From 5c05517960c4913a10eb526b69f99178ee08ef68 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Fri, 7 Jan 2022 20:31:27 +0100
Subject: reorganize chapter 7

---
 buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex | 746 ------------------------------
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--- a/buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex
+++ /dev/null
@@ -1,746 +0,0 @@
-%
-% orthogonal.tex
-%
-% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
-%
-\section{Orthogonalität
-\label{buch:integral:section:orthogonale-polynome}}
-\rhead{Orthogonale Polynome}
-Die Fourier-Theorie basiert auf der Idee, Funktionen durch 
-Funktionenreihen mit Summanden zu bilden, die im Sinne eines
-Skalarproduktes orthogonal sind, welches mit Hilfe eines Integrals
-definiert sind.
-Solche Funktionenfamilien treten jedoch auch als Lösungen von
-Differentialgleichungen.
-Besonders interessant wird die Situation, wenn die Funktionen 
-Polynome sind.
-
-%
-% Skalarprodukt
-%
-\subsection{Skalarprodukt}
-Der reelle Vektorraum $\mathbb{R}^n$ trägt das Skalarprodukt
-\[
-\langle\;\,,\;\rangle
-\colon
-\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}
-:
-(x,y)\mapsto \langle x, y\rangle = \sum_{k=1}^n x_iy_k,
-\]
-welches viele interessante Anwendungen ermöglicht.
-Eine orthonormierte Basis macht es zum Beispiel besonders leicht,
-eine Zerlegung eines Vektors in dieser Basis zu finden.
-In diesem Abschnitt soll zunächst an die Eigenschaften erinnert
-werden, die zu einem nützlichen 
-
-\subsubsection{Eigenschaften eines Skalarproduktes}
-Das Skalarprodukt erlaubt auch, die Länge eines Vektors $v$
-als $|v| = \sqrt{\langle v,v\rangle}$ zu definieren.
-Dies funktioniert natürlich nur, wenn die Wurzel auch immer
-definiert ist, d.~h.~das Skalarprodukt eines Vektors mit sich
-selbst darf nicht negativ sein.
-Dazu dient die folgende Definition.
-
-\begin{definition}
-Sei $V$ ein reeller Vektorraum.
-Eine bilineare Abbildung
-\[
-\langle\;\,,\;\rangle
-\colon
-V\times V
-\to
-\mathbb{R}
-:
-(u,v) \mapsto \langle u,v\rangle.
-\]
-heisst {\em positiv definit}, wenn für alle Vektoren $v \in V$ mit
-$v\ne 0 \Rightarrow \langle v,v\rangle > 0$ 
-Die {\em Norm} eines Vektors $v$ ist
-$|v|=\sqrt{\langle v,v\rangle}$.
-\end{definition}
-
-Damit man mit dem Skalarprodukt sinnvoll rechnen kann, ist ausserdem
-erforderlich, dass es eine einfache Beziehung zwischen 
-$\langle x,y\rangle$ und $\langle y,x\rangle$ gibt.
-
-\begin{definition}
-Ein {\em Skalarprodukt} auf einem reellen Vektorraum $V$ ist eine
-positiv definite, symmetrische bilineare Abbildung
-\[
-\langle\;\,,\;\rangle
-\colon
-V\times V
-\to
-\mathbb{R}
-:
-(u,v) \mapsto \langle u,v\rangle.
-\]
-\end{definition}
-
-Das Skalarprodukt $\langle u,v\rangle=u^tv$ auf dem Vektorraum 
-$\mathbb{R}^n$ erfüllt die Definition ganz offensichtlich,
-sie führt auf die Komponentendarstellung
-\[
-\langle u,v\rangle = u^tv = \sum_{k=1}^n u_iv_i.
-\]
-Weitere Skalarprodukte ergeben ergeben sich mit jeder symmetrischen,
-positiv definiten Matrix $G$ und der Definition
-$\langle u,v\rangle_G=u^tGv$.
