From 02b31342e0dba3703c1a3a91352f7ae19764d7ce Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Mon, 29 Nov 2021 13:18:22 +0100
Subject: gauss quadratur zeugs

---
 buch/chapters/060-integral/gaussquadratur.tex | 484 ++++++++++++++++++++++++++
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--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/060-integral/gaussquadratur.tex
@@ -0,0 +1,484 @@
+%
+% Anwendung: Gauss-Quadratur
+%
+\subsection{Anwendung: Gauss-Quadratur}
+Orthogonale Polynome haben eine etwas unerwartet Anwendung in einem
+von Gauss erdachten numerischen Integrationsverfahren.
+Es basiert auf der Beobachtung, dass viele Funktionen sich sehr
+gut durch Polynome approximieren lassen.
+Wenn man also sicherstellt, dass ein Verfahren für Polynome
+sehr gut funktioniert, darf man auch davon ausgehen, dass es für
+andere Funktionen nicht allzu schlecht sein wird.
+
+\subsubsection{Interpolationspolynome}
+Zu einer stetigen Funktion $f(x)$ auf dem Intervall $[-1,1]$ 
+ist ein Polynome vom Grad $n$ gesucht, welches in den Punkten
+$x_0<x_1<\dots<x_n$ die Funktionswerte $f(x_i)$ annimmt.
+Ein solches Polynom $p(x)$ hat $n+1$ Koeffizienten, die aus dem
+linearen Gleichungssystem der $n+1$ Gleichungen $p(x_i)=f(x_i)$ 
+ermittelt werden können.
+
+Das Interpolationspolynom $p(x)$ lässt sich abera uch direkt 
+angeben.
+Dazu konstruiert man zuerst die Polynome
+\[
+l_i(x)
+=
+\frac{
+(x-x_0)(x-x_1)\cdots\widehat{(x-x_i)}\cdots (x-x_n)
+}{
+(x_i-x_0)(x_i-x_1)\cdots\widehat{(x_i-x_i)}\cdots (x_i-x_n)
+}
+\]
+vom Grad $n$, wobei der Hut bedeutet, dass diese Faktoren
+im Produkt wegzulassen sind.
+Die Polynome $l_i(x)$ haben die Eigenschaft
+\[
+l_i(x_j) = \delta_{ij}
+=
+\begin{cases}
+1&\qquad i=j\\
+0&\qquad\text{sonst}.
+\end{cases}
+\]
+Die Linearkombination
+\[
+p(x) = \sum_{i=0}^n f(x_i)l_i(x)
+\]
+ist dann ein Polynom vom Grad $n$, welches am den Stellen $x_j$
+die Werte
+\[
+p(x_j) 
+=
+\sum_{i=0}^n f(x_i)l_i(x_j)
+=
+\sum_{i=0}^n f(x_i)\delta_{ij}
+=
+f(x_j)
+\]
+hat, das Polynome $p(x)$ ist also das gesuchte Interpolationspolynom.
+
+\subsubsection{Integrationsverfahren auf der Basis von Interpolation}
+Das Integral einer stetigen Funktion $f(x)$ auf dem Intervall $[-1,1]$
+kann mit Hilfe des Interpolationspolynoms approximiert werden.
+Wenn $|f(x)-p(x)|<\varepsilon$ ist im Intervall $[-1,1]$, dann gilt
+für die Integrale
+\[
+\biggl|\int_{-1}^1 f(x)\,dx -\int_{-1}^1p(x)\,dx\biggr|
+\le
+\int_{-1}^1 |f(x)-p(x)|\,dx
+\le
+2\varepsilon.
+\]
+Ein Interpolationspolynom mit kleinem Fehler liefert also auch
+eine gute Approximation für das Integral.
+
+Da das Interpolationspolynome durch die Funktionswerte $f(x_i)$
+bestimmt ist, muss auch das Integral allein aus diesen Funktionswerten
+berechnet werden können.
+Tatsächlich ist
+\begin{equation}
+\int_{-1}^1 p(x)\,dx
+=
+\int_{-1}^1 \sum_{i=0}^n f(x_i)l_i(x)\,dx
+=
+\sum_{i=0}^n f(x_i)
+\underbrace{\int_{-1}^1
+l_i(x)\,dx}_{\displaystyle = A_i}.
