From c589259e729ebfc0d04298feeffb7604db24a2b5 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Tue, 28 Dec 2021 20:52:22 +0100 Subject: =?UTF-8?q?potenzreihenmethode=20hinzugef=C3=BCgt?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- buch/chapters/050-differential/bessel.tex | 7 +- .../050-differential/potenzreihenmethode.tex | 133 +++++++++++++++++++-- 2 files changed, 129 insertions(+), 11 deletions(-) (limited to 'buch/chapters/050-differential') diff --git a/buch/chapters/050-differential/bessel.tex b/buch/chapters/050-differential/bessel.tex index b07002d..16527ad 100644 --- a/buch/chapters/050-differential/bessel.tex +++ b/buch/chapters/050-differential/bessel.tex @@ -34,9 +34,10 @@ Die Besselsche Differentialgleichung \eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:bessel} kann man auch als Eigenwertproblem für den Bessel-Operator \index{Bessel-Operator}% -\[ +\begin{equation} B = x^2\frac{d^2}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} + x^2 -\] +\label{buch:differentialgleichungen:bessel-operator} +\end{equation} schreiben. Eine Lösung $y(x)$ der Gleichung \eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:bessel} @@ -48,7 +49,7 @@ x^2y''+xy+x^2y =\alpha^2 y, \] ist also eine Eigenfunktion des Bessel-Operators zum Eigenwert -$\alpha$. +$\alpha^2$. \subsubsection{Indexgleichung} Die Besselsche Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung diff --git a/buch/chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex b/buch/chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex index 247b962..127f4d7 100644 --- a/buch/chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex +++ b/buch/chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex @@ -11,15 +11,15 @@ entwickeln. Wir gehen in diesem Abschnitt von einer Differentialgleichung der Form \begin{equation} -a_n(x)y^{(n)}(x) +b_n(x)y^{(n)}(x) + -a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x) +b_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x) + \dots + -a_1(x)y'(x) +b_1(x)y'(x) + -a_0(x)y(x) +b_0(x)y(x) = f(x) \label{buch:differentialgleichungen:eqn:potenzreihendgl} @@ -28,12 +28,12 @@ mit der Randbedingung $y(0)=y_0$ aus. Schon im einfachsten Fall einer homogenen Differentialgleichung erster Ordnung ergibt sich die Beziehung \[ -a_1(x) y'(x) = a_0(x)y(x), +b_1(x) y'(x) = b_0(x)y(x), \] wobei wir uns $y(x)$ und damit auch $y'(x)$ als Potenzreihe vorstellen. Insbesondere ist \[ -\frac{a_1(x)}{a_0(x)} = \frac{y(x)}{y'(x)} +\frac{b_1(x)}{b_0(x)} = \frac{y(x)}{y'(x)} \] ein Quotient von Potenzreihen, den man natürlich wieder als Potenzreihe schreiben kann. @@ -57,19 +57,124 @@ G\biggl(x,t, mit einer Funktion $G$, die analytisch ist in allen Variablen und der Randbedingung \[ -\frac{\partial j}{\partial t^j}u(x,0) = \varphi_j(x)\quad\text{für $k=0,\dots,k-1$} +\frac{\partial^j}{\partial t^j}u(x,0) += +\varphi_j(x)\quad\text{für $k=0,\dots,k-1$} \] mit analytischen Funktion $\varphi_j$ hat eine in einer Umgebung von $t=0$ eindeutige analytische Lösung. \end{satz} Im folgenden werden wir daher weitere einschränkende Annahmen über -die Koeffizienten $a_k(x)$ machen. +die Koeffizienten $b_k(x)$ machen. +% +% Potenzreihenansatz und Koeffizientenvergleich +% \subsection{Potenzreihenansatz und Koeffizientenvergleich} +In Abschnitt~\ref{buch:differentialgleichungen:section:beispiele} +wurde von einer grossen Zahl interessanter Funktionen gezeigt, dass +sie einerseits eine Lösungen einer Differentialgleichung sind, +andererseits aber auch eine Potenzreihendarstellung sind. +Der Satz von Cauchy-Kowalevskaja hat gezeigt, dass dies das zu +erwartende Resultat ist. +Da wir bei einer linearen Differentialgleichung mit analytischen +Koeffizienten eine analytische Lösungsfunktion erwarten dürfen, +können wir auch versuchen, die Lösung der Differentialgleichung +von Anfang an als Potenzreihe +\[ +y(x) += +\sum_{k=0}^{\infty} a_kx^k +\] +anzusetzen. +Die Ableitungen von $y(x)$ sind gleichermassen als Potenzreihen +\begin{align*} +y'(x) +&= +\sum_{k=1}^\infty ka_kx^{k-1} +\\ +y''(x) +&= +\sum_{k=2}^\infty k(k-1)a_kx^{k-2} +\\ +&\vdots\\ +y^{(n)}(x) +&= +\sum_{k=n}^\infty +k(k-1)\cdots(k-n+1) a_kx^{k-n} += +\sum_{k=n}^\infty +(k-n+1)_n a_k x^{k-n} += +\sum_{l=0}^\infty +(l+1)_na_{l+n}x^l +\end{align*} +darstellbar. +Der Ansatz für $y(x)$ und seine Ableitungen kann jetzt in die +Differentialgleichung eingsetzt werden. +Durch Ausmultiplizieren wird die Differentialgleichung zu +einer Identität von Potenzreihen. +Zwei Potenzreihen können nur dann übereinstimmen, wenn alle +Koeffizienten übereinstimmen. +So entsteht eine Menge von linearen Gleichungen für die +Koeffizienten $a_k$. +Die Koeffizienten $a_0$ bis $a_{n-1}$ werden gegeben durch die +Anfangswerte der Funktion und der ersten $n-1$ Ableitungen, die +ebenfalls nötig sind, um die Lösungsfunktion eindeutig festzulegen. +Durch Lösen des linearen Gleichungssystems können jetzt die Koeffizienten +und damit die Lösung bestimmt werden. +Setzt man zum Beispiel voraus, dass $b_n(0)\ne 0$ ist, dann ist der +konstante Term +\begin{equation} +b_n(0) n! a_n + b_{n-1}(0) (n-1)! a_{n-1} ++ \dots + +b_2(0) 2! a_2 + b_1(0) a_1 + b_0(0) a_0 = 0. +\label{buch:differntialgleichungen:eqn:konstterm} +\end{equation} +Diese Gleichung ermöglicht, nach $a_n$ aufzulösen: +\[ +a_n += +- +\frac{1}{b_n(0)\,n!}\bigl( +b_{n-1}(0)\,(n-1)!\,a_{n-1} + \dots + +b_2(0)\,2!\,a_2 + b_1(0)\, a_1 + b_0(0)\, a_0 +\bigr). +\] +Falls jedoch der Koeffizient $b_n(x)$ eine Nullstelle bei $x=0$ +hat, ist es mit Gleichung~\eqref{buch:differntialgleichungen:eqn:konstterm} +allein nicht möglich, $a_n$ zu bestimmen. + +Ein besonders einfacher Fall ist jener, in dem alle Koeffizienten der +Differentialgleichung konstant sind. +In diesem Fall führen die Koeffizienten von $x^k$ auf die Gleichung +\begin{equation} +b_n n! a_{n+k} + b_{n-1} (n-1)! a_{n-1+k} ++ \dots + +b_2 2! a_{2+k} + b_1 a_{1+k} + b_0 a_{k} = 0. +\label{buch:differntialgleichungen:eqn:kterm} +\end{equation} +für alle $k$. +Die Gleichungen sind also immer lösbar und ergeben +\[ +a_{n+k} += +- +\frac{1}{b_n\,n!}\bigl( +b_{n-1}\,(n-1)!\,a_{n-1+k} + \dots + +b_2\,2!\,a_{2+k} + b_1\, a_{1+k} + b_0\, a_k +\bigr). +\] + + + +% +% Die Newtonsche Reihe +% \subsection{Die Newtonsche Reihe} Wir lösen die Differentialgleichung~\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:wurzeldgl1} @@ -258,6 +363,9 @@ q(x)&=\sum_{k=0}^\infty q_kx^k = q_0+q_1x+q_2x^2+q_3x^3+\dots \end{align*} entwickeln lassen. +% +% Potenzreihenmethode funktioniert nicht +% \subsubsection{Die Potenzreihenmethode funktioniert nicht} Für die Differentialgleichung \eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:dglverallg} @@ -302,6 +410,9 @@ kann, für die also auch die Koeffizienten $a_k\ne 0$ sein können. Sind die Lösungen nicht ganzzahlig, dann müssen alle Koeffizienten $a_k=0$ sein, die einzige Potenzreihe ist die triviale Funktion $y(x)=0$. +% +% Verallgemeinerte Potenzreihe +% \subsubsection{Verallgemeinerte Potenzreihe} Für Differentialgleichungen der Art \eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:dglverallg} @@ -499,6 +610,9 @@ q_{n-l} \end{equation} die für jedes $n$ erfüllt sein müssen. +% +% Indexgleichung +% \subsubsection{Indexgleichung} Die Gleichungen~\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:verallgkoefgl} müssen erfüllt sein, wenn eine Lösung in Form einer verallgemeinerten @@ -525,6 +639,9 @@ Wir bezeichnen die beiden Nullstellen mit $\varrho_1$ und $\varrho_2$. Wenn $p_0$ und $q_0$ reell sind, sind die Nullstellen entweder reell oder konjugiert komplex. +% +% Rekursive Bestimmung der $a_n$ +% \subsubsection{Rekursive Bestimmung der $a_n$} Der Koeffizient $a_{n}$ kann nur dann aus den vorangegangene Koeffizienten $a_{n-1},a_{n-2},\dots$ bestimmt werden, wenn -- cgit v1.2.1