From 3213e60d21021f8101dbd558cf3b9c45db20e47a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 20 Dec 2021 07:12:54 +0100 Subject: euler transform and stuff --- .../chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex | 476 +++++++++++++++++++++ 1 file changed, 476 insertions(+) (limited to 'buch/chapters/050-differential') diff --git a/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex b/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex index 275d6f6..cee75de 100644 --- a/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex +++ b/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex @@ -398,8 +398,484 @@ eine zweite, linear unabhängige Lösung. % \subsection{Verallgemeinerte hypergeometrische Differentialgleichung} % https://de.wikipedia.org/wiki/Verallgemeinerte_hypergeometrische_Funktion +Die Ableitungsformel für die hypergeometrischen Funktionen +\[ +w(z) += +\mathstrut_nF_m +\biggl(\begin{matrix}a_1,\dots,a_m\\b_1,\dots,b_n\end{matrix};z\biggr) +\] +drückt die Ableitung $f'(z)$ durch einen Wert einer hypergeometrischen +Funktion mit ganz anderen Parametern aus, nämlich +\[ +w'(z) += +\frac{a_1\cdot\ldots\cdot a_n}{b_1\cdot\ldots\cdot b_m} +\mathstrut_mF_n\biggl( +\begin{matrix}a_1+1,\dots,a_n+1\\b_1+1,\dots,b_m+1\end{matrix};z +\biggr). +\] +Dies erlaubt aber noch nicht, eine Differentialgleichung für $w(z)$ +aufzustellen, da auf der rechten Seite alle Parameter inkrementiert +worden sind. +Um eine Differentialgleichung zu erhalten, muss man den gleichen +Effekt auf einem anderen Weg erreichen. +\subsubsection{Operatoren, die genau ein $a_i$ inkrementieren} +Wir suchen einen Operator, der in der hypergeometrischen Funktion +$\mathstrut_nF_m$ nur genau den Parameter $a_i$ inkrementiert. +Der folgende Operator schafft dies: +\begin{align*} +\biggl(z\frac{d}{dz}+a_i\biggr) +\mathstrut_nF_m\biggl(\begin{matrix}a_1,\dots,a_n\\b_1,\dots,b_m\end{matrix}; +z\biggr) +&= +\biggl(z\frac{d}{dz}+a_i\biggr) +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(a_1)_k\cdot\ldots\cdot(a_n)_k}{(b_1)_k\cdot\ldots\cdot(b_m)_k} +\frac{z^k}{k!} +\\ +&= +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(a_1)_k\cdot\ldots\cdot(a_n)_k}{(b_1)_k\cdot\ldots\cdot(b_m)_k} +\frac{z^k}{(k-1)!} ++ +\sum_{k=0}^\infty +a_i +\frac{(a_1)_k\cdot\ldots\cdot(a_n)_k}{(b_1)_k\cdot\ldots\cdot(b_m)_k} +\frac{z^k}{k!} +\\ +&= +\sum_{k=0}^\infty +\frac{ +(a_1)_k\cdots\widehat{(a_i)_k}\cdots(a_n)_k +}{ +(b_1)_k\cdots(b_m)_k +} +( +k(a_i)_k ++ +a_i(a_i)_k +) +\frac{z^k}{k!} +\\ +&= +\sum_{k=0}^\infty +\frac{ +(a_1)_k\cdots\widehat{(a_i)_k}\cdots(a_n)_k +}{ +(b_1)_k\cdots(b_m)_k +} +\underbrace{(a_i)_k(a_i+k)}_{a_i(a_i+1)_k} +\frac{z^k}{k!} +\\ +&= +a_i +\sum_{k=0}^\infty +\frac{ +(a_1)_k\cdots (a_i+1)_k\cdots(a_n)_k +}{ +(b_1)_k\cdots(b_m)_k +} +\underbrace{(a_i)_k(a_i+k)}_{a_i(a_i+1)_k} +\frac{z^k}{k!