From 02b31342e0dba3703c1a3a91352f7ae19764d7ce Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Mon, 29 Nov 2021 13:18:22 +0100
Subject: gauss quadratur zeugs

---
 buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex | 816 ++++++++++++++++++------------
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--- a/buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex
+++ b/buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex
@@ -5,6 +5,7 @@
 %
 \section{Orthogonalität
 \label{buch:integral:section:orthogonale-polynome}}
+\rhead{Orthogonale Polynome}
 Die Fourier-Theorie basiert auf der Idee, Funktionen durch 
 Funktionenreihen mit Summanden zu bilden, die im Sinne eines
 Skalarproduktes orthogonal sind, welches mit Hilfe eines Integrals
@@ -294,6 +295,7 @@ sind sie jedoch nicht orthogonal, denn es ist
 \biggl[\frac{x^{i+j+1}}{i+j+1}\biggr]_{-1}^1
 =
 \begin{cases}
+\displaystyle
 \frac{2}{i+j+1}&\qquad\text{$i+j$ gerade}\\
               0&\qquad\text{$i+j$ ungerade}.
 \end{cases}
@@ -454,7 +456,8 @@ x^4
 &=
 x^4
 -\frac47 P_2(x) - \frac15 P_0(x)
-=
+\\
+&=
 x^4 - \frac{6}{7}x^2 + \frac{3}{35}
 \end{align*}
 mit $p(1)=\frac{8}{35}$, so dass man
@@ -514,334 +517,487 @@ Tabelle~\ref{buch:integral:table:legendre-polynome}.
 \subsubsection{Legendre-Funktionen zweiter Art}
 Siehe Wikipedia-Artikel \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Legendre-Polynom}
 
+%%
+%% Anwendung: Gauss-Quadratur
+%%
+%\subsection{Anwendung: Gauss-Quadratur}
+%Orthogonale Polynome haben eine etwas unerwartet Anwendung in einem
+%von Gauss erdachten numerischen Integrationsverfahren.
+%Es basiert auf der Beobachtung, dass viele Funktionen sich sehr
+%gut durch Polynome approximieren lassen.
+%Wenn man also sicherstellt, dass ein Verfahren für Polynome
+%sehr gut funktioniert, darf man auch davon ausgehen, dass es für
+%andere Funktionen nicht allzu schlecht sein wird.
 %
-% Anwendung: Gauss-Quadratur
+%\subsubsection{Interpolationspolynome}
+%Zu einer stetigen Funktion $f(x)$ auf dem Intervall $[-1,1]$ 
+%ist ein Polynome vom Grad $n$ gesucht, welches in den Punkten
+%$x_0<x_1<\dots<x_n$ die Funktionswerte $f(x_i)$ annimmt.
+%Ein solches Polynom $p(x)$ hat $n+1$ Koeffizienten, die aus dem
+%linearen Gleichungssystem der $n+1$ Gleichungen $p(x_i)=f(x_i)$ 
+%ermittelt werden können.
 %
-\subsection{Anwendung: Gauss-Quadratur}
-Orthogonale Polynome haben eine etwas unerwartet Anwendung in einem
-von Gauss erdachten numerischen Integrationsverfahren.
-Es basiert auf der Beobachtung, dass viele Funktionen sich sehr
-gut durch Polynome approximieren lassen.
-Wenn man also sicherstellt, dass ein Verfahren für Polynome
-sehr gut funktioniert, darf man auch davon ausgehen, dass es für
-andere Funktionen nicht allzu schlecht sein wird.
-
-\subsubsection{Interpolationspolynome}
-Zu einer stetigen Funktion $f(x)$ auf dem Intervall $[-1,1]$ 
-ist ein Polynome vom Grad $n$ gesucht, welches in den Punkten
-$x_0<x_1<\dots<x_n$ die Funktionswerte $f(x_i)$ annimmt.
-Ein solches Polynom $p(x)$ hat $n+1$ Koeffizienten, die aus dem
-linearen Gleichungssystem der $n+1$ Gleichungen $p(x_i)=f(x_i)$ 
-ermittelt werden können.
-
-Das Interpolationspolynom $p(x)$ lässt sich abera uch direkt 
-angeben.
-Dazu konstruiert man zuerst die Polynome
-\[
-l_i(x)
-=
-\frac{
-(x-x_0)(x-x_1)\cdots\widehat{(x-x_i)}\cdots (x-x_n)
-}{
-(x_i-x_0)(x_i-x_1)\cdots\widehat{(x_i-x_i)}\cdots (x_i-x_n)
-}
-\]
-vom Grad $n$, wobei der Hut bedeutet, dass diese Faktoren
-im Produkt wegzulassen sind.
-Die Polynome $l_i(x)$ haben die Eigenschaft
-\[
-l_i(x_j) = \delta_{ij}
-=
-\begin{cases}
-1&\qquad i=j\\
-0&\qquad\text{sonst}.
-\end{cases}
-\]
-Die Linearkombination
-\[
-p(x) = \sum_{i=0}^n f(x_i)l_i(x)
-\]
-ist dann ein Polynom vom Grad $n$, welches am den Stellen $x_j$
-die Werte
-\[
-p(x_j) 
-=
-\sum_{i=0}^n f(x_i)l_i(x_j)
-=
-\sum_{i=0}^n f(x_i)\delta_{ij}
-=
-f(x_j)
-\]
-hat, das Polynome $p(x)$ ist also das gesuchte Interpolationspolynom.
