From 5c05517960c4913a10eb526b69f99178ee08ef68 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Fri, 7 Jan 2022 20:31:27 +0100
Subject: reorganize chapter 7

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 buch/chapters/060-integral/sturm.tex | 479 -----------------------------------
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--- a/buch/chapters/060-integral/sturm.tex
+++ /dev/null
@@ -1,479 +0,0 @@
-%
-% sturm.tex
-%
-% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
-%
-\subsection{Sturm-Liouville-Problem
-\label{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem}}
-Sowohl bei den Bessel-Funktionen wie bei den Legendre-Polynomen
-konnte die Orthogonalität der Funktionen dadurch gezeigt werden,
-dass sie als Eigenfunktionen eines bezüglich eines geeigneten
-Skalarproduktes selbstadjungierten Operators erkannt wurden.
-
-\subsubsection{Differentialgleichung}
-Das klassische Sturm-Liouville-Problem ist das folgende Eigenwertproblem.
-Gesucht sind Lösungen der Differentialgleichung
-\begin{equation}
-((p(x)y'(x))' + q(x)y(x) = \lambda w(x) y(x)
-\label{buch:integrale:eqn:sturm-liouville}
-\end{equation}
-auf dem Intervall $(a,b)$, die zusätzlich die Randbedingungen
-\begin{equation}
-\begin{aligned}
-k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\
-k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0
-\end{aligned}
-\label{buch:integrale:sturm:randbedingung}
-\end{equation}
-erfüllen, wobei $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$.
-Weitere Bedingungen an die Funktionen $p(x)$, $q(x)$, $w(x)$  sowie die
-Lösungsfunktionen $y(x)$ sollen später geklärt werden.
-
-\subsubsection{Das verallgemeinerte Eigenwertproblem für symmetrische Matrizen}
-Ein zu \eqref{buch:integrale:eqn:sturm-liouville} analoges Eigenwertproblem
-für Matrizen ist das folgende verallgemeinerte Eigenwertproblem.
-Das gewohnte Eigenwertproblem verwendet die Matrix $B=E$.
-
-\begin{definition}
-Seien $A$ und $B$ $n\times n$-Matrizen.
-$v$ heisst verallgemeinerter Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$,
-wenn
-\[
-Av = \lambda Bv.
-\]
-\end{definition}
-
-Für symmetrische Matrizen lässt sich dieses Problem auf ein 
-Optimierungsproblem reduzieren.
-
-\begin{satz}
-Seien $A$ und $B$ symmetrische $n\times n$-Matrizen und sei ausserdem
-$B$ positiv definit.
-Ist $v$ ein Vektor, der die Grösse
-\[
-f(v)=\frac{v^tAv}{v^tBv}
-\]
-maximiert, ist ein verallgemeinerter Eigenvektor für die Matrizen $A$
-und $B$.
-\end{satz}
-
-\begin{proof}[Beweis]
-Sei $\lambda = f(v)$ der maximale Wert und $u\ne 0$ ein beliebiger Vektor. 
-Da $v$ die Grösse $f(v)$ maximiert, muss die Ableitung
-von $f(u+tv)$ für $t=0$ verschwinden.
-Um diese Ableitung zu berechnen, bestimmen wir zunächst die Ableitung
-von $(v+tu)^tM(v+tu)$  an der Stelle $t=0$ für eine beliebige
-symmetrische Matrix:
-\begin{align*}
-\frac{d}{dt}
-(v+tu)^tM(v+tu)
-&=
-\frac{d}{dt}\bigl(
-v^tv + t(v^tMu+u^tMv) + t^2 u^tMu
-\bigr)
-=
-v^tMu+u^tMv + 2tv^tMv
-\\
-\frac{d}{dt}
-(v^t+tu^t)M(v+tu)
-\bigg|_{t=0}
-&=
-v^tMu+u^tMv
-=
-2v^tMu
-\end{align*}
-Dies wenden wir jetzt auf den Quotenten $\lambda(v+tu)$ an.