-Ein einfacher Spezialfall tritt auf, wenn $G$ eine Diagonalmatrix
-$\operatorname{diag}(w_1,\dots,w_n)$
-mit positiven Einträgen $w_i>0$ auf der Diagonalen ist.
-In diesem Fall schreiben wir
-\[
-\langle u,v\rangle_w
-=
-u^t\operatorname{diag}(w_1,\dots,w_n)v
-=
-\sum_{k=1}^n u_iv_i\,w_i
-\]
-und nennen $\langle \;\,,\;\rangle_w$ das {\em gewichtete Skalarprodukt}
-mit {\em Gewichten $w_i$}.
-
-\subsubsection{Skalarprodukte auf Funktionenräumen}
-Das Integral ermöglicht jetzt, ein Skalarprodukt auf dem reellen
-Vektorraum der stetigen Funktionen auf einem Intervall zu definieren.
-
-\begin{definition}
-Sei $V$ der reelle Vektorraum $C([a,b])$ der reellwertigen, stetigen
-Funktion auf dem Intervall $[a,b]$.
-Dann ist 
-\[
-\langle\;\,,\;\rangle
-\colon
-C([a,b]) \times C([a,b]) \to \mathbb{R}
-:
-(f,g) \mapsto \langle f,g\rangle = \int_a^b f(x)g(x)\,dx.
-\]
-ein Skalarprodukt.
-\end{definition}
-
-Die Definition ist offensichtlich symmetrisch in $f$ und $g$ und
-aus den Eigenschaften des Integrals ist klar, dass das Produkt
-bilinear ist:
-\begin{align*}
-\langle \lambda_1 f_1+\lambda_2f_2,g\rangle
-&=
-\int_a^b (\lambda_1f_(x) +\lambda_2f_2(x))g(x)\,dx
-=
-\lambda_1\int_a^b f_1(x) g(x)\,dx
-+
-\lambda_2\int_a^b f_2(x) g(x)\,dx
-\\
-&=
-\lambda_1\langle f_1,g\rangle
-+
-\lambda_2\langle f_2,g\rangle.
-\end{align*}
-Ausserdem ist es positiv definit, denn wenn $f(x_0) \ne 0$ ist,
-dann gibt es wegen der Stetigkeit von $f$ eine Umgebung
-$U=[x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon]$, derart, dass $|f(x)| > \frac12|f(x_0)|$
-ist für alle $x\in U$.
-Somit ist das Integral
-\[
-\langle f,f\rangle
-=
-\int_a^b |f(x)|^2\,dx
-\ge
-\int_{x_0-\varepsilon}^{x_0+\varepsilon} |f(x)|^2\,dx
-\ge
-\int_{x_0-\varepsilon}^{x_0+\varepsilon} \frac14|f(x_0)|^2\,dx
-=
-\frac{1}{4}|f(x_0)|^2\cdot 2\varepsilon
-=
-\frac{|f(x_0)|^2\varepsilon}{2}
->0,
-\]
-was beweist, dass $\langle\;,\;\rangle$ positiv definit und damit
-ein Skalarprodukt ist.
-
-Die Definition kann noch etwas verallgemeinert werden, indem 
-die Funktionswerte nicht überall auf dem Definitionsbereich 
-gleich gewichtet werden. 
-
-\begin{definition}
-Sei $w\colon [a,b]\to \mathbb{R}^+$ eine positive, stetige Funktion,
-dann ist
-\[
-\langle\;\,,\;\rangle_w
-\colon
-C([a,b]) \times C([a,b]) \to \mathbb{R}
-:
-(f,g) \mapsto \langle f,g\rangle_w = \int_a^b f(x)g(x)\,w(x)\,dx.
-\]
-das {\em gewichtete Skalarprodukt} mit {\em Gewichtsfunktion $w(x)$}.
