From 5c05517960c4913a10eb526b69f99178ee08ef68 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Fri, 7 Jan 2022 20:31:27 +0100
Subject: reorganize chapter 7

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 buch/chapters/060-integral/legendredgl.tex | 368 -----------------------------
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--- a/buch/chapters/060-integral/legendredgl.tex
+++ /dev/null
@@ -1,368 +0,0 @@
-%
-% legendredgl.tex
-%
-% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
-%
-\subsection{Orthogonale Polynome und Differentialgleichungen}
-Legendre hat einen ganz anderen Zugang zu den nach ihm benannten
-Polynomen gefunden.
-Er hat sie gefunden als die Lösungen einer speziellen Differentialgleichungen.
-In diesem Abschnitt sollen diese Funktionen mit der Potenzreihen-Methode
-wiedergefunden werden.
-Dabei stellt sich heraus, dass diese Polynome auch Eigenfunktionen eines
-selbstadjungierten Differentialgoperator sind.
-Die Orthogonalität wird dann aus einer Verallgemeinerung der bekannten
-Eingeschaft folgen, dass Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix zu 
-verschiedenen Eigenwerten orthogonal sind.
-
-\subsubsection{Legendre-Differentialgleichung}
-Die {\em Legendre-Differentialgleichung} ist die Differentialgleichung
-\begin{equation}
-(1-x^2) y'' - 2x y' + n(n+1) y = 0
-\label{buch:integral:eqn:legendre-differentialgleichung}
-\end{equation}
-für eine Funktion $y(x)$ auf dem Intervall $[-1,1]$.
-
-Sei $y(x)$ eine Lösung der Differentialgleichung
-\eqref{buch:integral:eqn:legendre-differentialgleichung}.
-Setzt man $y_s(x)=y(-x)$ in die Differentialgleichung ein, erhält
-man
-\[
-(1-x^2)y_s''(x) - 2x y'_s(x) + n(n+1)y_s(x)
-=
-(1-x^2)y''(-x) +2x y(-x) +n(n+1)y(-x).
-\]
-Ersetzt man $t=-x$, dann wird daraus
-\[
-(1-x^2)y''(t) -2t y(t) + n(n+1) y(t) = 0
-\]
-aus der Differentialgleichung
-\eqref{buch:integral:eqn:legendre-differentialgleichung}.
-Insbesondere ist die gespiegelte Funktion $y_s(x)$ ebenfalls
-eine Lösung der Differentialgleichung.
-
-Ist $y(x)$ eine Lösung der Differentialgleichung ist, dann lässt
-sie sich in die Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion
-\[
-\left.
-\begin{aligned}
-y_g(x) &= \frac{y(x)+y(-x)}{2}\\
-y_u(x) &= \frac{y(x)-y(-x)}{2}
-\end{aligned}
-\quad
-\right\}
-\quad
-\Rightarrow
-\quad
-y(x) = y_g(x) + y_u(x)
-\]
-zerlegen, die als Linearkombinationen der beiden Lösungen
-$y(x)$ und $y_s(x)$ ebenfalls Lösungen der Differentialgleichung
-sind.
-
-\subsubsection{Potenzreihenlösung}
-Wir suchen eine Lösung in Form einer Potenzreihe um $x=0$ und 
-verwenden dazu den Ansatz
-\[
-y(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+ \dots = \sum_{k=0}^\infty a_kx^k.