-\begin{align*}
-\frac{d}{dt}f(v+tu)\bigg|_{t=0}
-&=
-\frac{d}{dt}
-\frac{(v+tu)^tA(v+tu)}{(v+tu)^tB(v+tu)}\bigg|_{t=0}
-\\
-&=
-\frac{2u^tAv(v^tBv) - 2u^tBv(v^tAv)}{(v^tBv)^2}
-=
-\frac{2}{v^tBv}
-u^t
-\biggl(
-Av - \frac{v^tAv}{v^tBv} Bv
-\biggr)
-\\
-&=
-2
-\frac{
-u^t(
-Av - \lambda Bv
-)
-}{v^tBv}
-\end{align*}
-Da $v$ ein Maximum von $\lambda(v)$ ist, verschwindet diese Ableitung
-für alle Vektoren $u$, somit gilt
-\[
-u^t(Av-\lambda Bv)=0
-\]
-für alle $u$, also auch $Av=\lambda Bv$.
-Dies beweist, dass $v$ ein verallgemeinerter Eigenvektor zum
-Eigenwert $\lambda$ ist.
-\end{proof}
-
-\begin{satz}
-Verallgemeinerte Eigenvektoren $u$ und $v$ von $A$ und $B$
-zu verschiedenen Eigenwerten erfüllen $u^tBv=0$.
-\end{satz}
-
-\begin{proof}
-Seien $\lambda$ und $\mu$ die Eigenwerte, also $Au=\lambda Bu$
-und $Av=\mu Bv$.
-Wie in \eqref{buch:integrale:eqn:eigenwertesenkrecht}
-berechnen wir das Skalarprodukt auf zwei Arten
-\[
-\renewcommand{\arraycolsep}{2pt}
-\begin{array}{rcccrl}
- u^tAv &=&u^t\lambda Bv &=& \lambda\phantom{\mathstrut-\mu)} u^tBv
-	&\multirow{2}{*}{\hspace{3pt}$\bigg\}\mathstrut-\mathstrut$}\\
-=v^tAu &=&v^t\mu Bu     &=&  \mu\phantom{)}u^tBv         &\\
-\hline
-     0 & &              &=& (\lambda - \mu)u^tBv.        &
-\end{array}
-\]
-Da die Eigenwerte verschieden sind, ist $\lambda-\mu\ne 0$, es folgt, 
-dass $u^tBv=0$ sein muss.
-\end{proof}
-
-Verallgemeinerte Eigenwerte und Eigenvektoren verhalten sich also
-ganz analog zu den gewöhnlichen Eigenwerten und Eigenvektoren.
-Da $B$ positiv definit ist, ist $B$ auch invertierbar.
-Zudem kann $B$ zur Definition des verallgemeinerten Skalarproduktes
-\[
-\langle u,v\rangle_B = u^tBv
-\]
-verwendet werden.
-Die Matrix 
-\[
-\tilde{A} = B^{-1}A
-\]
-ist bezüglich dieses Skalarproduktes selbstadjungiert, denn es gilt
-\[
-\langle\tilde{A}u,v\rangle_B
-=
-(B^{-1}Au)^t Bv
-=
-u^tA^t(B^{-1})^tBv
-=
-u^tAv
-=
-u^tBB^{-1}Av
-=
-\langle u,\tilde{A}v\rangle.
-\]
-Das verallgemeinerte Eigenwertproblem für symmetrische Matrizen
-ist damit ein gewöhnliches Eigenwertproblem für selbstadjungierte
-Matrizen des Operators $\tilde{A}$ bezüglich des verallgemeinerten
-Skalarproduktes $\langle\,\;,\;\rangle_B$.
-
-\subsubsection{Der Operator $L_0$ und die Randbedingung}
-Die Differentialgleichung kann auch in Operatorform geschrieben werden.
-Dazu schreiben wir
-\[
-L_0 
-=
--\frac{d}{dx}p(x)\frac{d}{dx}.
-\]
-Bezüglich des gewöhnlichen Skalarproduktes
-\[
-\langle f,g\rangle
-=
-\int_a^b f(x)g(x)\,dx
-\]
-für Funktionen auf dem Intervall $[a,b]$ ist der Operator $L_0$
-tatsächlich selbstadjungiert.