-\end{definition}
-
-\subsubsection{Gram-Schmidt-Orthonormalisierung}
-In einem reellen Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt $\langle\;\,,\;\rangle$
-kann aus einer beleibigen Basis $b_1,\dots,b_n$ mit Hilfe des 
-Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahrens immer eine
-orthonormierte Basis $\tilde{b}_1,\dots,\tilde{b}_n$ Basis
-gewonnen werden.
-Es stellt sicher, dass für alle $k\le n$ gilt
-\[
-\langle b_1,\dots,b_k\rangle
-=
-\langle \tilde{b}_1,\dots,\tilde{b}_k\rangle.
-\]
-Zur Vereinfachung der Formeln schreiben wir $v^0=v/|v|$ für einen zu
-$v$ parallelen Einheitsvektor.
-Die Vektoren $\tilde{b}_i$ können mit Hilfe der Formeln
-\begin{align*}
-\tilde{b}_1
-&=
-(b_1)^0
-\\
-\tilde{b}_2
-&=
-\bigl(
-b_2
--
-\langle \tilde{b}_1,b_2\rangle \tilde{b}_1
-\bigr)^0
-\\
-\tilde{b}_3
-&=
-\bigl(
-b_3
--
-\langle \tilde{b}_1,b_3\rangle \tilde{b}_1
--
-\langle \tilde{b}_2,b_3\rangle \tilde{b}_2
-\bigr)^0
-\\
-&\;\vdots
-\\
-\tilde{b}_n
-&=
-\bigl(
-b_n
--
-\langle \tilde{b}_1,b_n\rangle \tilde{b}_1
--
-\langle \tilde{b}_2,b_n\rangle \tilde{b}_2
--\dots
--
-\langle \tilde{b}_{n-1},b_n\rangle \tilde{b}_{n-1}
-\bigr)^0
-\end{align*}
-iterativ berechnet werden.
-Dieses Verfahren lässt sich auch auf Funktionenräume anwenden.
-
-Die Normierung ist nicht unbedingt nötig und manchmal unangenehm,
-da die Norm unschöne Quadratwurzeln einführt.
-Falls es genügt, eine orthogonale Basis zu finden, kann darauf
-verzichtet werden, bei der Orthogonalisierung muss aber berücksichtigt
-werden, dass die Vektoren $\tilde{b}_i$ jetzt nicht mehr Einheitslänge
-haben.
-Die Formeln
-\begin{align*}
-\tilde{b}_0
-&=
-b_0
-\\
-\tilde{b}_1
-&=
-b_1
--
-\frac{\langle b_1,\tilde{b}_0\rangle}{\langle \tilde{b}_0,\tilde{b}_0\rangle}\tilde{b}_0
-\\
-\tilde{b}_2
-&=
-b_2
--
-\frac{\langle b_2,\tilde{b}_0\rangle}{\langle \tilde{b}_0,\tilde{b}_0\rangle}\tilde{b}_0
--
-\frac{\langle b_2,\tilde{b}_1\rangle}{\langle \tilde{b}_1,\tilde{b}_1\rangle}\tilde{b}_1
-\\
-&\;\vdots
-\\
-\tilde{b}_n
-&=
-b_n
--
-\frac{\langle b_n,\tilde{b}_0\rangle}{\langle \tilde{b}_0,\tilde{b}_0\rangle}\tilde{b}_0
--
-\frac{\langle b_n,\tilde{b}_1\rangle}{\langle \tilde{b}_1,\tilde{b}_1\rangle}\tilde{b}_1
--
-\dots
--
-\frac{\langle b_n,\tilde{b}_{n-1}\rangle}{\langle \tilde{b}_{n-1},\tilde{b}_{n-1}\rangle}\tilde{b}_{n-1}.
-\end{align*}
-berücksichtigen dies.
-
-\subsubsection{Selbstadjungierte Operatoren und Eigenvektoren}
-Symmetrische Matrizen spielen eine spezielle Rolle in der
-endlichdimensionalen linearen Algebra, weil sie sich immer
-mit einer orthonormierten Basis diagonalisieren lassen.
