From 7ec5294c2e6169d15419bfe831d09a43e87b9b29 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Fri, 27 Aug 2021 18:21:49 +0200 Subject: Fehlerfunktion --- buch/chapters/060-integral/chapter.tex | 53 ++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 53 insertions(+) create mode 100644 buch/chapters/060-integral/chapter.tex (limited to 'buch/chapters/060-integral/chapter.tex') diff --git a/buch/chapters/060-integral/chapter.tex b/buch/chapters/060-integral/chapter.tex new file mode 100644 index 0000000..786f388 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/060-integral/chapter.tex @@ -0,0 +1,53 @@ +% +% chapter.tex -- Spezielle Funktionen definiert durch Integrale +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +% !TeX spellcheck = de_CH +\chapter{Integrale +\label{buch:chapter:integral}} +\lhead{Integrale} +\rhead{} +Der Analysis-Unterricht vermittelt manchmal den Eindruck, dass sich +für jede einigermassen anständige Funktion eine Stammfunktion +gefunden werden kann, wenn man nur genügend schlau ist und den +nötigen Fleiss in die Lösung des Problems investiert. +Die Realität ist leider eine ganz andere, Ableiten ist zwar einfach, +eine Stammfunktion finden ist oft viel schwieriger und manchmal schlicht +unmöglich. + +Der Ausweg aus dieser unangenehmen Situation ist, solche Integrale +als neue spezielle Funktionen zu definieren. +Eines der berühmtesten Beispiele für diesen Weg aus der Krise ist die +Fehlerfunktion, die im Abschnitt~\ref{buch:integral:section:fehlerfunktion} +besprochen wird. +Auch geometrische Anwendungen führen auf solche Integrale. +Die Länge eines Ellipsenbogens kann mit Hilfe eines Integrals +berechnet werden, doch scheint es nicht möglich zu sein, für den +Umfang der Ellipse eine einfache Formel anzugeben, wie dies beim +Kreis möglich ist. +Dieses Problem führt auf eine ganze Familie von Integranden, die nicht in +geschlossener Form integriert werden können, nämlich die elliptischen +Funktionen. +Sie werden in Kapitel~\ref{buch:chapter:elliptisch} besprochen. + +Doch wie entscheidet man, ob ein Integral tatsächlich nicht in geschlossener +Form dargestellt werden kann oder ob die Versuche einfach an mangelnden +eigenen Fähigkeiten gescheitert sind? +Denn warum soll man eine neue spezielle Funktion definieren, wenn es +dafür bereits eine gute Darstellung in geschlossener Form gibt? +Der Risch-Algorithmus von Abschnitt~\ref{buch:integral:section:risch} +gibt darauf eine Antwort. + +\input{chapters/060-integral/fehlerfunktion.tex} +\input{chapters/060-integral/differentialkoerper.tex} +\input{chapters/060-integral/risch.tex} + +\section*{Übungsaufgaben} +\rhead{Übungsaufgaben} +\aufgabetoplevel{chapters/060-integral/uebungsaufgaben} +\begin{uebungsaufgaben} +%\uebungsaufgabe{0} +%\uebungsaufgabe{1} +\end{uebungsaufgaben} + -- cgit v1.2.1