From 53aea87685ea9f37f982f1ec90a82ce168d6d7cb Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Mon, 23 May 2022 11:34:57 +0200
Subject: rewriting the risch algorithm stuff

---
 buch/chapters/060-integral/rational.tex | 8 ++++++++
 1 file changed, 8 insertions(+)
 create mode 100644 buch/chapters/060-integral/rational.tex

(limited to 'buch/chapters/060-integral/rational.tex')

diff --git a/buch/chapters/060-integral/rational.tex b/buch/chapters/060-integral/rational.tex
new file mode 100644
index 0000000..19f2ad9
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/060-integral/rational.tex
@@ -0,0 +1,8 @@
+%
+% rational.tex
+%
+% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschlue
+%
+\subsection{Rationale Funktionen und Funktionenkörper
+\label{buch:integral:subsection:rational}}
+
-- 
cgit v1.2.1


From 76a5de291c288aa6e439fb97b0172dcfb5c9f1fe Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Wed, 25 May 2022 10:30:01 +0200
Subject: rationale Funktionen

---
 buch/chapters/060-integral/rational.tex | 169 ++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 169 insertions(+)

(limited to 'buch/chapters/060-integral/rational.tex')

diff --git a/buch/chapters/060-integral/rational.tex b/buch/chapters/060-integral/rational.tex
index 19f2ad9..989e65b 100644
--- a/buch/chapters/060-integral/rational.tex
+++ b/buch/chapters/060-integral/rational.tex
@@ -5,4 +5,173 @@
 %
 \subsection{Rationale Funktionen und Funktionenkörper
 \label{buch:integral:subsection:rational}}
+Welche Funktionen sollen als Antwort auf die Frage nach einer Stammfunktion
+akzeptiert werden?
+Polynome in der unabhängigen Variablen $x$ sollten sicher dazu gehören,
+also alles, was man mit Hilfe der Multiplikation, Addition und Subtraktion
+aus Koeffizienten zum Beispiel in den rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ und
+der unabhängigen Variablen aufbauen kann.
+Doch welche weiteren Operationen sollen zugelassen werden und was lässt
+sich über die entstehende Funktionenmenge aussagen?
+
+\subsubsection{Körper}
+Die kleinste Zahlenmenge, in der alle arithmetischen Operationen soweit
+sinnvoll durchgeführt werden können, ist die Menge $\mathbb{Q}$ der
+rationalen Zahlen.
+Etwas formaler ist eine solche Menge, in der die Arithmetik uneingeschränkt
+ausgeführt werden kann, ein Körper gemäss der folgenden Definition.
+\index{Korper@Körper}%
+
+\begin{definition}
+\label{buch:integral:definition:koerper}
+Eine {\em Körper} ist eine Menge $K$ mit zwei Verknüpfungen $+$, die Addition,
+und $\cdot$, die Multiplikation,
+welche die folgenden Eigenschaften haben.
+\begin{center}
+\renewcommand{\tabcolsep}{0pt}
+\begin{tabular}{p{68mm}p{4mm}p{68mm}}
+%Eigenschaften der
+Addition:
+\begin{enumerate}[{\bf A}.1)]
+\item assoziativ: $(a+b)+c=a+(b+c)$
+für alle $a,b,c\in K$
+\item kommutativ: $a+b=b+a$
+für alle $a,b\in K$
+\item Neutrales Element der Addition: es gibt ein Element $0\in K$ mit
+der Eigenschaft $a+0=a$ für alle $a\in K$
+\item Additiv inverses Element: zu jedem Element $a\in K$ gibt es das Element
+$-a$ mit der Eigenschaft $a+(-a)=0$.
+\end{enumerate}
+&&%
+%Eigenschaften der
+Multiplikation:
+\begin{enumerate}[{\bf M}.1)]
+\item assoziativ: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
+für alle $a,b,c\in K$
+\index{Assoziativgesetz}%
+\index{assoziativ}%
+\item kommutativ: $a\cdot b=b\cdot a$
+für alle $a,b\in K$
+\index{Kommutativgesetz}%
+\index{kommutativ}%
+\item Neutrales Element der Multiplikation: es gibt ein Element $1\in K$ mit
+der Eigenschaft $a\cdot 1 =a$ für alle $a\in K$
+\index{neutrales Element}%
+\item Multiplikativ inverses Element: zu jedem Element
+\index{inverses Element}%
+$a\in K^*=K\setminus\{0\}$
+gibt es das Element $a^{-1}$ mit der Eigenschaft $a\cdot a^{-1}=1$.
