From 9fe06d6b2449b7163c9a7a98e8323b0f90e799bf Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Sat, 4 Dec 2021 15:33:07 +0100 Subject: neues zur Bessel-Funktion --- buch/chapters/050-differential/bessel.tex | 232 +++++++++++++++++++-- buch/chapters/050-differential/images/Makefile | 10 + .../050-differential/images/besselgrid.pdf | Bin 0 -> 28324 bytes .../050-differential/images/besselgrid.tex | 90 ++++++++ 4 files changed, 318 insertions(+), 14 deletions(-) create mode 100644 buch/chapters/050-differential/images/Makefile create mode 100644 buch/chapters/050-differential/images/besselgrid.pdf create mode 100644 buch/chapters/050-differential/images/besselgrid.tex (limited to 'buch/chapters/050-differential') diff --git a/buch/chapters/050-differential/bessel.tex b/buch/chapters/050-differential/bessel.tex index 19460f5..13880b8 100644 --- a/buch/chapters/050-differential/bessel.tex +++ b/buch/chapters/050-differential/bessel.tex @@ -181,7 +181,8 @@ x^\varrho \sum_{k=0}^\infty Falls also $\alpha$ kein ganzzahliges Vielfaches von $\frac12$ ist, finden wir zwei Lösungsfunktionen \begin{align} -J_\alpha(x) +y_1(x) +%J_\alpha(x) &= x^{\alpha\phantom{-}} \sum_{k=0}^\infty @@ -191,7 +192,8 @@ x^{\alpha\phantom{-}} \mathstrut_0F_1\biggl(;\alpha+1;-\frac{x^2}{4}\biggr), \label{buch:differentialgleichunge:bessel:erste} \\ -J_{-\alpha}(x) +y_2(x) +%J_{-\alpha}(x) &= x^{-\alpha} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(-\alpha+1)_k} \frac{(-x^2/4)^k}{k!} @@ -199,8 +201,218 @@ x^{-\alpha} \sum_{k=0}^\infty \mathstrut_0F_1\biggl(;-\alpha+1;-\frac{x^2}{4}\biggr). \label{buch:differentialgleichunge:bessel:zweite} \end{align} -Die Funktionen $J_{\pm\alpha}(x)$ heissen {\em Bessel-Funktionen -der Ordnung $\alpha$}. + +\subsubsection{Bessel-Funktionen} +Da die Besselsche Differentialgleichung linear ist, ist auch +jede Vielfache der Funktionen +\eqref{buch:differentialgleichunge:bessel:erste} +und +\eqref{buch:differentialgleichunge:bessel:zweite} +eine Lösung. +Man kann zum Beispiel das Pochhammer-Symbol im Nenner loswerden, +wenn man im Nenner mit $\Gamma(\alpha+1)$ +multipliziert: +\[ +\frac{(1/2)^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)} +y_1(x) += +\biggl(\frac{x}{2}\biggr)^\alpha +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(-1)^k}{\Gamma(\alpha+k+1)} +\biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{2k}. +\] +Dabei haben wir es durch +Multiplikation mit $(\frac12)^\alpha$ auch geschafft, die Funktion +einheitlich als Funktion von $x/2$ auszudrücken. + +\begin{definition} +\label{buch:differentialgleichungen:bessel:definition} +Die Funktion +\[ +J_{\alpha}(x) += +\biggl(\frac{x}{2}\biggr)^\alpha +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(-1)^k}{\Gamma(\alpha+k+1)} +\biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{2k} +\] +heisst {\em Bessel-Funktionen der Ordnung $\alpha$}. +\end{definition} + +Man beachte, dass diese Definition für beliebige ganzzahlige +$\alpha$ funktioniert. +Ist $\alpha=-n<0$, $n\in\mathbb{N}$, dann hat der Nenner Pole +an den Stellen $k=0,1,\dots,n-$. +Die Summe beginnt also erst bei $k=n$ oder +\begin{align*} +J_{-n}(x) +&= +\sum_{k=n}^\infty \frac{(-1)^k}{m!k!}\biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{2k-n} += +\sum_{l=0}^\infty +\frac{(-1)^{l+n}}{m!(l+n)!}\biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{2(l+n)-n} += +(-1)^n +\sum_{l=0}^\infty +\frac{(-1)^l}{m!