-\]
-\begin{align*}
-(1-x^2) \sum_{k=2}^\infty k(k-1)a_kx^{k-2}
--2x\sum_{k=0}^\infty ka_kx^{k-1}
-+
-n(n+1)\sum_{k=0}^\infty  a_kx^k
-&=
-0
-\\
-\sum_{k=0}^\infty (k+2)(k+1)a_{k+2}x^k
--
-\sum_{k=2}^\infty k(k-1)a_kx^k
--
-2\sum_{k=1}^\infty ka_kx^k
-+
-n(n+1)\sum_{k=0}^\infty  a_kx^k
-&=
-0
-\end{align*}
-Die Koeffizienten zur Potenz $k$ sind daher
-\begin{align}
-k&=0:
-&
-0&=
-2a_2+n(n+1)a_0
-\notag
-\\
-&&
-a_2&=-\frac{n(n+1)}{2}a_0
-\notag
-\\
-k&=1:
-&
-0&=
-6a_3-2a_1+n(n+1)a_1
-\notag
-\\
-&&
-a_3&= \frac{2-n(n+1)}{6}a_1
-\notag
-\\
-k&>1:
-&
-0&=
-(k+2)(k+1)a_{k+2} -k(k-1)a_k -2ka_k +n(n+1) a_k
-\notag
-\\
-&&
-a_{k+2}
-&=
-\frac{ k(k+1)-n(n+1) }{(k+2)(k+1)}
-a_k
-\label{buch:integral:legendre-dgl:eqn:akrek}
-\end{align}
-Wenn $a_1=0$ und $a_0\ne 1$ ist, dann ist die Funktion $y(x)$ gerade,
-alle ungeraden Koeffizienten verschwinden.
-Ebenso verschwinden alle geraden Koeffizienten, wenn $a_0=0$ und $a_1\ne 0$.
-Für jede Lösung $y(x)$ der Differentialgleichung ist
-$y_g(x)$ ein Lösung mit $a_1=0$ und $y_u(x)$ eine Lösung mit $a_0=0$.
-Wir können die Diskussion der Lösungen daher auf gerade oder ungerade
-Lösungen einschränken.
-
-Gesucht ist jetzt eine Lösung in Form eines Polynoms.
-In diesem Fall müssen die Koeffizienten $a_k$ ab einem
-gewissen Index verschwinden.
-Dies tritt nach \eqref{buch:integral:legendre-dgl:eqn:akrek} genau
-dann auf, wenn der Zähler für ein $k$ verschwindet.
-Folglich gibt es genau dann Polynomlösungen der Differentialgleichungen,
-wenn $n$ eine natürlich Zahl ist.
-Ausserdem ist die Lösung ein Polynom $\bar{P}_n(x)$ vom Grad $n$.
-Das Polynom soll wieder so normiert sein, dass $\bar{P}_n(1)=1$ ist.
-
-Die Lösungen der Differentialgleichungen können jetzt explizit
-berechnet werden.
-Zunächst ist $\bar{P}_0(x)=1$ und $\bar{P}_1(x)=x$.
-Für $n=2$ setzen wir zunächst $a_0=1$ und $a_1=0$ und erhalten
-\[
-y(x)
-=
-1 + \frac{0(0+1) - 2(2+1)}{(0+2)(0+1)}a_0 x^2
-=
-1
--3x^2
-\qquad\text{oder}\qquad
-\bar{P}_3(x) = \frac12(3x^2-1).
-\]
-Für $n=3$ starten wir von $a_1=1$ und $a_0=0$, was zunächst $a_2=0$
-impliziert.
-Für $a_3$ finden wir
-\[
-a_3=\frac{1(1+1)-3(3+1)}{(1+2)(1+1)} = -\frac53
-\qquad\Rightarrow\qquad
-y(x) = x-\frac53x^3
-\qquad\Rightarrow\qquad
-\bar{P}_3(x) = \frac12(5x^3-3x).
-\]
-Dies stimmt überein mit den früher gefundenen Ausdrücken für
-die Legendre-Polynome.
-
-Die Potenzreihenlösung zeigt zwar, dass es für jedes $n\in\mathbb{N}$
-eine Polynomlösung $\bar{P}_n(x)$ vom Grad $n$ gibt.
-Dies kann aber nicht erklären, warum die so gefundenen Polynome
-orthogonal sind.
-
-\subsubsection{Eigenfunktionen}
-Die Differentialgleichung
-\eqref{buch:integral:eqn:legendre-differentialgleichung}
-Kann mit dem Differentialoperator
-\[
-D = \frac{d}{dx}(1-x^2)\frac{d}{dx}
-\]
-als
-\[
-Dy + n(n+1)y = 0
-\]
-geschrieben werden.