+Die Menge $K^*$ heisst auch die {\em Einheitengruppe} oder die
+{\em Gruppe der invertierbaren Elemente} des Körpers.
+\index{Einheitengruppe}%
+\index{Gruppe der invertierbaren Elemente}%
+\end{enumerate}
+\end{tabular}
+\end{center}
+\vspace{-10pt}
+Ausserdem gilt das Distributivgesetz: für alle $a,b,c\in K$ gilt
+$a\cdot(b+c)=a\cdot b + a\cdot c$.
+\index{Disitributivgesetz}%
+\end{definition}
+
+Das Assoziativgesetz {\bf A}.1 besagt, dass Summen mit beliebig
+vielen Termen ohne Klammern geschrieben werden kann, weil es nicht
+darauf ankommt, in welcher Reihenfolge die Additionen ausgeführt werden.
+Ebenso für das Assoziativgesetz {\bf M}.1 der Multiplikation.
+Die Kommutativgesetze {\bf A}.2 und {\bf M}.2 implizieren, dass man
+nicht auf die Reihenfolge der Summanden oder Faktoren achten muss.
+Das Distributivgesetz schliesslich besagt, dass man Produkte ausmultiplizieren
+oder gemeinsame Faktoren ausklammern kann, wie man es in der Schule
+gelernt hat.
+
+Die rellen Zahlen $\mathbb{R}$ und die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$
+bilden ebenfalls einen Körper, die von den rationalen Zahlen geerbten
+Eigenschaften der Verknüpfungen setzen sich auf $\mathbb{R}$ und
+$\mathbb{C}$ fort.
+Es lassen sich allerdings auch Zahlkörper zwischen $\mathbb{Q}$ und
+$\mathbb{R}$ konstruieren, wie das folgende Beispiel zeigt.
+
+\begin{beispiel}
+Die Menge
+\[
+\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})
+=
+\{
+a+b\sqrt{2}
+\;|\;
+a,b\in \mathbb{Q}
+\}
+\]
+ist eine Teilmenge von $\mathbb{R}$.
+Die Rechenoperationen haben alle verlangten Eigenschaften, wenn gezeigt
+werden kann, dass Produkte und Quotienten von Zahlen in $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$
+wieder in $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$ sind.
+Dazu rechnet man
+\begin{align*}
+(a+b\sqrt{2})
+(c+d\sqrt{2})
+&=
+ac + 2bd + (ad+bc)\sqrt{2} \in \mathbb{Q}(\!\sqrt{2})
+\intertext{und}
+\frac{a+b\sqrt{2}}{c+d\sqrt{2}}
+&=
+\frac{a+b\sqrt{2}}{c+d\sqrt{2}}
+\cdot
+\frac{c-d\sqrt{2}}{c-d\sqrt{2}}
+=
+\frac{ac-2bd +(-ad+bc)\sqrt{2}}{c^2-2d^2}
+\\
+&=
+\underbrace{\frac{ac-2bd}{c^2-2d^2}}_{\displaystyle\in\mathbb{Q}}
++
+\underbrace{\frac{-ad+bc}{c^2-2d^2}}_{\displaystyle\in\mathbb{Q}}
+\sqrt{2}
+\in \mathbb{Q}(\!\sqrt{2}).
+\qedhere
+\end{align*}
+\end{beispiel}
+
+
+\subsubsection{Rationalen Funktionen}
+Die als Antworten auf die Frage nach einer Stammfunktion akzeptablen
+Funktionen sollten alle rationalen Zahlen sowie die unabhängige
+Variable $x$ enthalten.
+Ausserdem sollte man beliebige arithmetische Operationen mit
+diesen Ausdrücken durchführen können.
+Mit Addition, Subtraktion und Multiplikation entstehen aus den
+rationalen Zahlen und der unabhängigen Variablen die Polynome $\mathbb{Q}[x]$
+(siehe auch Abschnitt~\ref{buch:potenzen:section:polynome}).
+
+
+\begin{definition}
+Die Menge
+\[
+\mathbb{Q}(x)
+=
+\biggl\{
+\frac{p(x)}{q(x)}
+\;\bigg|\;
+p(x),q(x)\in\mathbb{Q}[x]
+\wedge
+q(x)\ne 0
+\biggr\},
+\]
+bestehenden aus allen Quotienten von Polynome, deren Nenner nicht
+das Nullpolynom ist, heisst der Körper der {\em rationalen Funktionen}
+\index{rationale Funktion}%
+mit Koeffizienten in $\mathbb{Q}$.
+\end{definition}
+
+Die Definition erlaubt, dass der Nenner Nullstellen hat, die sich in
+Polen der Funktion äussern.
+Die Eigenschaften eines Körpers sind sicher erfüllt, wenn wir uns
+nur davon überzeugen können,
+dass die arithmetischen Operationen nicht aus dieser Funktionenmenge
+herausführen.
+Dazu muss man nur verstehen, dass die Operation des gleichnamig Machens 
+zweier Brüche auch für Nenner funktioniert, die Polynome sind, und die
+Summe wzeier Brüche von Polynomen wieder in einen Bruch von Polynomen
+umwandelt.
+
+
 
