From 816cb13511777905e7a98e49bd6f5201b86811e4 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Mon, 27 Dec 2021 23:42:11 +0100
Subject: more exponential function stuff

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 .../050-differential/uebungsaufgaben/504.tex       | 79 ++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 79 insertions(+)
 create mode 100644 buch/chapters/050-differential/uebungsaufgaben/504.tex

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new file mode 100644
index 0000000..47cf2dc
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/050-differential/uebungsaufgaben/504.tex
@@ -0,0 +1,79 @@
+Lösen Sie die Differentialgleichung $y''+y=0$ der trigonometrischen
+Funktionen mit Hilfe eines Potenzreihenansatzes.
+Finden Sie Lösungen $s(t)$ mit $s(0)=0$ und $s'(0)=1$ und
+$c(t)$ mit $c(0)=1$ und $c'(0)=0$.
+
+\begin{loesung}
+Die Ableitungen des Potenzreihenansatzes
+\begin{align*}
+y(x)
+&=
+\sum_{k=0}^\infty a_kx^k
+\intertext{hat die Ableitungen}
+y'(x)&=\sum_{k=1}^\infty ka_kx^{k-1}
+&
+y''(x)&=\sum_{k=2}^\infty k(k-1)a_kx^{k-2}
+=
+\sum_{k=0}^\infty (k+1)(k+2)a_{k+2}x^k
+\end{align*}
+Eingesetzt in die Differentialgleichung ergibt sich
+\[
+y''(x) + y(x)
+=
+\sum_{k=0}^\infty a_kx^k
++
+\sum_{k=0}^\infty (k+1)(k+2)a_{k+2}x^k
+=
+\sum_{k=0}^\infty \bigl(a_k + (k+1)(k+2)a_{k+2}\bigr)x^k.
+\]
+Koeffizientenvergleich ergibt die Rekursionsformel
+\[
+a_{k+2} = -\frac{1}{(k+1)(k+2)}a_k
+\]
+für die Koeffizienten $a_k$.
+Die Koeffizienten $a_0$ und $a_1$ sind bestimmt durch die Anfangsbedingungen
+festgelegt.
+
+Für die Funktion $s(t)$ ist $a_0=s(0)=0$ und $s'(0)=a_1=1$, daraus ergeben sich
+die Koeffizienten
+\begin{align*}
+a_0&=0\\
+a_1&=1\\
+a_2&=-\frac{1}{1\cdot 2}a_0=0\\
+a_3&=-\frac{1}{2\cdot 3}a_1=-\frac{1}{3!}\\
+a_4&=-\frac{1}{3\cdot 4}a_2=0\\
+a_5&=-\frac{1}{4\cdot 5}a_1 = \frac{1}{3!\cdot4\cdot 5}=\frac{1}{5!}\\
+   &\vdots
+\end{align*}
+also
+\[
+s(t) = 1 - \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!} - \dots
+=
+\sin t.
+\]
+
+Für die Funktion $c(t)$ ist $a_0=c(0)=1$ und $a_1=c'(0)=0$, daraus ergeben
+sich die Koeffizienten
+\begin{align*}
+a_0&=1\\
+a_1&=0\\
+a_2&=-\frac{1}{1\cdot 2}a_1 = -\frac{1}{2!}\\
+a_3&=-\frac{1}{2\cdot 3}a_2 = 0\\
+a_4&=-\frac{1}{3\cdot 4}a_3 = \frac{1}{2!\cdot 3 \cdot }=\frac{1}{4!}\\
+a_5&=-\frac{1}{4\cdot 5}a_4 = 0\\
+a_6&=-\frac{1}{5\cdot 6}a_5 = -\frac{1}{4!\cdot 5\cdot 6} = -\frac{1}{6!} \\
+   &\vdots
+\end{align*}
+und damit
+\[
+c(t)
+=
+1-\frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} - \frac{t^6}{6!} + \dots
+=
+\cos t.
+\qedhere
+\]
+\end{loesung}
+
+
+
-- 
cgit v1.2.1