-
-\subsubsection{Fehler des Interpolationspolynoms}
-TODO
-
-\subsubsection{Integrationsverfahren auf der Basis von Interpolation}
-Das Integral einer stetigen Funktion $f(x)$ auf dem Intervall $[-1,1]$
-kann mit Hilfe des Interpolationspolynoms approximiert werden.
-Wenn $|f(x)-p(x)|<\varepsilon$ ist im Intervall $[-1,1]$, dann gilt
-für die Integrale
-\[
-\biggl|\int_{-1}^1 f(x)\,dx -\int_{-1}^1p(x)\,dx\biggr|
-\le
-\int_{-1}^1 |f(x)-p(x)|\,dx
-\le
-2\varepsilon.
-\]
-Ein Interpolationspolynom mit kleinem Fehler liefert also auch
-eine gute Approximation für das Integral.
-
-Da das Interpolationspolynome durch die Funktionswerte $f(x_i)$
-bestimmt ist, muss auch das Integral allein aus diesen Funktionswerten
-berechnet werden können.
-Tatsächlich ist
-\[
-\int_{-1}^1 p(x)\,dx
-=
-\int_{-1}^1 \sum_{i=0}^n f(x_i)l_i(x)\,dx
-=
-\sum_{i=0}^n f(x_i)
-\underbrace{\int_{-1}^1
-l_i(x)\,dx}_{\displaystyle = A_i}
-\]
-Das Integral von $f(x)$ wird also durch eine mit den Zahlen $A_i$
-gewichtete Summe
-\[
-\int_{-1}^1 f(x)\,dx
-\approx
-\sum_{i=1}^n f(x_i)A_i
-\]
-approximiert.
-
-\subsubsection{Integrationsverfahren, die für Polynome exakt sind}
-Ein Polynom vom Grad $2n$ hat $2n+1$ Koeffizienten.
-Um das Polynom durch ein Interpolationspolynom exakt wiederzugeben,
-braucht man $2n+1$ Stützstellen.
-Andererseits gilt
-\[
-\int_{-1}^1 a_{2n}x^{2n} + a_{2n-1}x^{2n-1} + \dots + a_2x^2 + a_1x a_0\,dx
-=
-\int_{-1}^1 a_{2n}x^{2n} + a_{2n-2}x^{2n-2}+\dots +a_2x^2 +a_0\,dx,
-\]
-das Integral ist also bereits durch die $n+1$ Koeffizienten mit geradem
-Index bestimmt.
-Es sollte daher möglich sein, aus $n+1$ Funktionswerten eines beliebigen
-Polynoms vom Grad höchstens $2n$ an geeignet gewählten Stützstellen das
-Integral exakt zu bestimmen.
-
-\begin{beispiel}
-Wir versuchen dies für quadratische Polynome durchzuführen, also 
-für $n=1$.
-Gesucht sind also zwei Werte $x_i$, $i=0,1$ und Gewichte $A_i$, $i=0,1$
-derart, dass für jedes quadratische Polynome $p(x)=a_2x^2+a_1x+a_0$ 
-das Integral durch
-\[
-\int_{-1}^1 p(x)\,dx
-=
-A_0 p(x_0) + A_1 p(x_1)
-\]
-gebeben ist.
-Indem wir für $p(x)$ die Polynome $1$, $x$, $x^2$ und $x^3$ einsetzen,
-erhalten wir vier Gleichungen
-\[
-\begin{aligned}
-p(x)&=\rlap{$1$}\phantom{x^2}\colon& 2       &= A_0\phantom{x_0}+ A_1     \\
-p(x)&=x^{\phantom{2}}\colon& 0       &= A_0x_0   + A_1x_1  \\
-p(x)&=x^2\colon& \frac23 &= A_0x_0^2 + A_1x_1^2\\
-p(x)&=x^3\colon& 0       &= A_0x_0^3 + A_1x_1^3.
-\end{aligned}
-\]
-Dividiert man die zweite und vierte Gleichung in der Form
-\[
-\left.
-\begin{aligned}
-A_0x_0 &= -A_1x_1\\
-A_0x_0^2 &= -A_1x_1^2
-\end{aligned}
-\quad
-\right\}
-\quad
-\Rightarrow
-\quad
-x_0^2=x_1^2
-\quad
-\Rightarrow
-\quad
-x_1=-x_0.
-\]
-Indem wir dies in die zweite Gleichung einsetzen, finden wir 
-\[
-0 = A_0x_0 + A_1x_1 = A_0x_1 -A_1x_0 = (A_0-A_1)x_0
-\quad\Rightarrow\quad
-A_0=A_1.
-\]
-Aus der ersten Gleichung folgt jetzt
-\[
-2= A_0+A_1 = 2A_0 \quad\Rightarrow\quad A_0 = 1.