-Mit partieller Integration rechnet man nach:
-\begin{align}
-\langle f,L_0g\rangle
-&=
-\int_a^b f(x) \biggl(-\frac{d}{dx}p(x)\frac{d}{dx}\biggr)g(x)\,dx
-\notag
-\\
-&=
--\int_a^b f(x) \frac{d}{dx}\bigl( p(x) g'(x) \bigr)\,dx
-\notag
-\\
-&=
--\biggl[f(x) p(x)g'(x)\biggr]_a^b
-+
-\int_a^b f'(x) p(x) g'(x) \,dx
-\notag
-\\
-\langle L_0f,g\rangle
-&=
--\biggl[f'(x)p(x)g(x)\biggr]_a^b
-+
-\int_a^b f'(x) p(x) g'(x) \,dx.
-\notag
-\intertext{Die beiden Skalarprodukte führen also auf das gleiche
-Integral, sie unterscheiden sich nur um die Randterme}
-\langle f,L_0g\rangle
--
-\langle L_0f,g\rangle
-&=
--f(b)p(b)g'(b) + f(a)p(a)g'(a)
-+f'(b)p(b)g(b) - f'(a)p(a)g(a)
-\label{buch:integrale:sturm:sabedingung}
-\\
-&=
--
-p(b)
-\left|\begin{matrix}
-f(b) &g(b)\\
-f'(b)&g'(b)
-\end{matrix}\right|
-+
-p(a)
-\left|\begin{matrix}
-f(a) &g(a)\\
-f'(a)&g'(a)
-\end{matrix}\right|
-\notag
-\\
-&=
--
-\left|\begin{matrix}
-f(b) &g(b)\\
-p(b)f'(b)&p(b)g'(b)
-\end{matrix}\right|
-+
-\left|\begin{matrix}
-f(a) &g(a)\\
-p(a)f'(a)&p(a)g'(a)
-\end{matrix}\right|.
-\notag
-\end{align}
-Um zu erreichen, dass der Operator selbstadjunigert wird, muss 
-sichergestellt werden, dass entweder $p$ oder die Determinanten
-an den Intervallenden verschwinden.
-Dies passiert genau dann, wenn die Vektoren 
-\[
-\begin{pmatrix}
-f(a)\\
-p(a)f'(a)
-\end{pmatrix}
-\text{\;und\;}
-\begin{pmatrix}
-g(a)\\
-p(a)g'(a)
-\end{pmatrix}
-\]
-linear abhängig sind.
-In zwei Dimensionen bedeutet lineare Abhängigkeit, dass es
-eine nichttriviale Linearform mit Koeffizienten $h_a, k_a$ gibt,
-die auf beiden Vektoren verschwindet.
-Ausgeschrieben bedeutet dies, dass die Randbedingung
-\eqref{buch:integrale:sturm:randbedingung}
-erfüllt sein muss.
-
-\subsubsection{Skalarprodukt}
-Das Ziel der folgenden Abschnitte ist, das Sturm-Liouville-Problem als
-Eigenwertproblem für einen selbstadjungierten Operator in einem 
-Funktionenraum mit einem geeigneten Skalarprodukt zu finden.
-
-Wir haben bereits gezeigt, dass die Randbedingung
-\eqref{buch:integrale:sturm:randbedingung} sicherstellt, dass der
-Operator $L_0$ für das Standardskalarprodukt selbstadjungiert ist.
-Dies entspricht der Symmetrie der Matrix $A$.
-
-Die Komponente $q(x)$ stellt keine besonderen Probleme, denn
-\[
-\langle f,qg\rangle
-=
-\int_a^b f(x)q(x)g(x)\,dx
-=
-\langle qf,g\rangle.
-\]
-Der Operator $f(x) \mapsto q(x)f(x)$, der eine Funktion mit 
-der Funktion $q(x)$ multipliziert, ist also ebenfalls symmetrisch.