+\label{buch:integral:gaussquadratur:eqn:Aidef}
+\end{equation}
+Das Integral von $f(x)$ wird also durch eine mit den Zahlen $A_i$
+gewichtete Summe
+\[
+\int_{-1}^1 f(x)\,dx
+\approx
+\sum_{i=1}^n f(x_i)A_i
+\]
+approximiert.
+
+\subsubsection{Integrationsverfahren, die für Polynome exakt sind}
+Ein Polynom vom Grad $2n$ hat $2n+1$ Koeffizienten.
+Um das Polynom durch ein Interpolationspolynom exakt wiederzugeben,
+braucht man $2n+1$ Stützstellen.
+Andererseits gilt
+\[
+\int_{-1}^1 a_{2n}x^{2n} + a_{2n-1}x^{2n-1} + \dots + a_2x^2 + a_1x a_0\,dx
+=
+\int_{-1}^1 a_{2n}x^{2n} + a_{2n-2}x^{2n-2}+\dots +a_2x^2 +a_0\,dx,
+\]
+das Integral ist also bereits durch die $n+1$ Koeffizienten mit geradem
+Index bestimmt.
+Es sollte daher möglich sein, aus $n+1$ Funktionswerten eines beliebigen
+Polynoms vom Grad höchstens $2n$ an geeignet gewählten Stützstellen das
+Integral exakt zu bestimmen.
+
+\begin{beispiel}
+Wir versuchen dies für quadratische Polynome durchzuführen, also 
+für $n=1$.
+Gesucht sind also zwei Werte $x_i$, $i=0,1$ und Gewichte $A_i$, $i=0,1$
+derart, dass für jedes quadratische Polynome $p(x)=a_2x^2+a_1x+a_0$ 
+das Integral durch
+\[
+\int_{-1}^1 p(x)\,dx
+=
+A_0 p(x_0) + A_1 p(x_1)
+\]
+gebeben ist.
+Indem wir für $p(x)$ die Polynome $1$, $x$, $x^2$ und $x^3$ einsetzen,
+erhalten wir vier Gleichungen
+\[
+\begin{aligned}
+p(x)&=\rlap{$1$}\phantom{x^2}\colon& 2       &= A_0\phantom{x_0}+ A_1     \\
+p(x)&=x^{\phantom{2}}\colon& 0       &= A_0x_0   + A_1x_1  \\
+p(x)&=x^2\colon& \frac23 &= A_0x_0^2 + A_1x_1^2\\
+p(x)&=x^3\colon& 0       &= A_0x_0^3 + A_1x_1^3.
+\end{aligned}
+\]
+Dividiert man die zweite und vierte Gleichung in der Form
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+A_0x_0 &= -A_1x_1\\
+A_0x_0^2 &= -A_1x_1^2
+\end{aligned}
+\quad
+\right\}
+\quad
+\Rightarrow
+\quad
+x_0^2=x_1^2
+\quad
+\Rightarrow
+\quad
+x_1=-x_0.
+\]
+Indem wir dies in die zweite Gleichung einsetzen, finden wir 
+\[
+0 = A_0x_0 + A_1x_1 = A_0x_1 -A_1x_0 = (A_0-A_1)x_0
+\quad\Rightarrow\quad
+A_0=A_1.
+\]
+Aus der ersten Gleichung folgt jetzt
+\[
+2= A_0+A_1 = 2A_0 \quad\Rightarrow\quad A_0 = 1.
+\]
+Damit bleiben nur noch die Werte von $x_i$ zu bestimmen, was 
+mit Hilfe der zweiten Gleichung geschehen kann:
+\[
+\frac23 = A_0x_0^2 + A_1x_1^2 = 2x_0^2
+\quad\Rightarrow\quad
+x_0 = \frac{1}{\sqrt{3}}, x_1 = -\frac{1}{\sqrt{3}}
+\]
+Damit ist das Problem gelöst: das Integral eines Polynoms vom Grad 3
+im Interval $[-1,1]$ ist exakt gegeben durch
+\[
+\int_{-1}^1 p(x)\,dx
+=
+p\biggl(-\frac{1}{\sqrt{3}}\biggr)
++
+p\biggl(\frac{1}{\sqrt{3}}\biggr).