-\]
-Damit bleiben nur noch die Werte von $x_i$ zu bestimmen, was 
-mit Hilfe der zweiten Gleichung geschehen kann:
-\[
-\frac23 = A_0x_0^2 + A_1x_1^2 = 2x_0^2
-\quad\Rightarrow\quad
-x_0 = \frac{1}{\sqrt{3}}, x_1 = -\frac{1}{\sqrt{3}}
-\]
-Damit ist das Problem gelöst: das Integral eines Polynoms vom Grad 3
-im Interval $[-1,1]$ ist exakt gegeben durch
-\[
-\int_{-1}^1 p(x)\,dx
-=
-p\biggl(-\frac{1}{\sqrt{3}}\biggr)
-+
-p\biggl(\frac{1}{\sqrt{3}}\biggr).
-\]
-Das Integral kann also durch nur zwei Auswertungen des Polynoms
-exakt bestimmt werden.
-
-Im Laufe der Lösung des Gleichungssystems wurden die Gewichte $A_i$
-mit bestimmt.
-Es ist aber auch möglich, die Gewichte zu bestimmen, wenn man die
-Stützstellen kennt.
-Nach \eqref{XXX} sind sie gegeben als Integrale der Polynome $l_i(x)$,
-die im vorliegenden Fall linear sind:
-\begin{align*}
-l_0(x)
-&=
-\frac{x-x_1}{x_0-x_1}
-=
-\frac{x-\frac1{\sqrt{3}}}{-\frac{2}{\sqrt{3}}}
-=
-\frac12(1-\sqrt{3}x)
-\\
-l_1(x)
-&=
-\frac{x-x_0}{x_1-x_0}
-=
-\frac{x+\frac1{\sqrt{3}}}{\frac{2}{\sqrt{3}}}
-=
-\frac12(1+\sqrt{3}x)
-\end{align*}
-Diese haben die Integrale
-\[
-\int_{-1}^1\frac12(1\pm\sqrt{3}x)\,dx
-=
-\int_{-1}^1 \frac12\,dx
-=
-1,
-\]
-da das Polynom $x$ verschwindendes Integral hat.
-Dies stimmt mit $A_0=A_1=1$ überein.
-\label{buch:integral:beispiel:gaussquadraturn1}
-\end{beispiel}
-
-Das eben vorgestellt Verfahren kann natürlich auf beliebiges $n$
-verallgemeinert werden.
-Allerdings ist die Rechnung zur Bestimmung der Stützstellen und
-Gewichte sehr mühsam.
-
-\subsubsection{Stützstellen und Orthogonalpolynome}
-Sei $R_n=\{p(X)\in\mathbb{R}[X] \mid \deg p\le n\}$ der Vektorraum
-der Polynome vom Grad $n$.
-
-\begin{satz}
-\label{buch:integral:satz:gaussquadratur}
-Sei $p$ ein Polynom vom Grad $n$, welches auf allen Polynomen in $R_{n-1}$
-orthogonal sind.
-Seien ausserdem $x_0<x_1<\dots<x_n$ Stützstellen im Intervall $[-1,1]$ 
-und $A_i\in\mathbb{R}$ Gewichte derart dass
-\[
-\int_{-1}^1 f(x)\,dx =
-\sum_{i=0}^n A_if(x_i)
-\]
-für jedes Polynom $f$ vom Grad höchstens $2n-1$, dann sind die Zahlen
-$x_i$ die Nullstellen des Polynoms $p$.
-\end{satz}
-
-\begin{proof}[Beweis]
-Sei $f(x)$ ein beliebiges Polynom vom Grad $2n-1$.
-Nach dem Polynomdivisionsalgorithmus gibt es
-Polynome $q,r\in R_{n-1}$ derart, dass $f=qp+r$.
-Dann ist das Integral von $f$ gegeben durch
-\[
-\int_{-1}^1 f(x)\,dx
-=
-\int_{-1}^1q(x) p(x)\,dx + \int_{-1}^1 r(x)\,dx
-=
-\langle q,p\rangle + \int_{-1}^1 r(x)\,dx.
-\]
-Da $p\perp R_{n-1}$ folgt insbesondere, dass $\langle q,p\rangle=0$.
-
-Da die Integrale auch aus den Werten in den Stützstellen berechnet
-werden können, muss auch
-\[
-0
-=
-\int_{-1}^1 q(x)p(x)\,dx
-=
-\sum_{i=0}^n q(x_i)p(x_i)
-\]
-für jedes beliebige Polynom $q\in R_{n-1}$ gelten.
-Da man für $q$ die Interpolationspolynome $l_j(x)$ verwenden
-kann, den Grad $n-1$ haben, folgt
-\[
-0
-=
-\sum_{i=0}^n
-l_j(x_i)p(x_i)
-=
-\sum_{i=0}^n \delta_{ij}p(x_i),
-\]
-die Stützstellen $x_i$ müssen also die Nullstellen des Polynoms
-$p(x)$ sein.
-\end{proof}
-
-Der Satz~\ref{buch:integral:satz:gaussquadratur} begründet das
-{\em Gausssche Quadraturverfahren}.
-Die in Abschnitt~\ref{buch:integral:subsection:orthogonale-polynome}
-bestimmten Legendre-Polynome $P_n$ haben die im Satz
-verlangte Eigenschaft,
-dass sie auf allen Polynomen geringeren Grades orthogonal sind.
-Wählt man die $n$ Nullstellen von $P_n$ als Stützstellen, erhält man 
-automatisch ein Integrationsverfahren, welches für Polynome vom Grad
-$2n-1$ exakt ist.