-Dasselbe gilt für einen Operator, der mit $w(x)$ multipliziert.
-Da $w(x)$ eine positive Funktion ist, ist der Operator $f(x)\mapsto w(x)f(x)$
-sogar positiv definit.
-Dies entspricht der Matrix $B$.
-Nach den Erkenntnissen des vorangegangenen Abschnittes ist das
-verallgemeinerte Eigenwertproblem daher ein Eigenwertproblem
-für einen modifizierten Operator bezüglich eines alternativen
-Skalarproduktes.
-
-Als Skalarprodukt muss also das Integral
-\[
-\langle f,g\rangle_w
-=
-\int_a^b f(x)g(x)w(x)\,dx
-\]
-mit der Gewichtsfunktion $w(x)$ verwendet werden.
-Damit dies ein vernünftiges Skalarprodukt ist, muss $w(x)>0$ im
-Innerend es Intervalls sein.
-
-\subsubsection{Der Vektorraum $H$}
-Damit können wir jetzt die Eigenschaften der in Frage kommenden
-Funktionen zusammenstellen.
-Zunächst müssen sie auf dem Intervall $[a,b]$ definiert sein und
-das Integral
-\[
-\int_a^b |f(x)|^2 w(x)\,dx < \infty
-\]
-muss existieren.
-Wir bezeichnen den Vektorraum der Funktionen, deren Quadrat mit
-der Gewichtsfunktion $w(x)$ integrierbar sind, mit
-$L^2([a,b],w)$.
-
-Damit auch $\langle qf,f\rangle_w$ und $\langle L_0f,0f\rangle_w$
-wohldefiniert sind, müssen zusätzlich die Integrale
-\[
-\int_a^b |f(x)|^2 q(x) w(x)\,dx
-\qquad\text{und}\qquad
-\int_a^b |f'(x)|^2 p(x) w(x)\,dx
-\]
-existieren.
-Wir setzen daher
-\[
-H
-=
-\biggl\{
-f\in L^2([a,b],w)\;\bigg|\;
-\int_a^b |f'(x)|^2p(x)w(x)\,dx<\infty,
-\int_a^b |f(x)|^2q(x)w(x)\,dx<\infty
-\biggr\}.
-\]
-
-\subsubsection{Differentialoperator}
-Das verallgemeinerte Eigenwertproblem für $A$ und $B$ ist ein
-gewöhnliches Eigenwertproblem für die Operator $\tilde{A}=B^{-1}A$
-bezüglich des modifizierten Skalarproduktes.
-Das Sturm-Liouville-Problem ist also ein Eigenwertproblem im
-Vektorraum $H$ mit dem Skalarprodukt $\langle\,\;,\;\rangle_w$.
-Der Operator
-\[
-L = \frac{1}{w(x)} \biggl(-\frac{d}{dx} p(x)\frac{d}{dx} + q(x)\biggr)
-\]
-heisst der {\em Sturm-Liouville-Operator}.
-Eine Lösung des Sturm-Liouville-Problems ist eine Funktion $y(x)$ derart,
-dass 
-\[
-Ly = \lambda y,
-\]
-$\lambda$ ist der zu $y(x)$ gehörige Eigenwert.
-Der Operator ist definiert auf Funktionen des im vorangegangenen Abschnitt
-definierten Vektorraumes $H$.
-
-
-
-\subsubsection{Beispiel: Trigonometrische Funktionen}
-Die trigonometrischen Funktionen sind Eigenfunktionen des Operators
-$d^2/dx^2$, also eines Sturm-Liouville-Operators mit $p(x)=1$, $q(x)=0$
-und $w(x)=0$.
