand{\arraycolsep}{0pt} +\begin{array}{rcrlcrlcrl} +0&\mathstrut=\mathstrut&(\varrho(\varrho-1) + \varrho p_0 + q_0)&a_0 + & & & + && +\\ +0&\mathstrut=\mathstrut&((\varrho+1)\varrho + \varrho p_0 + q_0)&a_1 + &\mathstrut+\mathstrut&(\varrho p_1+q_1)&a_0 + & & +\\ +0&\mathstrut=\mathstrut&((\varrho+2)(\varrho+1) + \varrho p_0 + q_0)&a_2 + &\mathstrut+\mathstrut&((\varrho+1)p_1+q_1)&a_1 + &\mathstrut+\mathstrut&(\varrho p_2+q_0)&a_0 +\end{array} +\] + +Diese Rechnung kann man auch allgemein durchführen. +Für den Koeffizientenvergleich müssen die Terme in +\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:veralgpotenzsumme} +mit gleicher +Potenz $x^{\varrho+n}$ zusammengefasst werden. +Dazu schreiben wir zunächst die Summen alle so, dass die Potenz von $x$ +in der Form $x^{\varrho+n}$ auftritt. +So entsteht die Gleichung +\begin{align*} +\sum_{n=0}^\infty +(\varrho+n)(\varrho+n-1) a_n x^{\varrho+n} ++ +\sum_{n=0}^\infty +\biggl( +\sum_{l=0}^n +(\varrho+n-l) p_{n-l} a_{l} +\biggr) +x^{\varrho+n} ++ +\sum_{n=0}^\infty +\biggl(\sum_{l=0}^n q_{n-l} a_{l}\biggr) +x^{\varrho+n} +&= +0 +\end{align*} +Jetzt kann der Koeffizientenvergleich durchgeführt werden. +Der Koeffizient von $x^{\varrho+n}$ ist +\[ +(\varrho+n)(\varrho+n-1) a_n x^{\varrho+n} ++ +\sum_{l=0}^n +(\varrho+n-l) p_{n-l} a_{l} ++ +\sum_{l=0}^n q_{n-l} a_{l}. +\] +Alle diese Koeffizienten müssen verschwinden. +Indem wir die Terme in den beiden Summen über $l$ zusammenfassen, +erhalten wir die Gleichungen +\begin{equation} +\bigl( +(\varrho+n)(\varrho + n-1) ++ +\varrho p_0 ++ +q_0 +\bigr)a_n ++ +\sum_{l=0}^{n-1} +\bigl( +(\varrho+n-l) p_{n-l} ++ +q_{n-l} +\bigr) a_{l} += 0, +\label{buch:differentialgleichungen:eqn:verallgkoefgl} +\end{equation} +die für jedes $n$ erfüllt sein müssen. + +\subsubsection{Indexgleichung} +Die Gleichungen~\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:verallgkoefgl} +müssen erfüllt sein, wenn eine Lösung in Form einer verallgemeinerten +Potenzreihe existieren soll. +Der Koeffizient $a_n$ mit dem grössten $n$ in jeder Gleichung hat +den gemeinsamen Faktor $F(\varrho+n)$ für das Polynom +\[ +F(X) = X(X+1) +Xp_0 + q_0. +\] +Da wir in der Definition einer verallgemeinerten Potenzreihe vorausgesetzt +haben, dass $a_0\ne 0$ sein muss, ist der Ansatz überhaupt nur dann +erfolgreich, wenn \begin{equation} +F(\varrho) = \varrho(\varrho-1) + \varrho p_0 + q_0 = 0 +\label{buch:differentialgleichungen:eqn:indexgleichung} +\end{equation} +gilt. +Die Gleichung~\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:indexgleichung} +heisst die {\em Indexgleichung}. +Der Exponent $\varrho$ muss also eine Nullstelle der Indexgleichung sein. + +Die Indexgleichung ist eine quadratische Gleichung und hat daher +im allgemeinen zwei Lösungen. +Wir bezeichnen die beiden Nullstellen mit $\varrho_1$ und $\varrho_2$. +Wenn $p_0$ und $q_0$ reell sind, sind die Nullstellen entweder reell +oder konjugiert komplex. + +\subsubsection{Rekursive Bestimmung der $a_n$} +Der Koeffizient $a_{n}$ kann nur dann aus den vorangegangene +Koeffizienten $a_{n-1},a_{n-2},\dots$ bestimmt werden, wenn +$F(\varrho+n)\ne 0$ ist. +In diesem Fall gilt +\begin{equation} +a_n += +\frac{1}{F(\varrho+n)} +\sum_{l=0}^{n-1}\bigl( (\varrho+n-l)p_{n-l} + q_{n-l}\bigr)a_l. +\label{buch:differentialgleichungen:eqn:anrekursion} +\end{equation} +Dies funktioniert aber nur, wenn $F(\varrho+n)\ne 0$ für alle +natürlichen $n > 0$ gilt. +Dies ist gleichbedeutend damit, dass die Differenz $\varrho_1-\varrho_2$ +keine ganze Zahl ist. + +\begin{itemize} +\item +Fall 1: $\varrho_1-\varrho_2$ ist keine ganze Zahl. +In diesem Fall lassen sich zwei Lösungen +\begin{align*} +y_1(x) &= x^{\varrho_1}\sum_{k=0}^\infty a_k x^k +\\ +y_2(x) &= x^{\varrho_2}\sum_{k=0}^\infty b_k x^k +\end{align*} +bestimmen, wobei die Koeffizienten $a_k$ und $b_k$ für $k>0$ durch +die Rekursionformel~\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:anrekursion} +aus $a_0$ und $b_0$ bestimmt werden müssen. + +\item +Fall 2: $\varrho$ ist eine doppelte Nullstelle ($\varrho_1-\varrho_2=0$). +In diesem Fall kann nur eine Lösung als verallgemeinerte Potenzreihe +gefunden werden. +Um eine zweite Lösung zu finden, muss die Technik der analytischen +Fortsetzung verwendet werden, die in +Kapitel~\ref{buch:chapter:funktionentheorie} +dargestellt werden. + +\item +Fall 3: $\varrho_1-\varrho-2$ ist eine positive ganze Zahl. +In diesem Fall ist im Allgemeinen nur eine Lösung in Form einer +verallgemeinerten Potenzreihe möglich. +Auch hier müssen Techniken der Funktionentheorie aus +Kapitel~\ref{buch:chapter:funktionentheorie} +verwendet werden, um eine zweite Lösung zu finden. + +\end{itemize} + +Wenn $\varrho_1-\varrho_2$ eine negative ganze Zahl ist, kann man die +beiden Nullstellen vertauschen. +Es folgt dann, dass es eine + + + + -- cgit v1.2.1