-
-\begin{beispiel}
-Das Legendre-Polynom $P_2(x) = \frac12(3x^2-1)$ hat die
-Nullstellen $x=\pm1/\sqrt{3}$, dies sind genau die im Beispiel
-auf Seite~\pageref{buch:integral:beispiel:gaussquadraturn1} befundenen
-Sützstellen.
-\end{beispiel}
-
-\subsubsection{Fehler der Gauss-Quadratur}
-Das Gausssche Quadraturverfahren mit $n$ Stützstellen berechnet
-Integrale von Polynomen bis zum Grad $2n-1$ exakt.
-Für eine beliebige Funktion kann man die folgende Fehlerabschätzung
-angeben \cite[theorem 7.3.4, p.~497]{numal}.
-
-\begin{satz}
-Seien $x_i$ die Stützstellen und $A_i$ die Gewichte einer
-Gaussschen Quadraturformel mit $n+1$ Stützstellen und sei $f$
-eine auf dem Interval $[-1,1]$ $2n+2$-mal stetig differenzierbare
-Funktion, dann ist der $E$ Fehler des Integrals
-\[
-\int_{-1}^1 f(x)\,dx = \sum_{i=0}^n A_i f(x_i) + E
-\]
-gegeben durch
-\begin{equation}
-E = \frac{f^{(2n+2)}}{(2n+2)!}\int_{-1}^1 l(x)^2\,dx,
-\label{buch:integral:gaussquadratur:eqn:fehlerformel}
-\end{equation}
-wobei $l(x)=(x-x_0)(x-x_1)\dots(x-x_n)$ ist.
-\end{satz}
-
-Dank dem Faktor $(2n+2)!$ im Nenner von
-\eqref{buch:integral:gaussquadratur:eqn:fehlerformel}
-geht der Fehler für grosses $n$ sehr schnell gegen $0$.
-Man kann auch zeigen, dass die mit Gauss-Quadratur mit $n+1$
-Stützstellen berechneten Näherungswerte eines Integrals einer
-stetigen Funktion $f(x)$ für $n\to\infty$ immer gegen den wahren
-Wert des Integrals konvergieren.
-
-\subsubsection{Skalarprodukte mit Gewichtsfunktion}
-
+%Das Interpolationspolynom $p(x)$ lässt sich abera uch direkt 
+%angeben.
+%Dazu konstruiert man zuerst die Polynome
+%\[
+%l_i(x)
+%=
+%\frac{
+%(x-x_0)(x-x_1)\cdots\widehat{(x-x_i)}\cdots (x-x_n)
+%}{
+%(x_i-x_0)(x_i-x_1)\cdots\widehat{(x_i-x_i)}\cdots (x_i-x_n)
+%}
+%\]
+%vom Grad $n$, wobei der Hut bedeutet, dass diese Faktoren
+%im Produkt wegzulassen sind.
+%Die Polynome $l_i(x)$ haben die Eigenschaft
+%\[
+%l_i(x_j) = \delta_{ij}
+%=
+%\begin{cases}
+%1&\qquad i=j\\
+%0&\qquad\text{sonst}.
+%\end{cases}
+%\]
+%Die Linearkombination
+%\[
+%p(x) = \sum_{i=0}^n f(x_i)l_i(x)
+%\]
+%ist dann ein Polynom vom Grad $n$, welches am den Stellen $x_j$
+%die Werte
+%\[
+%p(x_j) 
+%=
+%\sum_{i=0}^n f(x_i)l_i(x_j)
+%=
+%\sum_{i=0}^n f(x_i)\delta_{ij}
+%=
+%f(x_j)
+%\]
+%hat, das Polynome $p(x)$ ist also das gesuchte Interpolationspolynom.
+%
+%\subsubsection{Integrationsverfahren auf der Basis von Interpolation}
+%Das Integral einer stetigen Funktion $f(x)$ auf dem Intervall $[-1,1]$
+%kann mit Hilfe des Interpolationspolynoms approximiert werden.
+%Wenn $|f(x)-p(x)|<\varepsilon$ ist im Intervall $[-1,1]$, dann gilt
+%für die Integrale
+%\[
+%\biggl|\int_{-1}^1 f(x)\,dx -\int_{-1}^1p(x)\,dx\biggr|
+%\le
+%\int_{-1}^1 |f(x)-p(x)|\,dx
+%\le
+%2\varepsilon.
+%\]
+%Ein Interpolationspolynom mit kleinem Fehler liefert also auch
+%eine gute Approximation für das Integral.
+%
+%Da das Interpolationspolynome durch die Funktionswerte $f(x_i)$
+%bestimmt ist, muss auch das Integral allein aus diesen Funktionswerten
+%berechnet werden können.
+%Tatsächlich ist
+%\begin{equation}
+%\int_{-1}^1 p(x)\,dx
+%=
+%\int_{-1}^1 \sum_{i=0}^n f(x_i)l_i(x)\,dx
+%=
+%\sum_{i=0}^n f(x_i)
+%\underbrace{\int_{-1}^1
+%l_i(x)\,dx}_{\displaystyle = A_i}.
+%\label{buch:integral:gaussquadratur:eqn:Aidef}
+%\end{equation}
+%Das Integral von $f(x)$ wird also durch eine mit den Zahlen $A_i$
+%gewichtete Summe
+%\[
+%\int_{-1}^1 f(x)\,dx
+%\approx
+%\sum_{i=1}^n f(x_i)A_i
+%\]
+%approximiert.