+\]
+Das Integral kann also durch nur zwei Auswertungen des Polynoms
+exakt bestimmt werden.
+
+Im Laufe der Lösung des Gleichungssystems wurden die Gewichte $A_i$
+mit bestimmt.
+Es ist aber auch möglich, die Gewichte zu bestimmen, wenn man die
+Stützstellen kennt.
+Nach \eqref{buch:integral:gaussquadratur:eqn:Aidef}
+sind sie die $A_i$ gegeben als Integrale der Polynome
+$l_i(x)$, die im vorliegenden Fall linear sind:
+\begin{align*}
+l_0(x)
+&=
+\frac{x-x_1}{x_0-x_1}
+=
+\frac{x-\frac1{\sqrt{3}}}{-\frac{2}{\sqrt{3}}}
+=
+\frac12(1-\sqrt{3}x)
+\\
+l_1(x)
+&=
+\frac{x-x_0}{x_1-x_0}
+=
+\frac{x+\frac1{\sqrt{3}}}{\frac{2}{\sqrt{3}}}
+=
+\frac12(1+\sqrt{3}x)
+\end{align*}
+Diese haben die Integrale
+\[
+\int_{-1}^1\frac12(1\pm\sqrt{3}x)\,dx
+=
+\int_{-1}^1 \frac12\,dx
+=
+1,
+\]
+da das Polynom $x$ verschwindendes Integral hat.
+Dies stimmt mit $A_0=A_1=1$ überein.
+\label{buch:integral:beispiel:gaussquadraturn1}
+\end{beispiel}
+
+Das eben vorgestellt Verfahren kann natürlich auf beliebiges $n$
+verallgemeinert werden.
+Allerdings ist die Rechnung zur Bestimmung der Stützstellen und
+Gewichte sehr mühsam.
+
+\subsubsection{Stützstellen und Orthogonalpolynome}
+Sei $R_n=\{p(X)\in\mathbb{R}[X] \mid \deg p\le n\}$ der Vektorraum
+der Polynome vom Grad $n$.
+
+\begin{satz}
+\label{buch:integral:satz:gaussquadratur}
+Sei $p$ ein Polynom vom Grad $n$, welches auf allen Polynomen in $R_{n-1}$
+orthogonal sind.
+Seien ausserdem $x_0<x_1<\dots<x_n$ Stützstellen im Intervall $[-1,1]$ 
+und $A_i\in\mathbb{R}$ Gewichte derart dass
+\[
+\int_{-1}^1 f(x)\,dx =
+\sum_{i=0}^n A_if(x_i)
+\]
+für jedes Polynom $f$ vom Grad höchstens $2n-1$, dann sind die Zahlen
+$x_i$ die Nullstellen des Polynoms $p$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Sei $f(x)$ ein beliebiges Polynom vom Grad $2n-1$.
+Nach dem Polynomdivisionsalgorithmus gibt es
+Polynome $q,r\in R_{n-1}$ derart, dass $f=qp+r$.
+Dann ist das Integral von $f$ gegeben durch
+\[
+\int_{-1}^1 f(x)\,dx
+=
+\int_{-1}^1q(x) p(x)\,dx + \int_{-1}^1 r(x)\,dx
+=
+\langle q,p\rangle + \int_{-1}^1 r(x)\,dx.
+\]
+Da $p\perp R_{n-1}$ folgt insbesondere, dass $\langle q,p\rangle=0$.
+
+Da die Integrale auch aus den Werten in den Stützstellen berechnet
+werden können, muss auch
+\[
+0
+=
+\int_{-1}^1 q(x)p(x)\,dx
+=
+\sum_{i=0}^n q(x_i)p(x_i)
+\]
+für jedes beliebige Polynom $q\in R_{n-1}$ gelten.