-- 
cgit v1.2.1


From 8453542b493fe8396a406c5a195dc0a4125f638d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Wed, 25 May 2022 11:59:00 +0200
Subject: Koerpererweiterungen

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 buch/chapters/060-integral/rational.tex | 1 +
 1 file changed, 1 insertion(+)

(limited to 'buch/chapters/060-integral/rational.tex')

diff --git a/buch/chapters/060-integral/rational.tex b/buch/chapters/060-integral/rational.tex
index 989e65b..9cef3a7 100644
--- a/buch/chapters/060-integral/rational.tex
+++ b/buch/chapters/060-integral/rational.tex
@@ -92,6 +92,7 @@ Es lassen sich allerdings auch Zahlkörper zwischen $\mathbb{Q}$ und
 $\mathbb{R}$ konstruieren, wie das folgende Beispiel zeigt.
 
 \begin{beispiel}
+\label{buch:integral:beispiel:Qsqrt2}
 Die Menge
 \[
 \mathbb{Q}(\!\sqrt{2})
-- 
cgit v1.2.1


From 6e9f45ad084ca9341c2893bdfe1ddcb07ee8a45b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Wed, 25 May 2022 12:07:43 +0200
Subject: typo

---
 buch/chapters/060-integral/rational.tex | 6 +++---
 1 file changed, 3 insertions(+), 3 deletions(-)

(limited to 'buch/chapters/060-integral/rational.tex')

diff --git a/buch/chapters/060-integral/rational.tex b/buch/chapters/060-integral/rational.tex
index 9cef3a7..4cd7d7f 100644
--- a/buch/chapters/060-integral/rational.tex
+++ b/buch/chapters/060-integral/rational.tex
@@ -61,17 +61,17 @@ der Eigenschaft $a\cdot 1 =a$ für alle $a\in K$
 \index{inverses Element}%
 $a\in K^*=K\setminus\{0\}$
 gibt es das Element $a^{-1}$ mit der Eigenschaft $a\cdot a^{-1}=1$.
-Die Menge $K^*$ heisst auch die {\em Einheitengruppe} oder die
-{\em Gruppe der invertierbaren Elemente} des Körpers.
 \index{Einheitengruppe}%
 \index{Gruppe der invertierbaren Elemente}%
 \end{enumerate}
 \end{tabular}
 \end{center}
-\vspace{-10pt}
+\vspace{-22pt}
 Ausserdem gilt das Distributivgesetz: für alle $a,b,c\in K$ gilt
 $a\cdot(b+c)=a\cdot b + a\cdot c$.
 \index{Disitributivgesetz}%
+Die Menge $K^*$ heisst auch die {\em Einheitengruppe} oder die
+{\em Gruppe der invertierbaren Elemente} des Körpers.
 \end{definition}
 
 Das Assoziativgesetz {\bf A}.1 besagt, dass Summen mit beliebig
-- 
cgit v1.2.1


From 03881a82e1a30cfaea1709f4f3f50c5cd9dfd0ea Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@othello.ch>
Date: Wed, 25 May 2022 17:40:27 +0200
Subject: algebraische Erweiterungen