-Tatsächlich ist
-\[
-Dy
-=
-\frac{d}{dx} (1-x^2) \frac{d}{dy}
-=
-\frac{d}{dx} (1-x^2)y'
-=
-(1-x^2)y'' -2x y'.
-\]
-Dies bedeutet, dass die Lösungen $\bar{P}_n(x)$ Eigenfunktionen
-des Operators $D$ zum Eigenwert $n(n+1)$ sind:
-\[
-D\bar{P}_n = -n(n+1) \bar{P}_n.
-\]
-
-\subsubsection{Orthogonalität von $\bar{P}_n$ als Eigenfunktionen}
-Ein Operator $A$ auf Funktionen heisst {\em selbstadjungiert}, wenn
-für zwei beliebige Funktionen $f$ und $g$ gilt
-\[
-\langle Af,g\rangle = \langle f,Ag\rangle
-\]
-gilt.
-Im vorliegenden Zusammenhang möchten wir die Eigenschaft nutzen,
-dass Eigenfunktionen eines selbstadjungierten Operatores zu verschiedenen
-Eigenwerten orthogonal sind.
-Dazu seien $Df = \lambda f$ und $Dg=\mu g$ und wir rechnen
-\begin{equation}
-\renewcommand{\arraycolsep}{2pt}
-\begin{array}{rcccrl}
-\langle Df,g\rangle &=& \langle \lambda f,g\rangle &=& \lambda\phantom{)}\langle f,g\rangle
-&\multirow{2}{*}{\hspace{3pt}$\biggl\}\mathstrut-\mathstrut$}\\
-=\langle f,Dg\rangle &=& \langle f,\mu g\rangle &=& \mu\phantom{)}\langle f,g\rangle&
-\\[2pt]
-\hline
-         0           & &                        &=& (\lambda-\mu)\langle f,g\rangle&
-\end{array}
-\label{buch:integrale:eqn:eigenwertesenkrecht}
-\end{equation}
-Da $\lambda-\mu\ne 0$ ist, muss $\langle f,g\rangle=0$ sein.
-
-Der Operator $D$ ist selbstadjungiert, d.~h.
-für zwei beliebige zweimal stetig differenzierbare Funktion $f$ und $g$
-auf dem Intervall $[-1,1]$ gilt
-\begin{align*}
-\langle Df,g\rangle
-&=
-\int_{-1}^1 (Df)(x) g(x) \,dx
-\\
-&=
-\int_{-1}^1
-\biggl(\frac{d}{dx} (1-x^2)\frac{d}{dx}f(x)\biggr) g(x)
-\,dx
-\\
-&=
-\underbrace{
-\biggl[
-\biggl((1-x^2)\frac{d}{dx}f(x)\biggr) g(x)
-\biggr]_{-1}^1
-}_{\displaystyle = 0}
--
-\int_{-1}^1
-\biggl((1-x^2)\frac{d}{dx}f(x)\biggr) \frac{d}{dx}g(x)
-\,dx
-\\
-&=
--
-\int_{-1}^1
-\biggl(\frac{d}{dx}f(x)\biggr) \biggl((1-x^2)\frac{d}{dx}g(x)\biggr)
-\,dx
-\\
-&=
--
-\underbrace{
-\biggl[
-f(x) \biggl((1-x^2)\frac{d}{dx}g(x)\biggr)
-\biggr]_{-1}^1}_{\displaystyle = 0}
-+
-\int_{-1}^1
-f(x) \biggl(\frac{d}{dx}(1-x^2)\frac{d}{dx}g(x)\biggr)
-\,dx
-\\
-&=
-\langle f,Dg\rangle.
-\end{align*}
-Dies beweist, dass $D$ selbstadjungiert ist.
-Da $\bar{P}_n$ Eigenwerte des selbstadjungierten Operators $D$ zu
-den verschiedenen Eigenwerten $-n(n+1)$ sind, folgt auch, dass
-die $\bar{P}_n$ orthogonale Polynome vom Grad $n$ sind, die die 
-gleiche Standardierdisierungsbedingung wie die Legendre-Polyonome
-erfüllen, also ist $\bar{P}_n(x)=P_n(x)$.