+%
+%\subsubsection{Integrationsverfahren, die für Polynome exakt sind}
+%Ein Polynom vom Grad $2n$ hat $2n+1$ Koeffizienten.
+%Um das Polynom durch ein Interpolationspolynom exakt wiederzugeben,
+%braucht man $2n+1$ Stützstellen.
+%Andererseits gilt
+%\[
+%\int_{-1}^1 a_{2n}x^{2n} + a_{2n-1}x^{2n-1} + \dots + a_2x^2 + a_1x a_0\,dx
+%=
+%\int_{-1}^1 a_{2n}x^{2n} + a_{2n-2}x^{2n-2}+\dots +a_2x^2 +a_0\,dx,
+%\]
+%das Integral ist also bereits durch die $n+1$ Koeffizienten mit geradem
+%Index bestimmt.
+%Es sollte daher möglich sein, aus $n+1$ Funktionswerten eines beliebigen
+%Polynoms vom Grad höchstens $2n$ an geeignet gewählten Stützstellen das
+%Integral exakt zu bestimmen.
+%
+%\begin{beispiel}
+%Wir versuchen dies für quadratische Polynome durchzuführen, also 
+%für $n=1$.
+%Gesucht sind also zwei Werte $x_i$, $i=0,1$ und Gewichte $A_i$, $i=0,1$
+%derart, dass für jedes quadratische Polynome $p(x)=a_2x^2+a_1x+a_0$ 
+%das Integral durch
+%\[
+%\int_{-1}^1 p(x)\,dx
+%=
+%A_0 p(x_0) + A_1 p(x_1)
+%\]
+%gebeben ist.
+%Indem wir für $p(x)$ die Polynome $1$, $x$, $x^2$ und $x^3$ einsetzen,
+%erhalten wir vier Gleichungen
+%\[
+%\begin{aligned}
+%p(x)&=\rlap{$1$}\phantom{x^2}\colon& 2       &= A_0\phantom{x_0}+ A_1     \\
+%p(x)&=x^{\phantom{2}}\colon& 0       &= A_0x_0   + A_1x_1  \\
+%p(x)&=x^2\colon& \frac23 &= A_0x_0^2 + A_1x_1^2\\
+%p(x)&=x^3\colon& 0       &= A_0x_0^3 + A_1x_1^3.
+%\end{aligned}
+%\]
+%Dividiert man die zweite und vierte Gleichung in der Form
+%\[
+%\left.
+%\begin{aligned}
+%A_0x_0 &= -A_1x_1\\
+%A_0x_0^2 &= -A_1x_1^2
+%\end{aligned}
+%\quad
+%\right\}
+%\quad
+%\Rightarrow
+%\quad
+%x_0^2=x_1^2
+%\quad
+%\Rightarrow
+%\quad
+%x_1=-x_0.
+%\]
+%Indem wir dies in die zweite Gleichung einsetzen, finden wir 
+%\[
+%0 = A_0x_0 + A_1x_1 = A_0x_1 -A_1x_0 = (A_0-A_1)x_0
+%\quad\Rightarrow\quad
+%A_0=A_1.
+%\]
+%Aus der ersten Gleichung folgt jetzt
+%\[
+%2= A_0+A_1 = 2A_0 \quad\Rightarrow\quad A_0 = 1.
+%\]
+%Damit bleiben nur noch die Werte von $x_i$ zu bestimmen, was 
+%mit Hilfe der zweiten Gleichung geschehen kann:
+%\[
+%\frac23 = A_0x_0^2 + A_1x_1^2 = 2x_0^2
+%\quad\Rightarrow\quad
+%x_0 = \frac{1}{\sqrt{3}}, x_1 = -\frac{1}{\sqrt{3}}
+%\]
+%Damit ist das Problem gelöst: das Integral eines Polynoms vom Grad 3
+%im Interval $[-1,1]$ ist exakt gegeben durch
+%\[
+%\int_{-1}^1 p(x)\,dx
+%=
+%p\biggl(-\frac{1}{\sqrt{3}}\biggr)
+%+
+%p\biggl(\frac{1}{\sqrt{3}}\biggr).
+%\]
+%Das Integral kann also durch nur zwei Auswertungen des Polynoms
+%exakt bestimmt werden.
+%
+%Im Laufe der Lösung des Gleichungssystems wurden die Gewichte $A_i$
+%mit bestimmt.
+%Es ist aber auch möglich, die Gewichte zu bestimmen, wenn man die
+%Stützstellen kennt.
+%Nach \eqref{buch:integral:gaussquadratur:eqn:Aidef}
+%sind sie die $A_i$ gegeben als Integrale der Polynome
+%$l_i(x)$, die im vorliegenden Fall linear sind:
+%\begin{align*}
+%l_0(x)
+%&=
+%\frac{x-x_1}{x_0-x_1}
+%=
+%\frac{x-\frac1{\sqrt{3}}}{-\frac{2}{\sqrt{3}}}
+%=
+%\frac12(1-\sqrt{3}x)
+%\\
+%l_1(x)
+%&=
+%\frac{x-x_0}{x_1-x_0}
+%=
+%\frac{x+\frac1{\sqrt{3}}}{\frac{2}{\sqrt{3}}}
+%=
+%\frac12(1+\sqrt{3}x)
+%\end{align*}
+%Diese haben die Integrale
+%\[
+%\int_{-1}^1\frac12(1\pm\sqrt{3}x)\,dx
+%=
+%\int_{-1}^1 \frac12\,dx
+%=
+%1,
+%\]
+%da das Polynom $x$ verschwindendes Integral hat.