+Da man für $q$ die Interpolationspolynome $l_j(x)$ verwenden
+kann, den Grad $n-1$ haben, folgt
+\[
+0
+=
+\sum_{i=0}^n
+l_j(x_i)p(x_i)
+=
+\sum_{i=0}^n \delta_{ij}p(x_i),
+\]
+die Stützstellen $x_i$ müssen also die Nullstellen des Polynoms
+$p(x)$ sein.
+\end{proof}
+
+Der Satz~\ref{buch:integral:satz:gaussquadratur} begründet das
+{\em Gausssche Quadraturverfahren}.
+Die in Abschnitt~\ref{buch:integral:subsection:orthogonale-polynome}
+bestimmten Legendre-Polynome $P_n$ haben die im Satz
+verlangte Eigenschaft,
+dass sie auf allen Polynomen geringeren Grades orthogonal sind.
+Wählt man die $n$ Nullstellen von $P_n$ als Stützstellen, erhält man 
+automatisch ein Integrationsverfahren, welches für Polynome vom Grad
+$2n-1$ exakt ist.
+
+\begin{beispiel}
+Das Legendre-Polynom $P_2(x) = \frac12(3x^2-1)$ hat die
+Nullstellen $x=\pm1/\sqrt{3}$, dies sind genau die im Beispiel
+auf Seite~\pageref{buch:integral:beispiel:gaussquadraturn1} befundenen
+Sützstellen.
+\end{beispiel}
+
+\subsubsection{Fehler der Gauss-Quadratur}
+Das Gausssche Quadraturverfahren mit $n$ Stützstellen berechnet
+Integrale von Polynomen bis zum Grad $2n-1$ exakt.
+Für eine beliebige Funktion kann man die folgende Fehlerabschätzung
+angeben \cite[theorem 7.3.4, p.~497]{buch:numal}.
+
+\begin{satz}
+Seien $x_i$ die Stützstellen und $A_i$ die Gewichte einer
+Gaussschen Quadraturformel mit $n+1$ Stützstellen und sei $f$
+eine auf dem Interval $[-1,1]$ $2n+2$-mal stetig differenzierbare
+Funktion, dann ist der $E$ Fehler des Integrals
+\[
+\int_{-1}^1 f(x)\,dx = \sum_{i=0}^n A_i f(x_i) + E
+\]
+gegeben durch
+\begin{equation}
+E = \frac{f^{(2n+2)}(\xi)}{(2n+2)!}\int_{-1}^1 l(x)^2\,dx,
+\label{buch:integral:gaussquadratur:eqn:fehlerformel}
+\end{equation}
+wobei $l(x)=(x-x_0)(x-x_1)\dots(x-x_n)$  und $\xi$ ein geeigneter
+Wert im Intervall $[-1,1]$ ist.
+\end{satz}
+
+Dank dem Faktor $(2n+2)!$ im Nenner von
+\eqref{buch:integral:gaussquadratur:eqn:fehlerformel}
+geht der Fehler für grosses $n$ sehr schnell gegen $0$.
+Man kann auch zeigen, dass die mit Gauss-Quadratur mit $n+1$
+Stützstellen berechneten Näherungswerte eines Integrals einer
+stetigen Funktion $f(x)$ für $n\to\infty$ immer gegen den wahren
+Wert des Integrals konvergieren.
+
+\begin{table}
+\def\u#1{\underline{#1}}
+\centering
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|}
+\hline
+           n & \text{Gauss-Quadratur} & \text{Trapezregel} \\
+\hline
+\phantom{0}2 & 0.\u{95}74271077563381 & 0.\u{95}63709682242596 \\
+\phantom{0}4 & 0.\u{95661}28333449730 & 0.\u{956}5513401768598 \\
+\phantom{0}6 & 0.\u{9566114}812034364 & 0.\u{956}5847489712136 \\
+\phantom{0}8 & 0.\u{956611477}5028123 & 0.\u{956}5964425360520 \\
+          10 & 0.\u{9566114774905}637 & 0.\u{9566}018550715587 \\
+          12 & 0.\u{956611477490518}7 & 0.\u{9566}047952369826 \\
+          14 & 0.\u{95661147749051}72 & 0.\u{9566}065680717177 \\
+          16 & 0.\u{956611477490518}7 & 0.\u{9566}077187127541 \\
+          18 & 0.\u{956611477490518}3 & 0.\u{9566}085075898731 \\
+          20 & 0.\u{956611477490518}4 & 0.\u{9566}090718697414 \\
+\hline
+      \infty & 0.9566114774905183 & 0.9566114774905183 \\
+\hline
+\end{tabular}
+\caption{Integral von $\sqrt{1-x^2}$ zwischen $-\frac12$ und $\frac12$ 
+berechnet mit Gauss-Quadratur und der Trapezregel, aber mit zehnmal
+so vielen Stützstellen.