-Auf dem Intervall $(-\pi,\pi)$ können wir die Randbedingungen
-\bgroup
-\renewcommand{\arraycolsep}{2pt}
-\[
-\begin{aligned}
-&
-\begin{array}{lclclcl}
-k_{-\pi}          &=&1,&\qquad&h_{-\pi}          &=&0\\
-k_{\phantom{-}\pi}&=&1,&\qquad&h_{\phantom{-}\pi}&=&0
-\end{array}
-\;\bigg\}
-&&\Rightarrow&
-\begin{array}{lcl}
-y(-\pi)          &=&0\\
-y(\phantom{-}\pi)&=&0\\
-\end{array}
-\;\bigg\}
-&\quad\Rightarrow&
-y(x) &= B\sin nx
-\\
-&
-\begin{array}{lclclcl}
-k_{-\pi}          &=&0,&\qquad&h_{-\pi}          &=&1\\
-k_{\phantom{-}\pi}&=&0,&\qquad&h_{\phantom{-}\pi}&=&1
-\end{array}
-\;\bigg\}
-&&\Rightarrow&
-\begin{array}{lcl}
-y'(-\pi)          &=&0\\
-y'(\phantom{-}\pi)&=&0\\
-\end{array}
-\; \bigg\}
-&\quad\Rightarrow&
-y(x) &= A\cos nx
-\end{aligned}
-\]
-\egroup
-verwenden.
-Die Orthogonalität der Sinus- und Kosinus-Funktionen folgt jetzt
-ganz ohne weitere Rechnung.
-
-An dieser Lösung ist nicht ganz befriedigend, dass die trigonometrischen
-Funktionen nicht mit einer einzigen Randbedingung gefunden werden können.
-Der Ausweg ist, periodische Randbedingungen zu verlangen, also
-$y(-\pi)=y(\pi)$ und $y'(-\pi)=y'(\pi)$.
-Dann ist wegen
-\begin{align*}
-\langle f,L_0g\rangle - \langle L_0f,g\rangle
-&=
--f(\pi)g'(\pi)+f(-\pi)g'(-\pi)+f'(\pi)g(\pi)-f'(-\pi)g(-\pi)
-\\
-&=
--f(\pi)g'(\pi)+f(\pi)g'(\pi)+f'(\pi)g(\pi)-f'(\pi)g(\pi)
-=0
-\end{align*}
-die Bedingung~\eqref{buch:integrale:sturm:sabedingung}
-ebenfalls erfüllt, $L_0$ ist in diesem Raum selbstadjungiert.
-
-\subsubsection{Beispiel: Bessel-Funktionen}
-Der Bessel-Operator \eqref{buch:differentialgleichungen:bessel-operator}
-hat die Form eines Sturm-Liouville-Operators
-\[
-x^2\frac{d^2}{dx^2} + x\frac{d}{dx} + x^2
-=
-\frac{d}{dx} x^2 \frac{d}{dx} + x^2
-\]
-mit $p(x)=x^2$, $q(x)=x^2$.
-
-XXX TODO: Faktor 2 fehlt.
-
-\subsubsection{Beispiel: Tschebyscheff-Polynome}
-Die Tschebyscheff-Polynome sind Lösungen der
-Tschebyscheff-Differentialgleichung
-\[
-(1-x^2)y'' -xy' = n^2y
-\]
-auf dem Intervall $(-1,1)$.
-Auch dieses Problem kann als Sturm-Liouville-Problem formuliert
-werden mit
-\begin{align*}
-w(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\
-p(x) &= \sqrt{1-x^2} \\
-q(x) &= 0
-\end{align*}
-Das zugehörige Sturm-Liouville-Eigenwertproblem ist
-\[
-\frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2}\frac{d}{dx} y(x)
-=
-\lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} y(x).
-\]
-Führt man die Ableitungen auf der linken Seite aus, entsteht die
-Gleichung
-\begin{align*}
-\sqrt{1-x^2} y''(x) -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}y'(x)
-&=  \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} y(x)
-\intertext{Multiplikation mit $\sqrt{1-x^2}$ ergibt}
-(1-x^2)
-y''(x) 
--
-xy'(x)
-&=
-\lambda y(x).
-\end{align*}
-Es folgt, dass die Tschebyscheff-Polynome orthogonal sind 
-bezüglich des Skalarproduktes
-\[
-\langle f,g\rangle = \int_{-1}^1 f(x)g(x)\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.
-\]
-
-- 
cgit v1.2.1