+%Dies stimmt mit $A_0=A_1=1$ überein.
+%\label{buch:integral:beispiel:gaussquadraturn1}
+%\end{beispiel}
+%
+%Das eben vorgestellt Verfahren kann natürlich auf beliebiges $n$
+%verallgemeinert werden.
+%Allerdings ist die Rechnung zur Bestimmung der Stützstellen und
+%Gewichte sehr mühsam.
+%
+%\subsubsection{Stützstellen und Orthogonalpolynome}
+%Sei $R_n=\{p(X)\in\mathbb{R}[X] \mid \deg p\le n\}$ der Vektorraum
+%der Polynome vom Grad $n$.
+%
+%\begin{satz}
+%\label{buch:integral:satz:gaussquadratur}
+%Sei $p$ ein Polynom vom Grad $n$, welches auf allen Polynomen in $R_{n-1}$
+%orthogonal sind.
+%Seien ausserdem $x_0<x_1<\dots<x_n$ Stützstellen im Intervall $[-1,1]$ 
+%und $A_i\in\mathbb{R}$ Gewichte derart dass
+%\[
+%\int_{-1}^1 f(x)\,dx =
+%\sum_{i=0}^n A_if(x_i)
+%\]
+%für jedes Polynom $f$ vom Grad höchstens $2n-1$, dann sind die Zahlen
+%$x_i$ die Nullstellen des Polynoms $p$.
+%\end{satz}
+%
+%\begin{proof}[Beweis]
+%Sei $f(x)$ ein beliebiges Polynom vom Grad $2n-1$.
+%Nach dem Polynomdivisionsalgorithmus gibt es
+%Polynome $q,r\in R_{n-1}$ derart, dass $f=qp+r$.
+%Dann ist das Integral von $f$ gegeben durch
+%\[
+%\int_{-1}^1 f(x)\,dx
+%=
+%\int_{-1}^1q(x) p(x)\,dx + \int_{-1}^1 r(x)\,dx
+%=
+%\langle q,p\rangle + \int_{-1}^1 r(x)\,dx.
+%\]
+%Da $p\perp R_{n-1}$ folgt insbesondere, dass $\langle q,p\rangle=0$.
+%
+%Da die Integrale auch aus den Werten in den Stützstellen berechnet
+%werden können, muss auch
+%\[
+%0
+%=
+%\int_{-1}^1 q(x)p(x)\,dx
+%=
+%\sum_{i=0}^n q(x_i)p(x_i)
+%\]
+%für jedes beliebige Polynom $q\in R_{n-1}$ gelten.
+%Da man für $q$ die Interpolationspolynome $l_j(x)$ verwenden
+%kann, den Grad $n-1$ haben, folgt
+%\[
+%0
+%=
+%\sum_{i=0}^n
+%l_j(x_i)p(x_i)
+%=
+%\sum_{i=0}^n \delta_{ij}p(x_i),
+%\]
+%die Stützstellen $x_i$ müssen also die Nullstellen des Polynoms
+%$p(x)$ sein.
+%\end{proof}
+%
+%Der Satz~\ref{buch:integral:satz:gaussquadratur} begründet das
+%{\em Gausssche Quadraturverfahren}.
+%Die in Abschnitt~\ref{buch:integral:subsection:orthogonale-polynome}
+%bestimmten Legendre-Polynome $P_n$ haben die im Satz
+%verlangte Eigenschaft,
+%dass sie auf allen Polynomen geringeren Grades orthogonal sind.
+%Wählt man die $n$ Nullstellen von $P_n$ als Stützstellen, erhält man 
+%automatisch ein Integrationsverfahren, welches für Polynome vom Grad
+%$2n-1$ exakt ist.
+%
+%\begin{beispiel}
+%Das Legendre-Polynom $P_2(x) = \frac12(3x^2-1)$ hat die
+%Nullstellen $x=\pm1/\sqrt{3}$, dies sind genau die im Beispiel
+%auf Seite~\pageref{buch:integral:beispiel:gaussquadraturn1} befundenen
+%Sützstellen.
+%\end{beispiel}
+%
+%\subsubsection{Fehler der Gauss-Quadratur}
+%Das Gausssche Quadraturverfahren mit $n$ Stützstellen berechnet
+%Integrale von Polynomen bis zum Grad $2n-1$ exakt.
+%Für eine beliebige Funktion kann man die folgende Fehlerabschätzung
+%angeben \cite[theorem 7.3.4, p.~497]{buch:numal}.
+%
+%\begin{satz}
+%Seien $x_i$ die Stützstellen und $A_i$ die Gewichte einer
+%Gaussschen Quadraturformel mit $n+1$ Stützstellen und sei $f$
+%eine auf dem Interval $[-1,1]$ $2n+2$-mal stetig differenzierbare
+%Funktion, dann ist der $E$ Fehler des Integrals
+%\[
+%\int_{-1}^1 f(x)\,dx = \sum_{i=0}^n A_i f(x_i) + E
+%\]
+%gegeben durch
+%\begin{equation}
+%E = \frac{f^{(2n+2)}(\xi)}{(2n+2)!}\int_{-1}^1 l(x)^2\,dx,
+%\label{buch:integral:gaussquadratur:eqn:fehlerformel}
+%\end{equation}
+%wobei $l(x)=(x-x_0)(x-x_1)\dots(x-x_n)$  und $\xi$ ein geeigneter
+%Wert im Intervall $[-1,1]$ ist.