+Bereits mit 12 Stützstellen erreicht die Gauss-Quadratur
+Maschinengenauigkeit, die Trapezregel liefert auch mit 200 Stützstellen
+nicht mehr als 4 korrekte Nachkommastellen.
+\label{buch:integral:gaussquadratur:table0.5}}
+\end{table}
+
+%\begin{table}
+%\def\u#1{\underline{#1}}
+%\centering
+%\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|}
+%\hline
+%           n & \text{Gauss-Quadratur} & \text{Trapezregel} \\
+%\hline
+%\phantom{0}2 & 1.\u{5}379206741571556 & 1.\u{5}093105464758343 \\
+%\phantom{0}4 & 1.\u{51}32373472933831 & 1.\u{51}13754509594814 \\
+%\phantom{0}6 & 1.\u{512}1624557410367 & 1.\u{51}17610879524799 \\
+%\phantom{0}8 & 1.\u{51207}93479994321 & 1.\u{51}18963282632112 \\
+%          10 & 1.\u{51207}13859966004 & 1.\u{51}19589735776959 \\
+%          12 & 1.\u{512070}5317779943 & 1.\u{51}19930161260693 \\
+%          14 & 1.\u{5120704}334802813 & 1.\u{5120}135471596636 \\
+%          16 & 1.\u{5120704}216176006 & 1.\u{5120}268743889558 \\
+%          18 & 1.\u{5120704}201359081 & 1.\u{5120}360123137213 \\
+%          20 & 1.\u{5120704199}459651 & 1.\u{5120}425490275837 \\
+%\hline
+%      \infty & 1.5120704199172947 & 1.5120704199172947 \\
+%\hline
+%\end{tabular}
+%\end{table}
+
+%\begin{table}
+%\def\u#1{\underline{#1}}
+%\centering
+%\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|}
+%\hline
+%           n & \text{Gauss-Quadratur} & \text{Trapezregel} \\
+%\hline
+%\phantom{0}2 & 1.\u{}6246862220133462 & 1.\u{5}597986803933712 \\
+%\phantom{0}4 & 1.\u{5}759105515463101 & 1.\u{56}63563456168101 \\
+%\phantom{0}6 & 1.\u{5}706630058381434 & 1.\u{56}77252866190838 \\
+%\phantom{0}8 & 1.\u{56}94851106536780 & 1.\u{568}2298707696152 \\
+%          10 & 1.\u{56}91283195332679 & 1.\u{568}4701957758742 \\
+%          12 & 1.\u{56}90013806299465 & 1.\u{568}6030805941198 \\
+%          14 & 1.\u{5689}515434853885 & 1.\u{568}6841603070025 \\
+%          16 & 1.\u{5689}306507843050 & 1.\u{568}7372230731711 \\
+%          18 & 1.\u{5689}214761291217 & 1.\u{568}7738235496322 \\
+%          20 & 1.\u{56891}73062385982 & 1.\u{568}8001228530786 \\
+%\hline
+%      \infty & 1.5689135396691616 & 1.5689135396691616 \\
+%\hline
+%\end{tabular}
+%\end{table}
+
+\begin{table}
+\def\u#1{\underline{#1}}
+\centering
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|}
+\hline
+           n & \text{Gauss-Quadratur} & \text{Trapezregel} \\
+\hline
+\phantom{0}2 & 1.\u{}6321752373234928 & 1.\u{5}561048774629949 \\
+\phantom{0}4 & 1.\u{57}98691557134743 & 1.\u{5}660124134617943 \\
+\phantom{0}6 & 1.\u{57}35853681692993 & 1.\u{5}683353001877542 \\
+\phantom{0}8 & 1.\u{57}19413565928206 & 1.\u{5}692627503425400 \\
+          10 & 1.\u{57}13388119633434 & 1.\u{5}697323578543481 \\
+          12 & 1.\u{57}10710489948883 & 1.\u{570}0051217458713 \\
+          14 & 1.\u{570}9362135398341 & 1.\u{570}1784766276063 \\
+          16 & 1.\u{570}8621102742815 & 1.\u{570}2959121005231 \\
+          18 & 1.\u{570}8186779483588 & 1.\u{570}3793521168343 \\
+          20 & 1.\u{5707}919411931615 & 1.\u{570}4408749735932 \\
+\hline
+      \infty & 1.5707367072605671 & 1.5707367072605671 \\
+\hline
+\end{tabular}
+\caption{Integral von $\sqrt{1-x^2}$ zwischen $-0.999$ und $0.999$ 
+berechnet mit Gauss-Quadratur und der Trapezregel, aber mit zehnmal
+so vielen Stützstellen.