} +\\ +&= +a_i\cdot\mathstrut_nF_m\biggl( +\begin{matrix} +a_1,\dots,a_i+1,\dots,a_n\\ +b_1,\dots,b_m +\end{matrix} +;z +\biggr). +\end{align*} +Durch Anwendung aller Operatoren +\[ +D_{a_i} = z\frac{d}{dz}+a_i +\] +kann man jetzt die Inkrementierung der $a_i$, die in der Ableitung +von $w(z)$ zu beobachten war, in Einzelschritten erreichen: +\[ +D_{a_1}D_{a_2}\cdots D_{a_n} w(z) += +a_1a_2\cdots a_n \, +\mathstrut_nF_m\biggl( +\begin{matrix}a_1+1,\dots,a_n+1\\b_1,\dots,b_m\end{matrix}; z +\biggr). +\] +\subsubsection{Operatoren, die genau ein $b_j$ dekrementieren} +Die Rechnung für die Operatoren $D_{a_i}$ ist nicht direkt auf die +$b_i$ übertragbar, wir versuchen daher erneut: +\begin{align*} +D_{b_i-1} +\,\mathstrut_nF_m +\biggl( +\begin{matrix}a_1,\dots,a_n\\b_1,\dots,a_m\end{matrix};z +\biggr) +&= +\biggl(z\frac{d}{dz}+b_j-1\biggr) +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(a_1)_k\cdots (a_n)_k}{(b_1)_k\cdots (b_m)_k} +\frac{z^k}{k!} +\\ +&= +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(a_1)_k\cdots (a_n)_k}{(b_1)_k\cdots (b_m)_k} +\frac{z^k}{(k-1)!} ++ +(b_j-1) +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(a_1)_k\cdots (a_n)_k}{(b_1)_k\cdots (b_m)_k} +\frac{z^k}{k!} +\\ +&= +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(a_1)_k\cdots (a_n)_k}{(b_1)_k\cdots\widehat{(b_j)_k}\cdots (b_m)_k} +\biggl(\frac{k}{(b_j)_k}+\frac{b_j-1}{(b_j)_k}\biggr) +\frac{z^k}{k!} +\\ +&= +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(a_1)_k\cdots (a_n)_k}{(b_1)_k\cdots \widehat{(b_j)_k}\cdots (b_m)_k} +\frac{b_j+k-1}{(b_j)_k} +\frac{z^k}{k!} +\\ +&= +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(a_1)_k\cdots (a_n)_k}{(b_1)_k\cdots \widehat{(b_j)_k}\cdots (b_m)_k} +\frac{b_j-1}{(b_j-1)_k} +\frac{z^k}{k!} +\\ +&= +(b_j-1) +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(a_1)_k\cdots (a_n)_k}{(b_1)_k\cdots(b_j-1)_k\cdots (b_m)_k} +\frac{z^k}{k!} +\\ +&=(b_j-1) +\, +\mathstrut_nF_m\biggl( +\begin{matrix}a_1,\dots,a_n\\ +b_1,\dots,b_j-1,\dots,b_m +\end{matrix} +;z +\biggr). +\end{align*} +Durch Anwendung aller Operatoren $D_{b_j-1}$ kann also jeder $b$-Parameter +dekrementiert werden, es gilt also +\[ +D_{b_1-1}D_{b_2-1}\cdots D_{b_m-1}w += +(b_1-1)(b_2-1)\cdots(b_m-1) \, +\mathstrut_nF_m\biggl( +\begin{matrix} +a_1,\dots,a_n\\ +b_1-1,\dots,b_m-1 +\end{matrix} +;z +\biggr). +\] + +\subsubsection{Die Differentialgleichung} +Aus den Operatoren $D_{a_i}$ und $D_{b_j-1}$ kann jetzt eine +Differentialgleichung für die Funktion $w(z)$ konstruieren. +Durch Anwendung von aller Operatoren $D_{b_i-1}$ werden die +$b$-Parameter dekrementiert und die Faktoren $(b_i-1)$ kommen hinzu. +Leitet man dies ab, werden alle Parameter inkrementiert: +\begin{align*} +\frac{d}{dz} +\mathstrut_nF_m\biggl( +\begin{matrix}a_1,\dots,a_n\\ +b_1,\dots,b_m\end{matrix};z +\biggr) +&= +\frac{a_1\cdots a_n}{(b_1-1)\cdots(b_m-1)} +(b_1-1)\cdots(b_m-1) +\,\mathstrut_nF_m\biggl( +\begin{matrix}a_1+1,\dots,a_n+1\\ +b_1,\dots,b_m\end{matrix};z +\biggr) +\\ +&= +a_1\dots a_n +\,\mathstrut_nF_m\biggl( +\begin{matrix}a_1+1,\dots,a_n+1\\ +b_1,\dots,b_m\end{matrix};z +\biggr) +\end{align*} +Dies ist aber die gleiche Operation, wie alle Operatoren $D_{a_i}$ +anzuwenden. +Es folgt daher die Differentialgleichung +\[ +D_{a_1}\cdots D_{a_n} w = \frac{d}{dz} D_{b_1-1}\cdots D_{b_m-1} w +\] +für die Funktion $w(z)$. + +\begin{beispiel} +Im Spezialfall $\mathstrut_0F_0$ gibt es keine Operatoren $D_{a_i}$ +oder $D_{b_j-1}$ anzuwenden, so dass nur die Differentialgleichung +\[ +w=\frac{d}{dz}w +\] +stehen bleibt. +Dies ist natürlich die Differentialgleichung der Exponentialfunktion. +\end{beispiel} + +% +% Differentialgleichung für 1F0 +% +\subsubsection{Die Differentialgleichungen für $\mathstrut_1F_0$} +In diesen Fälle gibt es nur jeweils einen einzigen Operator +anzuwenden. +Wir betrachten zunächst den Fall $w(z) = \mathstrut_1F_0(\alpha; z)$ +und finden direkt die Differentialgleichung +\begin{align*} +\biggl(z\frac{d}{dz}+\alpha\biggr)w +&= +\frac{d}{dz}w +\\ +zw'+\alpha w +&= +w' +\\ +(1-z)w' +&= +\alpha w. +\end{align*} + +\begin{beispiel} +Wir bestimmen die Differentialgleichung für die als hypergeometrische +Reihe darstellbare Funktion +\[ +f(x) += +\sqrt{1+x} = \mathstrut_1F_0(-{\textstyle\frac12};-x). +\] +Zunächst erfüllt die hypergeometrische Funktion +$w(z)=\mathstrut_1F_0(-\frac12;z)$ die Differentialgleichung +\[ +(1-z)w'(z) = -\frac12 w(z). +\] +Jetzt setzen wir $z=-x$ in die Funktion ein. +Wegen $f(x)=w(-x)$ folgt $f'(x)=-w'(-x)$ +\[ +-f'(x)(1+x) = -\frac12 f(x) +\qquad\Rightarrow\qquad +f'(x) = \frac{f(x)}{2(1+x)}. +\] +Tatsächlich ist die Ableitung der Wurzelfunktion $f(x)$ +\[ +\frac{d}{dx}f(x) += +\frac{d}{dx}\sqrt{1+x} += +\frac{1}{2\sqrt{1+x}} += +\frac{\sqrt{1+x}}{2(1+x)} += +\frac{f(x)}{2(1+x)}, +\] +sie erfüllt also die genannte Differentialgleichung. +\end{beispiel} + +% +% Differentialgleichung für 0F1 +% +\subsubsection{Die Differentialgleichungen für $\mathstrut_0F_1$} +Für die Funktion $\mathstrut_0F_1$ setzen wir +$w(z)=\mathstrut_0F_1(;\beta;z)$. +In diesem Fall gibt es keine Operatoren $D_{a_i}$ anzuwenden, die +linke Seite der Differentialgleichung ist also einfach die Funktion $w$. +Für die rechte Seite ist der Operator $D_{\beta-1}$ anzuwenden, was auf +die Differentialgleichung +\begin{align*} +w +&= +\frac{d}{dz} +\biggl(z\frac{d}{dz}+\beta -1\biggr)w +\\ +w +&= +\frac{d}{dz}(zw'+\beta w - w) +\\ +w +&= +zw''+w'+\beta w' -w' +\\ +0 +&= +zw''+\beta w' - w +\end{align*} +führt. + +\begin{beispiel} +Die Kosinus-Funktion kann durch die hypergeometrische Funktion +$\mathstrut_0F_1$ ausgedrückt werden. +Wir schreiben +\[ +w(z) += +\mathstrut_0F_1\biggl( +\begin{matrix}\text{---}\\\frac12\end{matrix} +;z\biggr), +\] +$w(z)$ erfüllt die Differentialgleichung +\[ +zw''(z) +w'(z) -\frac{3}{2} w(z) = 0. +\] +Die Kosinus-Funktion als Funktion von $w(z)$ ist +\[ +f(x) += +\cos x = \mathstrut_0F_1\biggl(;\frac12;-\frac{x^2}4\biggr) += +w\biggl(-\frac{x^2}4\biggr), +\] +es muss also $z=-x^2/4$ gesetzt werden. +Wir müssen die Ableitungen von $w$ durch die Ableitungen von $f$ +ausdrücken. +Die Ableitungen sind +\begin{align*} +f'(x) +&= +-\frac{x}{2} +w'\biggl(-\frac{x^2}4\biggr) +&&\Rightarrow& +w'\biggl(-\frac{x^2}4\biggr) +&= +-\frac{2}{x}f'(x) +\\ +f''(x) +&= +\frac{x^2}{4}w''\biggl(-\frac{x^2}4\biggr) +-\frac12w'\biggl(-\frac{x^2}4\biggr) +&&\Rightarrow& +w''\biggl(-\frac{x^2}4\biggr) +&= +\frac{4}{x^2}f''(x) ++\frac{2}{x^2}w'\biggl(-\frac{x^2}4\biggr) +\\ +&&&& +&= +\frac{4}{x^2}f''(x) +-\frac{4}{x^3}f'(x). +\end{align*} +Einsetzen in die Differentialgleichung von $w(z)$ ergibt +\begin{align*} +0= +zw''+\beta w'-w +&= +-\frac{x^2}4 +\biggl( +\frac{4}{x^2}f''(x)-\frac{4}{x^3}f'(x) +\biggr) ++\frac12\biggl( +-\frac2xf'(x) +\biggr) +-f(x) +\\ +&= +-f''(x) +-f(x), +\end{align*} +was gleichbedeutend ist mit der Differentialgleichung $f''=-f$, die +tatsächlich die Kosinus-Funktion als Lösung hat. +\end{beispiel} + +% +% Die Differentialgleichung für 1F1 +% +\subsubsection{Die Differentialgleichung für $\mathstrut_1F_1$} +Wir setzen wieder $w(z) = \mathstrut_1F_1(\alpha;\beta;z)$. +Es sind die Operatoren $D_\alpha$ und $D_{\beta-1}$ anzuwenden. +Es ergibt sich die Differentialgleichung +\begin{align*} +\biggl(z\frac{d}{dz}+\alpha\biggr)w +&= +\frac{d}{dz}\biggl(z\frac{d}{dz} +\beta-1\biggr)w +\\ +zw'+\alpha w +&= +\frac{d}{dz} +(zw'+\beta w - w) +\\ +zw'+\alpha w +&= +zw'' +w'+\beta w' - w' +\\ +0 +&= +zw'' + (\beta - z)w' - \alpha w. +\end{align*} + +% +% Die hypergeometrische Differentialgleichung für 2F1 +% +\subsubsection{Die Differentialgleichung für $\mathstrut_2F_1$} +Für die hypergeometrische Funktion $\mathstrut_2F_1(\alpha,\beta;\gamma;z)$ +ist die Difrentialgleichung von der Form +\[ +\biggl(z\frac{d}{dz} + \alpha\biggr) +\biggl(z\frac{d}{dz} + \beta\biggr)w += +\frac{d}{dz} +\biggl(z\frac{d}{dz}+\gamma -1\biggr) +w. +\] +Durchführen der Ableitungen auf beiden Seiten ergibt für die linke Seite +\begin{align*} +\biggl(z\frac{d}{dz} + \alpha\biggr) +\biggl(z\frac{d}{dz} + \beta\biggr)w +&= +\biggl(z\frac{d}{dz} + \alpha\biggr) +(zw'+\beta w) +\\ +&= +z^2w'' + zw' + \beta zw' + \alpha(zw'+\beta w) +\\ +&= +z^2w'' + (1+\alpha+\beta )zw' + \beta\alpha w +\intertext{und die rechte Seite} +\frac{d}{dz}\biggl(z\frac{d}{dz}+\gamma-1\biggr)w +&= +\frac{d}{dz}(zw'+\gamma w-w) +\\ +&= +zw''+w'+\gamma w' - w' +\\ +&= +zw'' +\gamma w'. +\end{align*} +Durch Gleichsetzen ergibt sich jetzt +\begin{align*} +z^2w'' + (1+\alpha+\beta )zw' + \alpha\beta w +&= +zw'' +\gamma w' +\\ +0 +&= +z(1-z)w'' ++ +(\gamma-z(1+\alpha+\beta))w' +- +\alpha\beta +w +\end{align*} +Dies ist die früher definierte hypergeometrische Differentialgleichung. + +% +% +% +\subsubsection{Hypereometrische Funktionen von $x^2$ und $x^3$} +Die hypergeometrischen Funktionen $w(z)$ als Lösungen der hypergeometrischen +Differentialgleichungen sind Potenzreihen, in denen kein Koeffizient +verschwindet, sofern die Lösung nicht ein Polynom ist. +Die trigonometrischen Funktionen sind nicht von dieser Art. +Sie lassen sich als Funktionen von $x^2$ schreiben. +Wir untersuchen in diesem Abschnitt, wie sich eine Differentialgleichung +von $y(x) = x^lw(tx^k)$ aus der Differentialgleichung für $w(z)$ gewinnen +lässt. -- cgit v1.2.1