-In der vorliegenden Situation undendlichdimensionaler Vektorräume
-brauchen wir eine angepasste Definition.
-
-\begin{definition}
-Eine lineare Selbstabbildung $A\colon V\to V$
-eines Vektorrraums mit Skalarprodukt
-heisst {\em selbstadjungiert}, wenn für alle Vektoren $u,v\in V$
-heisst $\langle Au,v\rangle = \langle u,Av\rangle$.
-\end{definition}
-
-Es ist wohlbekannt, dass Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix
-zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal sind.
-Der Beweis ist direkt übertragbar, wir halten das Resultat hier
-für spätere Verwendung fest.
-
-\begin{satz}
-Sind $f$ und $g$ Eigenvektoren eines selbstadjungierten Operators $A$
-zu verschiedenen Eigenwerten $\lambda$ und $\mu$, dann sind $f$ und $g$
-orthogonal.
-\end{satz}
-
-\begin{proof}[Beweis]
-Im vorliegenden Zusammenhang möchten wir die Eigenschaft nutzen,
-dass Eigenfunktionen eines selbstadjungierten Operatores zu verschiedenen
-Eigenwerten orthogonal sind.
-Dazu seien $Df = \lambda f$ und $Dg=\mu g$ und wir rechnen
-\begin{equation*}
-\renewcommand{\arraycolsep}{2pt}
-\begin{array}{rcccrl}
-\langle Df,g\rangle &=& \langle \lambda f,g\rangle &=& \lambda\phantom{)}\langle f,g\rangle
-&\multirow{2}{*}{\hspace{3pt}$\biggl\}\mathstrut-\mathstrut$}\\
-=\langle f,Dg\rangle &=& \langle f,\mu g\rangle &=& \mu\phantom{)}\langle f,g\rangle&
-\\[2pt]
-\hline
-         0           & &                        &=& (\lambda-\mu)\langle f,g\rangle&
-\end{array}
-\end{equation*}
-Da $\lambda-\mu\ne 0$ ist, muss $\langle f,g\rangle=0$ sein.
-\end{proof}
-
-\begin{beispiel}
-Sei $C^1([0,2\pi], \mathbb{C})=C^1(S^1,\mathbb{C})$
-der Vektorraum der $2\pi$-periodischen differenzierbaren Funktionen mit
-dem Skalarprodukt 
-\[
-\langle f,g\rangle
-=
-\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \overline{f(t)}g(t)\,dt
-\]
-enthält die Funktionen $e_n(t) = e^{int}$.
-Der Operator
-\[
-D=i\frac{d}{dt}
-\]
-ist selbstadjungiert, denn mit Hilfe von partieller Integration erhält man
-\[
-\langle Df,g\rangle
-=
-\frac{1}{2\pi}
-\int_0^{2\pi}
-\underbrace{
-\overline{i\frac{df(t)}{dt}}
-}_{\uparrow}
-\underbrace{g(t)}_{\downarrow}
-\,dt
-=
-\underbrace{
-\frac{-i}{2\pi}
-\biggl[
-\overline{f(t)}g(t)
-\biggr]_0^{2\pi}
-}_{\displaystyle=0}
-+
-\frac{1}{2\pi}
-\int_0^{2\pi}
-\overline{f(t)}i\frac{dg(t)}{dt}
-\,dt
-=
-\langle f,Dg\rangle
-\]
-unter Ausnützung der $2\pi$-Periodizität der Funktionen.
-
-Die Funktionen $e_n(t)$ sind Eigenfunktionen des Operators $D$, denn
-\[
-De_n(t) = i\frac{d}{dt}e^{int} = -n e^{int} = -n e_n(t).
-\]
-Nach obigem Satz sind die Eigenfunktionen von $D$ orthogonal.