---
 buch/chapters/060-integral/rational.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/chapters/060-integral/rational.tex')

diff --git a/buch/chapters/060-integral/rational.tex b/buch/chapters/060-integral/rational.tex
index 4cd7d7f..ae64c34 100644
--- a/buch/chapters/060-integral/rational.tex
+++ b/buch/chapters/060-integral/rational.tex
@@ -157,7 +157,7 @@ p(x),q(x)\in\mathbb{Q}[x]
 q(x)\ne 0
 \biggr\},
 \]
-bestehenden aus allen Quotienten von Polynome, deren Nenner nicht
+bestehend aus allen Quotienten von Polynome, deren Nenner nicht
 das Nullpolynom ist, heisst der Körper der {\em rationalen Funktionen}
 \index{rationale Funktion}%
 mit Koeffizienten in $\mathbb{Q}$.
-- 
cgit v1.2.1


From f24e5bd9fda39e2f8bbfb0946aac2ee7dcda547d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@othello.ch>
Date: Thu, 26 May 2022 08:35:55 +0200
Subject: new stuff

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 buch/chapters/060-integral/rational.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/chapters/060-integral/rational.tex')

diff --git a/buch/chapters/060-integral/rational.tex b/buch/chapters/060-integral/rational.tex
index ae64c34..7b24e9f 100644
--- a/buch/chapters/060-integral/rational.tex
+++ b/buch/chapters/060-integral/rational.tex
@@ -157,7 +157,7 @@ p(x),q(x)\in\mathbb{Q}[x]
 q(x)\ne 0
 \biggr\},
 \]
-bestehend aus allen Quotienten von Polynome, deren Nenner nicht
+bestehend aus allen Quotienten von Polynomen, deren Nenner nicht
 das Nullpolynom ist, heisst der Körper der {\em rationalen Funktionen}
 \index{rationale Funktion}%
 mit Koeffizienten in $\mathbb{Q}$.
-- 
cgit v1.2.1


From df8e535423f408f789f0cb624df7a4980572bc4d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@othello.ch>
Date: Sat, 28 May 2022 14:57:18 +0200
Subject: more onm integration and lemniscate

---
 buch/chapters/060-integral/rational.tex | 27 ++++++++++++++++++++++++++-
 1 file changed, 26 insertions(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/chapters/060-integral/rational.tex')

diff --git a/buch/chapters/060-integral/rational.tex b/buch/chapters/060-integral/rational.tex
index 7b24e9f..0ca164d 100644
--- a/buch/chapters/060-integral/rational.tex
+++ b/buch/chapters/060-integral/rational.tex
@@ -132,7 +132,9 @@ ac + 2bd + (ad+bc)\sqrt{2} \in \mathbb{Q}(\!\sqrt{2})
 \end{align*}
 \end{beispiel}
 
-
+%
+% Rationale Funktionen
+%
 \subsubsection{Rationalen Funktionen}
 Die als Antworten auf die Frage nach einer Stammfunktion akzeptablen
 Funktionen sollten alle rationalen Zahlen sowie die unabhängige
@@ -174,5 +176,28 @@ zweier Brüche auch für Nenner funktioniert, die Polynome sind, und die
 Summe wzeier Brüche von Polynomen wieder in einen Bruch von Polynomen
 umwandelt.
 
+%
+% Warum rationale Zahlen?
+%
+\subsubsection{Warum die Beschränkung auf rationale Zahlen?}
+Aus mathematischer Sicht gibt es gute Gründe, Analysis im Körper $\mathbb{R}$
+oder $\mathbb{C}$ zu betreiben.
+Da Ableitung und Integral als Grenzwerte definiert sind, stellt diese
+Wahl des Körpers sicher, dass die Grenzwerte auch tatsächlich existieren.
+Der Fundamentalsatz der Algebra garantiert, dass über $\mathbb{C}$
+jedes Polynome in Linearfaktoren zerlegt werden kann.
+
+Der Einfachheit der Analyse in $\mathbb{R}$ oder $\mathbb{C}$ steht
+die Schwierigkeit gegenüber, beliebige Elemente von $\mathbb{R}$ in
+einem Computer exakt darzustellen.
+Für Brüche in $\mathbb{Q}$ gibt es eine solche Darstellung durch
+Paare von Ganzzahlen, wie sie die GNU Multiprecision Arithmetic Library
+\cite{buch:gmp} realisiert.
+Irrationale Zahlen dagegen können nur exakt gehandhabt werden, wenn
+man im wesentlichen symbolisch mit ihnen rechnet. 
+Die Grundlage dafür wird in
+Abschnitt~\ref{buch:integral:subsection:koerpererweiterungen}
+gelegt.
+
 
 
-- 
cgit v1.2.1