+%\end{satz}
+%
+%Dank dem Faktor $(2n+2)!$ im Nenner von
+%\eqref{buch:integral:gaussquadratur:eqn:fehlerformel}
+%geht der Fehler für grosses $n$ sehr schnell gegen $0$.
+%Man kann auch zeigen, dass die mit Gauss-Quadratur mit $n+1$
+%Stützstellen berechneten Näherungswerte eines Integrals einer
+%stetigen Funktion $f(x)$ für $n\to\infty$ immer gegen den wahren
+%Wert des Integrals konvergieren.
+%
+%\begin{table}
+%\def\u#1{\underline{#1}}
+%\centering
+%\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|}
+%\hline
+%           n & \text{Gauss-Quadratur} & \text{Trapezregel} \\
+%\hline
+%\phantom{0}2 & 0.\u{95}74271077563381 & 0.\u{95}63709682242596 \\
+%\phantom{0}4 & 0.\u{95661}28333449730 & 0.\u{956}5513401768598 \\
+%\phantom{0}6 & 0.\u{9566114}812034364 & 0.\u{956}5847489712136 \\
+%\phantom{0}8 & 0.\u{956611477}5028123 & 0.\u{956}5964425360520 \\
+%          10 & 0.\u{9566114774905}637 & 0.\u{9566}018550715587 \\
+%          12 & 0.\u{956611477490518}7 & 0.\u{9566}047952369826 \\
+%          14 & 0.\u{95661147749051}72 & 0.\u{9566}065680717177 \\
+%          16 & 0.\u{956611477490518}7 & 0.\u{9566}077187127541 \\
+%          18 & 0.\u{956611477490518}3 & 0.\u{9566}085075898731 \\
+%          20 & 0.\u{956611477490518}4 & 0.\u{9566}090718697414 \\
+%\hline
+%      \infty & 0.9566114774905183 & 0.9566114774905183 \\
+%\hline
+%\end{tabular}
+%\caption{Integral von $\sqrt{1-x^2}$ zwischen $-\frac12$ und $\frac12$ 
+%berechnet mit Gauss-Quadratur und der Trapezregel, aber mit zehnmal
+%so vielen Stützstellen.
+%Bereits mit 12 Stützstellen erreicht die Gauss-Quadratur
+%Maschinengenauigkeit, die Trapezregel liefert auch mit 200 Stützstellen
+%nicht mehr als 4 korrekte Nachkommastellen.
+%\label{buch:integral:gaussquadratur:table0.5}}
+%\end{table}
+%
+%%\begin{table}
+%%\def\u#1{\underline{#1}}
+%%\centering
+%%\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|}
+%%\hline
+%%           n & \text{Gauss-Quadratur} & \text{Trapezregel} \\
+%%\hline
+%%\phantom{0}2 & 1.\u{5}379206741571556 & 1.\u{5}093105464758343 \\
+%%\phantom{0}4 & 1.\u{51}32373472933831 & 1.\u{51}13754509594814 \\
+%%\phantom{0}6 & 1.\u{512}1624557410367 & 1.\u{51}17610879524799 \\
+%%\phantom{0}8 & 1.\u{51207}93479994321 & 1.\u{51}18963282632112 \\
+%%          10 & 1.\u{51207}13859966004 & 1.\u{51}19589735776959 \\
+%%          12 & 1.\u{512070}5317779943 & 1.\u{51}19930161260693 \\
+%%          14 & 1.\u{5120704}334802813 & 1.\u{5120}135471596636 \\
+%%          16 & 1.\u{5120704}216176006 & 1.\u{5120}268743889558 \\
+%%          18 & 1.\u{5120704}201359081 & 1.\u{5120}360123137213 \\
+%%          20 & 1.\u{5120704199}459651 & 1.\u{5120}425490275837 \\
+%%\hline
+%%      \infty & 1.5120704199172947 & 1.5120704199172947 \\
+%%\hline
+%%\end{tabular}
+%%\end{table}
+%
+%%\begin{table}
+%%\def\u#1{\underline{#1}}
+%%\centering
+%%\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|}
+%%\hline
+%%           n & \text{Gauss-Quadratur} & \text{Trapezregel} \\
+%%\hline
+%%\phantom{0}2 & 1.\u{}6246862220133462 & 1.\u{5}597986803933712 \\
+%%\phantom{0}4 & 1.\u{5}759105515463101 & 1.\u{56}63563456168101 \\
+%%\phantom{0}6 & 1.\u{5}706630058381434 & 1.\u{56}77252866190838 \\
+%%\phantom{0}8 & 1.\u{56}94851106536780 & 1.\u{568}2298707696152 \\
+%%          10 & 1.\u{56}91283195332679 & 1.\u{568}4701957758742 \\
+%%          12 & 1.\u{56}90013806299465 & 1.\u{568}6030805941198 \\
+%%          14 & 1.\u{5689}515434853885 & 1.\u{568}6841603070025 \\
+%%          16 & 1.\u{5689}306507843050 & 1.\u{568}7372230731711 \\
+%%          18 & 1.\u{5689}214761291217 & 1.\u{568}7738235496322 \\