-\end{beispiel}
-
-Das Beispiel illustriert, dass orthogonale Funktionenfamilien
-ein automatisches Nebenprodukt selbstadjungierter Operatoren sind.
-
-%
-% Besselfunktionen also orthogonale Funktionenfamilie
-%
-\subsection{Bessel-Funktionen als orthogonale Funktionenfamilie}
-Auch die Besselfunktionen sind eine orthogonale Funktionenfamilie.
-Sie sind Funktionen differenzierbaren Funktionen $f(r)$ für $r>0$
-mit $f'(r)=0$ und für $r\to\infty$ nimmt $f(r)$ so schnell ab, dass
-auch $rf(r)$ noch gegen $0$ strebt.
-Das Skalarprodukt ist
-\[
-\langle f,g\rangle
-=
-\int_0^\infty r f(r) g(r)\,dr,
-\]
-als Operator verwenden wir
-\[
-A = \frac{d^2}{dr^2} + \frac{1}{r}\frac{d}{dr} + s(r),
-\]
-wobei $s(r)$ eine beliebige integrierbare Funktion sein kann.
-Zunächst überprüfen wir, ob dieser Operator wirklich selbstadjungiert ist.
-Dazu rechnen wir
-\begin{align}
-\langle Af,g\rangle
-&=
-\int_0^\infty
-r\,\biggl(f''(r)+\frac1rf'(r)+s(r)f(r)\biggr) g(r)
-\,dr
-\notag
-\\
-&=
-\int_0^\infty rf''(r)g(r)\,dr
-+
-\int_0^\infty f'(r)g(r)\,dr
-+
-\int_0^\infty s(r)f(r)g(r)\,dr.
-\notag
-\intertext{Der letzte Term ist symmetrisch in $f$ und $g$, daher
-ändern wir daran weiter nichts.
-Auf das erste Integral kann man partielle Integration anwenden und erhält}
-&=
-\biggl[rf'(r)g(r)\biggr]_0^\infty
--
-\int_0^\infty f'(r)g(r) + rf'(r)g'(r)\,dr
-+
-\int_0^\infty f'(r)g(r)\,dr
-+
-\int_0^\infty s(r)f(r)g(r)\,dr.
-\notag
-\intertext{Der erste Term verschwindet wegen der Bedingungen an die
-Funktionen $f$ und $g$.
-Der erste Term im zweiten Integral hebt sich gegen das
-zweite Integral weg.
-Der letzte Term ist das Skalarprodukt von $f'$ und $g'$.
-Somit ergibt sich
-}
-&=
--\langle f',g'\rangle
-+
-\int_0^\infty s(r) f(r)g(r)\,dr.
-\label{buch:integrale:orthogonal:besselsa}
-\end{align}
-Vertauscht man die Rollen von $f$ und $g$, erhält man das Gleiche, da im
-letzten Ausdruck~\eqref{buch:integrale:orthogonal:besselsa} die Funktionen
-$f$ und $g$ symmetrische auftreten.
-Damit ist gezeigt, dass der Operator $A$ selbstadjungiert ist.
-Es folgt nun, dass Eigenvektoren des Operators $A$ automatisch
-orthogonal sind.
-
-Eigenfunktionen von $A$ sind aber Lösungen der Differentialgleichung
-\[
-\begin{aligned}
-&&
-Af&=\lambda f
-\\
-&\Rightarrow\qquad&
-f''(r) +\frac1rf'(r) + s(r)f(r) &= \lambda f(r)
-\\
-&\Rightarrow\qquad&
-r^2f''(r) +rf'(r)+ (-\lambda r^2+s(r)r^2)f(r) &= 0
-\end{aligned}
-\]
-sind.
-
-Durch die Wahl $s(r)=1$ wird der Operator $A$ zum Bessel-Operator
-$B$ definiert in
-\eqref{buch:differentialgleichungen:bessel-operator}.