\Gamma(l+n+1)}\biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{2l+n} +\\ +&= +(-1)^n +J_{n}(x). +\end{align*} + +\subsubsection{Erzeugende Funktion} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/050-differential/images/besselgrid.pdf} +\caption{Indexmenge für Herleitung der erzeugenden Funktion der +Besselfunktionen. +Die rote Summe in \eqref{buch:differentialgleichungen:bessel:eqn:rotesumme} +entspricht den vertikalen roten Streifen oben, +die blaue Summe in +\eqref{buch:differentialgleichungen:bessel:eqn:blauesumme} +den horizontalen Streifen in der Abbildung unten. +Alle Terme enthalten $\Gamma(n+k+1)$ im nenner, +im grau hinterlegten Gebiet verschwinden sie. +\label{buch:differentialgleichungen:bessel:fig:indexmenge}} +\end{figure} +Die erzeugende Funktion der Bessel-Funktionen ist die Summe +\begin{align} +\sum_{n\in\mathbb{Z}} J_n(x)z^n +&= +\sum_{n\in\mathbb{Z}} +{\color{darkred} +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(-1)^k}{k!\Gamma(k+n+1)} +\biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{2k+n} +} +z^n. +\label{buch:differentialgleichungen:bessel:eqn:rotesumme} +\intertext{Die rote Summe entspricht den vertikalen roten Streifen in +Abbildung~\ref{buch:differentialgleichungen:bessel:fig:indexmenge} oben. +Die grau hinterlegten Punkte in der Abbildung gehören zu verschwindenden +Termen. +Wir schreiben $m=k+n$ und drücken alle Terme durch $k$ und $m$ aus:} +&= +\sum_{n\in \mathbb{Z}} +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(-1)^k}{k!\Gamma(n+k+1)} +\biggl(\frac{x}{2}\biggr)^k +\biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{n+k} +z^{n+k} +z^{-k} +\notag +\\ +&= +\sum_{m\in \mathbb{Z}} +\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} +\biggl(\frac{x}{2}\biggr)^k +z^{-k} +\frac{1}{\Gamma(m+1)} +\biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{m} +z^{n+k} +\notag +\intertext{Auch in dieser Summe fallen wieder die Terme mit $m<0$ +wegen $\Gamma(m+1)=\infty$ weg. +Die Grenzen der Summation über $k$ hängen nicht von $m$ ab, daher +können wir die Summationsreihenfolge vertauschen. +Die Summation über $m$ entspricht den horizontalen blauen Streifen +in +Abbildung~\ref{buch:differentialgleichungen:bessel:fig:indexmenge} +unten. +Es ergibt sich die Summe} +&= +\sum_{k=0}^\infty +\sum_{m=0}^\infty +\frac{(-1)^k}{k!} +\biggl(\frac{x}{2}\biggr)^k +z^{-k} +\frac{1}{\Gamma(m+1)} +\biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{m} +z^{m} +\notag +\\ +&= +\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} +\biggl(\frac{x}{2}\biggr)^k +z^{-k} +\cdot +{\color{blue} +\sum_{m=0}^\infty +\frac{1}{\Gamma(m+1)} +\biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{m} +z^{m} +}. +\label{buch:differentialgleichungen:bessel:eqn:blauesumme} +\intertext{Beide Reihen sind Exponentialreihen, was man besser sehen kann, +wenn man die Gamma-Funktion in der zweiten Summe wieder als die +Fakultät $\Gamma(m+1)=m!$ schreibt. +Die beiden Exponentialreihen sind +} +&= +\sum_{k=0}^\infty \frac{\bigl(-\frac{x}2\cdot\frac1z\bigr)}{k!} +\cdot +\sum_{m=0}^\infty +\frac{\bigl(z\frac{x}2\bigr)^m}{m!} += +\exp\biggl(\frac{x}2\cdot\biggl(-\frac1z\biggr)\biggr) +\cdot +\exp\biggl(\frac{x}2\cdot z\biggr) += +\exp\biggl(\frac{x}2\cdot\biggl(z-\frac1z\biggr)\biggr). +\notag +\end{align} + +\subsubsection{Additionstheorem} +Die erzeugende Funktion kann dazu verwendet werden, das Additionstheorem +für die Besselfunktionen zu beweisen. + +\begin{satz} +Für $l\in\mathbb{Z}$ und $x,y\in\mathbb{R}$ gilt +\[ +J_l(x+y) = \sum_{m=-\infty}^\infty J_m(x)J_{l-m}(y). +\] +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Die Koeffizienten der erzeugenden Funktion der Bessel-Funktionen für +das Argument $x+y$ ist +\begin{align*} +\exp\biggl(\frac{x+y}2\biggl(z+\frac1z\biggr)\biggr) +&= +\sum_{n=-\infty}^\infty J_n(x+y)z^n. +\intertext{% +Wir verwenden die Exponentialgesetze auf der linken Seite und +erhalten} +&= +\exp\biggl(\frac{x}2\biggl(z+\frac1z\biggr)\biggr) +\cdot +\exp\biggl(\frac{y}2\biggl(z+\frac1z\biggr)\biggr). +\intertext{Beide Faktoren sind erzeugende Funktionen von Bessel-Funktionen, +wir können sie also als} +&= +\sum_{m=-\infty}^\infty J_m(x)z^m +\cdot +\sum_{k=-\infty}^\infty J_k(y)z^k +\intertext{schreiben. +Durch Ausmultiplizieren und Zusammenfassen von Termen mit gleichem +Exponenten finden wir +} +&= +\sum_{m,k} J_m(x)J_k(y) z^{k+m} += +\sum_{l=-\infty}^\infty +\biggl( +\sum_{m=-\infty}^\infty J_m(x)J_{l-m}(y) +\biggr) +z^l. +\intertext{Daraus folgt schliesslich mit Koeffizientenvergleich das +Additionstheorem} +J_l(x+y) &= \sum_{m=-\infty}^\infty J_m(x)J_{l-m}(y) +\end{align*} +für alle $l$. +\end{proof} + \subsubsection{Der Fall $\alpha=0$} Im Fall $\alpha=0$ hat das Indexpolynom eine doppelte Nullstelle, wir @@ -222,16 +434,6 @@ geschrieben werden kann. In diesem Fall kann nur die erste Lösung~\eqref{buch:differentialgleichunge:bessel:erste} verwendet werden. -Die Pochhammer-Symbole im Nenner können ebenfalls als -Quotient -\[ -\frac{1}{(p+1)_k} -= -\frac{1}{(p+1)\cdot(p+k)} -= -\frac{p!}{(p+k)!} -\] -von Fakultäten geschrieben werden. Damit erhält die Lösungsfunktion die Form \[ J_p(x) @@ -240,6 +442,8 @@ J_p(x) \frac{(-1)^k}{k!(p+k)!}\biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{p+2k}. \] +TODO: Lösung für $\alpha=-n$ + \subsubsection{Der Fall $\alpha=n+\frac12$, $n\in\mathbb{N}$} Obwohl $2\alpha$ eine Ganzzahl ist, sind die beiden Lösungen \label{buch:differentialgleichunge:bessel:erste} diff --git a/buch/chapters/050-differential/images/Makefile b/buch/chapters/050-differential/images/Makefile new file mode 100644 index 0000000..0f4a062 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/050-differential/images/Makefile @@ -0,0 +1,10 @@ +# +# Makefile +# +# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +all: besselgrid.pdf + +besselgrid.pdf: besselgrid.tex + pdflatex besselgrid.tex + diff --git a/buch/chapters/050-differential/images/besselgrid.pdf b/buch/chapters/050-differential/images/besselgrid.pdf new file mode 100644 index 0000000..6c551f4 Binary files /dev/null and b/buch/chapters/050-differential/images/besselgrid.pdf differ diff --git a/buch/chapters/050-differential/images/besselgrid.tex b/buch/chapters/050-differential/images/besselgrid.tex new file mode 100644 index 0000000..01021e3 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/050-differential/images/besselgrid.tex @@ -0,0 +1,90 @@ +% +% besselgrid.tex -- Indexmenge für die Herleitung der erzeugenden Funktion +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{1} +\def\r{0.2} +\def\hintergrund{ + \fill[color=gray!40,opacity=0.5] + (-6.3,5.8) + -- (-0.1,-0.4) + -- (6.5,-0.4) -- (6.5,-0.8) -- (-6.3,-0.8) -- cycle; +} +\def\nachse#1{ + \draw[->,color=#1] (-6.3,0) -- (6.6,0) coordinate[label={$n$}]; +} +\def\kachse{ + \draw[->] (0,-0.3) -- (0,6.6) coordinate[label={right:$k$}]; +} +\def\machse{ + \draw[->] (-0.3,-0.3) -- (6.3,6.3) coordinate[label={above right:$m$}]; +} +\def\achsen{ + \draw[->] (0,-0.3) -- (0,6.6) coordinate[label={right:$k$}]; + \draw[->] (-6.3,0) -- (6.6,0) coordinate[label={$n$}]; + \draw[->] (0.3,-0.3) -- (-6.3,6.3) coordinate[label={above right:$m$}]; +} +\def\nsumme{ + \foreach \n in {-6,...,6}{ + \fill[color=red!40,opacity=0.5] ({\n-\r},6.3) + -- ({\n-\r},0) arc (-180:0:\r) + -- ({\n+\r},6.3) + -- cycle; + } +} +\def\msumme{ + \foreach \k in {0,...,6}{ + \fill[color=blue!20] (6.3,{\k+\r}) + -- ({-\k},{\k+\r}) arc (90:270:\r) + -- (6.3,{\k-\r}) + -- cycle; + } +} +\def\punkte{ + \begin{scope} + \clip (-6.2,-0.2) rectangle (6.2,6.2); + + \foreach \x in {1,...,6}{ + \foreach \y in {0,...,5}{ + \fill[color=gray] ({-\x-\y},\y) circle[radius=0.1]; + } + } + \foreach \x in {0,...,12}{ + \foreach \y in {0,...,6}{ + \fill[color=red] ({\x-\y},\y) circle[radius=0.1]; + } + } + \end{scope} + + \node at (-4.5,1.5) {$\Gamma(n+k+1)=\infty$}; +} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\begin{scope} + \hintergrund + \nsumme + \punkte + \nachse{black} + \kachse +\end{scope} + +\begin{scope}[yshift=-7.8cm] + \hintergrund + \msumme + \punkte + \draw[->] (0.3,-0.3) -- (-6.4,6.4) coordinate[label={above right:$k$}]; + \draw[->] (-3.3,3) -- (6.6,3) coordinate[label={right:$m$}]; +\end{scope} + +\end{tikzpicture} +\end{document} + -- cgit v1.2.1