+Wegen der divergierenden Steigung des Integranden bei $\pm 1$ tun
+sich beide Verfahren sehr schwer. 
+Trotzdem erreich die Gauss-Quadrator 4 korrekte Nachkommastellen
+mit 20 Stütztstellen, während die Trapezregel auch mit 200 Stützstellen
+nur 3 korrekte Nachkommastellen findet.
+\label{buch:integral:gaussquadratur:table0.999}}
+\end{table}
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/060-integral/gq/gq.pdf}
+\caption{Approximationsfehler des
+Integrals~\eqref{buch:integral:gaussquadratur:bspintegral}
+in Abhängigkeit von $a$.
+Die Divergenz der Ableitung des Integranden an den Intervallenden
+$\pm 1$ führt zu schlechter Konvergenz des Verfahrens, wenn $a$
+nahe an $1$ ist.
+\label{buch:integral:gaussquadratur:fehler}}
+\end{figure}
+
+Zur Illustration der Genauigkeit der Gauss-Quadratur berechnen wir
+das Integral
+\begin{equation}
+\int_{-a}^a \sqrt{1-x^2}\,dx
+=
+\arcsin a + a \sqrt{1-a^2}
+\label{buch:integral:gaussquadratur:bspintegral}
+\end{equation}
+mit Gauss-Quadratur einerseits und dem Trapezverfahren
+andererseits.
+Da Gauss-Quadratur mit sehr viel weniger Sützstellen auskommt,
+berechnen wir die Trapeznäherung mit zehnmal so vielen Stützstelln.
+In den Tabellen~\ref{buch:integral:gaussquadratur:table0.5}
+und
+\ref{buch:integral:gaussquadratur:table0.999}
+sind die Resultate zusammengestellt.
+Für $a =\frac12$ zeigt
+Tabelle~\ref{buch:integral:gaussquadratur:table0.5}
+die sehr schnelle Konvergenz der Gauss-Quadratur, schon mit
+12 Stützstellen wird Maschinengenauigkeit erreicht.
+Das Trapezverfahren dagegen erreicht auch mit 200 Stützstellen nur
+4 korrekte Nachkommastellen.
+
+An den Stellen $x=\pm 1$ divergiert die Ableitung des Integranden
+des Integrals \eqref{buch:integral:gaussquadratur:bspintegral}.
+Da grösste und kleinste Stützstelle der Gauss-Quadratur immer
+deutlich vom Rand des Intervalls entfernt ist, kann das Verfahren
+diese ``schwierigen'' Stellen nicht erkennen.
+Tabelle~\ref{buch:integral:gaussquadratur:table0.999} zeigt, wie
+die Konvergenz des Verfahrens in diesem Fall sehr viel schlechter ist.
+Dies zeigt auch der Graph in
+Abbildung~\ref{buch:integral:gaussquadratur:fehler}.
+
+\subsubsection{Skalarprodukte mit Gewichtsfunktion}
+
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