-Die Lösungen der Besselschen Differentialgleichung zu verschiedenen Werten
-des Parameters müssen also orthogonal sein, insbesondere sind die
-Besselfunktion $J_\nu(r)$ und $J_\mu(r)$ orthogonal wenn $\mu\ne\nu$ ist.
-
-%
-% Orthogonale Polynome
-%
-\subsection{Orthogonale Polynome
-\label{buch:integral:subsection:orthogonale-polynome}}
-Die Polynome $1,x,x^2,\dots,x^n$ bilden eine Basis des Vektorraums
-der Polynome vom Grad $\le n$.
-Bezüglich des Skalarproduktes
-\[
-\langle p,q\rangle
-=
-\int_{-1}^1 p(x)q(x)\,dx
-\]
-sind sie jedoch nicht orthogonal, denn es ist
-\[
-\langle x^i,x^j\rangle
-=
-\int_{-1}^1 x^{i+j}\,dx
-=
-\biggl[\frac{x^{i+j+1}}{i+j+1}\biggr]_{-1}^1
-=
-\begin{cases}
-\displaystyle
-\frac{2}{i+j+1}&\qquad\text{$i+j$ gerade}\\
-              0&\qquad\text{$i+j$ ungerade}.
-\end{cases}
-\]
-Wir können daher das Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren
-anwenden, um eine orthogonale Basis von Polynomen zu finden, was
-wir im Folgenden tun wollen.
-
-% XXX Orthogonalisierungsproblem so formulieren, dass klar wird,
-% XXX dass man ein "Normierungskriterium braucht.
-
-Da wir auf die Normierung verzichten, brauchen wir ein anderes
-Kriterium, welches die Polynome eindeutig festlegen kann.
-Wir bezeichnen das Polynom vom Grad $n$, das bei diesem Prozess
-entsteht, mit $P_n(x)$ und legen willkürlich aber traditionskonform
-fest, dass $P_n(1)=1$ sein soll.
-
-Das Skalarprodukt berechnet ein Integral eines Produktes von zwei
-Polynomen über das symmetrische Interval $[-1,1]$.
-Ist die eine gerade und die andere ungerade, dann ist das
-Produkt eine ungerade Funktion und das Skalarprodukt verschwindet.
-Sind beide Funktionen gerade oder ungerade, dann ist das Produkt
-gerade und das Skalarprodukt ist im Allgmeinen von $0$ verschieden.
-Dies zeigt, dass es tatsächlich etwas zu Orthogonalisieren gibt.
-
-Die ersten beiden Funktionen sind das konstante Polynom $1$ und
-das Polynome $x$.
-Nach obiger Beobachtung ist das Skalarprodukt $\langle 1,x\rangle=0$,
-also ist $P_1(x)=x$.
-Die Graphen der entstehenden Polynome sind in
-Abbildung~\ref{buch:integral:orthogonal:legendregraphen}
-dargestellt.
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/060-integral/images/legendre.pdf}
-\caption{Graphen der Legendre-Polynome $P_n(x)$ für $n=1,\dots,10$.
-\label{buch:integral:orthogonal:legendregraphen}}
-\end{figure}
-
-\begin{lemma}
-Die Polynome $P_{2n}(x)$ sind gerade, die Polynome $P_{2n+1}(x)$ sind
-ungerade Funktionen von $x$.
-\end{lemma}
-
-\begin{proof}[Beweis]
-Wir verwenden vollständige Induktion nach $n$.
-Wir wissen bereits, dass $P_0(x)=1$ und $P_1(x)=x$ die verlangten
-Symmetrieeigenschaften haben.
-Im Sinne der Induktionsannahme nehmen wir daher an, dass die
-Symmetrieeigenschaften für $P_k(x)$, $k<n$, bereits bewiesen sind.