+%%          20 & 1.\u{56891}73062385982 & 1.\u{568}8001228530786 \\
+%%\hline
+%%      \infty & 1.5689135396691616 & 1.5689135396691616 \\
+%%\hline
+%%\end{tabular}
+%%\end{table}
+%
+%\begin{table}
+%\def\u#1{\underline{#1}}
+%\centering
+%\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|}
+%\hline
+%           n & \text{Gauss-Quadratur} & \text{Trapezregel} \\
+%\hline
+%\phantom{0}2 & 1.\u{}6321752373234928 & 1.\u{5}561048774629949 \\
+%\phantom{0}4 & 1.\u{57}98691557134743 & 1.\u{5}660124134617943 \\
+%\phantom{0}6 & 1.\u{57}35853681692993 & 1.\u{5}683353001877542 \\
+%\phantom{0}8 & 1.\u{57}19413565928206 & 1.\u{5}692627503425400 \\
+%          10 & 1.\u{57}13388119633434 & 1.\u{5}697323578543481 \\
+%          12 & 1.\u{57}10710489948883 & 1.\u{570}0051217458713 \\
+%          14 & 1.\u{570}9362135398341 & 1.\u{570}1784766276063 \\
+%          16 & 1.\u{570}8621102742815 & 1.\u{570}2959121005231 \\
+%          18 & 1.\u{570}8186779483588 & 1.\u{570}3793521168343 \\
+%          20 & 1.\u{5707}919411931615 & 1.\u{570}4408749735932 \\
+%\hline
+%      \infty & 1.5707367072605671 & 1.5707367072605671 \\
+%\hline
+%\end{tabular}
+%\caption{Integral von $\sqrt{1-x^2}$ zwischen $-0.999$ und $0.999$ 
+%berechnet mit Gauss-Quadratur und der Trapezregel, aber mit zehnmal
+%so vielen Stützstellen.
+%Wegen der divergierenden Steigung des Integranden bei $\pm 1$ tun
+%sich beide Verfahren sehr schwer. 
+%Trotzdem erreich die Gauss-Quadrator 4 korrekte Nachkommastellen
+%mit 20 Stütztstellen, während die Trapezregel auch mit 200 Stützstellen
+%nur 3 korrekte Nachkommastellen findet.
+%\label{buch:integral:gaussquadratur:table0.999}}
+%\end{table}
+%
+%\begin{figure}
+%\centering
+%\includegraphics{chapters/060-integral/gq/gq.pdf}
+%\caption{Approximationsfehler des
+%Integrals~\eqref{buch:integral:gaussquadratur:bspintegral}
+%in Abhängigkeit von $a$.
+%Die Divergenz der Ableitung des Integranden an den Intervallenden
+%$\pm 1$ führt zu schlechter Konvergenz des Verfahrens, wenn $a$
+%nahe an $1$ ist.
+%\label{buch:integral:gaussquadratur:fehler}}
+%\end{figure}
+%
+%Zur Illustration der Genauigkeit der Gauss-Quadratur berechnen wir
+%das Integral
+%\begin{equation}
+%\int_{-a}^a \sqrt{1-x^2}\,dx
+%=
+%\arcsin a + a \sqrt{1-a^2}
+%\label{buch:integral:gaussquadratur:bspintegral}
+%\end{equation}
+%mit Gauss-Quadratur einerseits und dem Trapezverfahren
+%andererseits.
+%Da Gauss-Quadratur mit sehr viel weniger Sützstellen auskommt,
+%berechnen wir die Trapeznäherung mit zehnmal so vielen Stützstelln.
+%In den Tabellen~\ref{buch:integral:gaussquadratur:table0.5}
+%und
+%\ref{buch:integral:gaussquadratur:table0.999}
+%sind die Resultate zusammengestellt.
+%Für $a =\frac12$ zeigt
+%Tabelle~\ref{buch:integral:gaussquadratur:table0.5}
+%die sehr schnelle Konvergenz der Gauss-Quadratur, schon mit
+%12 Stützstellen wird Maschinengenauigkeit erreicht.
+%Das Trapezverfahren dagegen erreicht auch mit 200 Stützstellen nur
+%4 korrekte Nachkommastellen.
+%
+%An den Stellen $x=\pm 1$ divergiert die Ableitung des Integranden
+%des Integrals \eqref{buch:integral:gaussquadratur:bspintegral}.
+%Da grösste und kleinste Stützstelle der Gauss-Quadratur immer
+%deutlich vom Rand des Intervalls entfernt ist, kann das Verfahren
+%diese ``schwierigen'' Stellen nicht erkennen.
+%Tabelle~\ref{buch:integral:gaussquadratur:table0.999} zeigt, wie
+%die Konvergenz des Verfahrens in diesem Fall sehr viel schlechter ist.
+%Dies zeigt auch der Graph in
+%Abbildung~\ref{buch:integral:gaussquadratur:fehler}.
+%
+%\subsubsection{Skalarprodukte mit Gewichtsfunktion}
+\input{chapters/060-integral/gaussquadratur.tex}
-- 
cgit v1.2.1