-
-\subsubsection{Legendre-Funktionen zweiter Art}
-%Siehe Wikipedia-Artikel \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Legendre-Polynom}
-%
-Die Potenzreihenmethode liefert natürlich auch Lösungen der
-Legendreschen Differentialgleichung, die sich nicht als Polynome
-darstellen lassen.
-Ist $n$ gerade, dann liefern die Anfangswerte $a_0=0$ und $a_1=1$ 
-eine ungerade Funktion, die Folge der Koeffizienten bricht
-aber nicht ab, vielmehr ist
-\begin{align*}
-a_{k+2}
-&=
-\frac{k(k+1)}{(k+1)(k+2)}a_k
-=
-\frac{k}{k+2}a_k.
-\end{align*}
-Durch wiederholte Anwendung dieser Rekursionsformel findet man
-\[
-a_{k}
-=
-\frac{k-2}{k}a_{k-2}
-=
-\frac{k-2}{k}\frac{k-4}{k-2}a_{k-4}
-=
-\frac{k-2}{k}\frac{k-4}{k-2}\frac{k-6}{k-4}a_{k-6}
-=
-\dots
-=
-\frac{1}{k}a_1.
-\]
-Die Lösung hat daher die Reihenentwicklung
-\[
-Q_0(x) = x+\frac13x^3 + \frac15x^5 + \frac17x^7+\dots
-=
-\frac12\log \frac{1+x}{1-x}
-=
-\operatorname{artanh}x.
-\]
-Die Funktion $Q_0(x)$ heisst {\em Legendre-Funktion zweiter Art}.
-
-Für $n=1$ wird die Reihenentwicklung $a_0=1$ und $a_1=0$ etwas
-interessanter.
-Die Rekursionsformel für die Koeffizienten ist
-\[
-a_{k+2}
-=
-\frac{k(k+1)-2}{(k+1)(k+2)} a_k.
-\qquad\text{oder}\qquad
-a_k
-=
-\frac{(k-1)(k-2)-2}{k(k-1)}
-a_{k-2}
-\]
-Man erhält der Reihe nach
-\begin{align*}
-a_2 &= \frac{-2}{2\cdot 1} a_0 = -1
-\\
-a_3 &= 0
-\\
-a_4 &= \frac{3\cdot 2-2}{4\cdot 3} a_2 = \frac{4}{4\cdot 3}a_2 = \frac13a_2 = -\frac13
-\\
-a_5 &= 0
-\\
-a_6 &= \frac{5\cdot 4-2}{6\cdot 5}a_4 = \frac{18}{6\cdot 5}a_4 = -\frac15
-\\
-a_7 &= 0
-\\
-a_8 &= \frac{7\cdot 6-2}{8\cdot 7}a_6 = \frac{40}{8\cdot 7} = -\frac17
-\\
-a_9 &= 0
-\\
-a_{10} &= \frac{9\cdot 8-2}{10\cdot 9}a_8 = \frac{70}{10\cdot 9} = -\frac19,
-\end{align*}
-woraus sich die Reihenentwicklung
-\begin{align*}
-y(x)
-&=
--x^2 -\frac13x^4 -\frac15x^6 - \frac17x^8 -\frac19x^{10}-\dots
-\\
-&=
--x\biggl(x+\frac13x^3 + \frac15x^5 + \frac17x^7 + \frac19x^9+\dots\biggr)
-=
--x\operatorname{artanh}x.
-\end{align*}
-Die {\em Legendre-Funktionen zweiter Art} $Q_n(x)$  werden allerdings
-so definiert, dass gewisse Rekursionsformeln für die Legendre-Polynome,
-die wir hier nicht hergeleitet haben, auch für die $Q_n(x)$ gelten.
-In dieser Normierung muss statt des eben berechneten $y(x)$ die Funktion
-\[
-Q_1(x) = x \operatorname{artanh}x-1
-\]
-verwendet werden.
-
-- 
cgit v1.2.1