-$P_n(x)$ entsteht jetzt durch Orthogonalisierung nach der Formel
-\[
-P_n(x)
-=
-x^n
--
-\langle P_{n-1},x^n\rangle P_{n-1}(x)
--
-\langle P_{n-2},x^n\rangle P_{n-2}(x)
--\dots-
-\langle P_1,x^n\rangle P_1(x)
--
-\langle P_0,x^n\rangle P_0(x).
-\]
-Die Skalarprodukte
-$\langle P_{n-1},x^n\rangle$,
-$\langle P_{n-3},x^n\rangle$, $\dots$ verschwinden alle, so dass
-$P_n(x)$ eine Linearkombination der Funktionen $x^n$, $P_{n-2}(x)$,
-$P_{n-4}(x)$ ist, die die gleiche Parität wie $x^n$ haben.
-Also hat auch $P_n(x)$ die gleiche Parität, was das Lemma beweist.
-\end{proof}
-
-Die Ortogonalisierung von $x^2$ liefert daher
-\[
-p(x) = x^2
--
-\frac{\langle x^2,P_0\rangle}{\langle P_0,P_0\rangle} P_0(x)
-=
-x^2 - \frac{\int_{-1}^1x^2\,dx}{\int_{-1}^11\,dx}
-=
-x^2 - \frac{\frac{2}{3}}{2}=x^2-\frac13
-\]
-Dieses Polynom erfüllt die Standardisierungsbedingung noch 
-nicht den $p(1)=\frac23$.
-Daraus leiten wir ab, dass
-\[
-P_2(x) = \frac12(3x^2-1)
-\]
-ist.
-
-Für $P_3(x)$ brauchen wir nur die Skalaprodukte
-\[
-\left.
-\begin{aligned}
-\langle x^3,P_1\rangle
-&=
-\int_{-1}^1  x^3\cdot x\,dx
-=
-\biggl[\frac15x^5\biggr]_{-1}^1
-=
-\frac25
-\qquad
-\\
-\langle P_1,P_1\rangle
-&=
-\int_{-1}^1 x^2\,dx
-=
-\frac23
-\end{aligned}
-\right\}
-\qquad
-\Rightarrow
-\qquad
-p(x) = x^3 - \frac{\frac25}{\frac23}x=x^3-\frac{3}{5}x
-\]
-Die richtige Standardisierung ergibt sich,
-indem man durch $p(1)=\frac25$ dividiert, also
-\[
-P_2(x) = \frac12(5x^3-3x).
-\]
-
-Die Berechnung weiterer Polynome verlangt, dass Skalarprodukte
-$\langle x^n,P_k\rangle$ berechnet werden müssen, was wegen
-der zunehmend komplizierten Form von $P_k$ etwas mühsam ist.
-Wir berechnen den Fall $P_4$.
-Dazu muss das Polynom $x^4$ um eine Linearkombination von
-$P_2$ und $P_0(x)=1$ korrigiert werden.
-Die Skalarprodukte sind
-\begin{align*}
-\langle x^4, P_0\rangle
-&=
-\int_{-1}^1 x^4\,dx = \frac25
-\\
-\langle P_0,P_0\rangle
-&=
-\int_{-1}^1 \,dx = 2
-\\
-\langle x^4,P_2\rangle
-&=
-\int_{-1}^1 \frac32x^6-\frac12 x^4\,dx
-=
-\biggl[\frac{3}{14}x^7-\frac{1}{10}x^5\biggr]_{-1}^1
-=
-\frac6{14}-\frac15
-=
-\frac8{35}
-\\
-\langle P_2,P_2\rangle
-&=
-\int_{-1}^1 \frac14(3x^2-1)^2\,dx
-=
-\int_{-1}^1 \frac14(9x^4-6x^2+1)\,dx
-=
-\frac14(\frac{18}{5}-4+2)
-=\frac25.
-\end{align*}
-Daraus folgt für $p(x)$
-\begin{align*}
-p(x)
-&=
-x^4
--
-\frac{\langle x^4,P_2\rangle}{\langle P_2,P_2\rangle}P_2(x)
--
-\frac{\langle x^4,P_0\rangle}{\langle P_0,P_0\rangle}P_0(x)
-\\
-&=
-x^4
--\frac47 P_2(x) - \frac15 P_0(x)
-\\
-&=
-x^4 - \frac{6}{7}x^2 + \frac{3}{35}
-\end{align*}
-mit $p(1)=\frac{8}{35}$, so dass man
-\[
-P_4(x) =
-\frac18(35x^4-30x^2+3)
-\]
-setzen muss.
-
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/060-integral/images/orthogonal.pdf}
-\caption{Orthogonalität der Legendre-Polynome $P_4(x)$ ({\color{blue}blau})
-und $P_7(x)$ ({\color{darkgreen}grün}).
-Die blaue Fläche ist die Fläche unter dem Graphen 
-von $P_4(x)^2$, $P_4(x)$ muss durch die Wurzel aus diesem Flächeninhalt
-geteilt werden, um ein Polynome mit Norm $1$ zu erhalten.
-Für die grüne Fläche ist es $P_7(x)$.
-Die rote Kurve ist der Graph der Funktion $P_4(x)\cdot P_7(x)$,
-die rote Fläche ist deren Integral, sie ist $0$, d.~h.~die beiden
-Funktionen sind orthogonal.
-\label{buch:integral:orthogonal:legendreortho}}
-\end{figure}
-
-\begin{table}
-\centering
-\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
-\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}l<{$}|}
-\hline
-n&P_n(x)\\
-\hline
- 0&1
-\\
- 1&x
-\\
- 2&\frac12(3x^2-1)
-\\
- 3&\frac12(5x^3-3x)
-\\
- 4&\frac18(35x^4-30x^2+3)
-\\
- 5&\frac18(63x^5-70x^3+15x)
-\\
- 6&\frac1{16}(231x^6-315x^4+105x^2-5)
-\\
- 7&\frac1{16}(429x^7-693x^5+315x^3-35x)
-\\
- 8&\frac1{128}(6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35)
-\\
- 9&\frac1{128}(12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x)
-\\
-10&\frac1{256}(46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63)
-\\[2pt]
-\hline
-\end{tabular}
-\caption{Die Legendre-Polynome $P_n(x)$ für $n=0,1,\dots,10$ sind
-orthogonale Polynome vom Grad $n$, die den Wert $P_n(1)=1$ haben.
-\label{buch:integral:table:legendre-polynome}}
-\end{table}
-
-
-
-Die so konstruierten Polynome heissen die {\em Legendre-Polynome}.
-Durch weitere Durchführung des Verfahrens liefert die Polynome in
-Tabelle~\ref{buch:integral:table:legendre-polynome}.
-Die Graphen sind in Abbildung~\ref{buch:integral:orthogonal:legendregraphen}
-dargestellt.
-Abbildung~\ref{buch:integral:orthogonal:legendreortho} illustriert, 
-dass die die beiden Polynome $P_4(x)$ und $P_7(x)$ orthogonal sind.
-Das Produkt $P_4(x)\cdot P_7(x)$ hat Integral $=0$.
-
-\input{chapters/060-integral/jacobi.tex}
-
-\subsection{TODO}
-\begin{itemize}
-\item Jacobi-Polynome
-\item Tschebyscheff-Polynome
-\end{itemize}
-
-%%
-%% Differentialgleichungen
-%%
-%\subsection{Orthogonale Polynome und Differentialgleichungen}
-%\subsubsection{Legendre-Differentialgleichung}
-%\subsubsection{Legendre-Polyome}
-%\subsubsection{Legendre-Funktionen zweiter Art}
-%Siehe Wikipedia-Artikel \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Legendre-Polynom}
-
-\input{chapters/060-integral/legendredgl.tex}
-\input{chapters/060-integral/sturm.tex}
-\input{chapters/060-integral/gaussquadratur.tex}
-
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