From 5c05517960c4913a10eb526b69f99178ee08ef68 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Fri, 7 Jan 2022 20:31:27 +0100 Subject: reorganize chapter 7 --- buch/chapters/060-integral/sturm.tex | 479 ----------------------------------- 1 file changed, 479 deletions(-) delete mode 100644 buch/chapters/060-integral/sturm.tex (limited to 'buch/chapters/060-integral/sturm.tex') diff --git a/buch/chapters/060-integral/sturm.tex b/buch/chapters/060-integral/sturm.tex deleted file mode 100644 index e374bae..0000000 --- a/buch/chapters/060-integral/sturm.tex +++ /dev/null @@ -1,479 +0,0 @@ -% -% sturm.tex -% -% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule -% -\subsection{Sturm-Liouville-Problem -\label{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem}} -Sowohl bei den Bessel-Funktionen wie bei den Legendre-Polynomen -konnte die Orthogonalität der Funktionen dadurch gezeigt werden, -dass sie als Eigenfunktionen eines bezüglich eines geeigneten -Skalarproduktes selbstadjungierten Operators erkannt wurden. - -\subsubsection{Differentialgleichung} -Das klassische Sturm-Liouville-Problem ist das folgende Eigenwertproblem. -Gesucht sind Lösungen der Differentialgleichung -\begin{equation} -((p(x)y'(x))' + q(x)y(x) = \lambda w(x) y(x) -\label{buch:integrale:eqn:sturm-liouville} -\end{equation} -auf dem Intervall $(a,b)$, die zusätzlich die Randbedingungen -\begin{equation} -\begin{aligned} -k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\ -k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0 -\end{aligned} -\label{buch:integrale:sturm:randbedingung} -\end{equation} -erfüllen, wobei $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$. -Weitere Bedingungen an die Funktionen $p(x)$, $q(x)$, $w(x)$ sowie die -Lösungsfunktionen $y(x)$ sollen später geklärt werden. - -\subsubsection{Das verallgemeinerte Eigenwertproblem für symmetrische Matrizen} -Ein zu \eqref{buch:integrale:eqn:sturm-liouville} analoges Eigenwertproblem -für Matrizen ist das folgende verallgemeinerte Eigenwertproblem. -Das gewohnte Eigenwertproblem verwendet die Matrix $B=E$. - -\begin{definition} -Seien $A$ und $B$ $n\times n$-Matrizen. -$v$ heisst verallgemeinerter Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$, -wenn -\[ -Av = \lambda Bv. -\] -\end{definition} - -Für symmetrische Matrizen lässt sich dieses Problem auf ein -Optimierungsproblem reduzieren. - -\begin{satz} -Seien $A$ und $B$ symmetrische $n\times n$-Matrizen und sei ausserdem -$B$ positiv definit. -Ist $v$ ein Vektor, der die Grösse -\[ -f(v)=\frac{v^tAv}{v^tBv} -\] -maximiert, ist ein verallgemeinerter Eigenvektor für die Matrizen $A$ -und $B$. -\end{satz} - -\begin{proof}[Beweis] -Sei $\lambda = f(v)$ der maximale Wert und $u\ne 0$ ein beliebiger Vektor. -Da $v$ die Grösse $f(v)$ maximiert, muss die Ableitung -von $f(u+tv)$ für $t=0$ verschwinden. -Um diese Ableitung zu berechnen, bestimmen wir zunächst die Ableitung -von $(v+tu)^tM(v+tu)$ an der Stelle $t=0$ für eine beliebige -symmetrische Matrix: -\begin{align*} -\frac{d}{dt} -(v+tu)^tM(v+tu) -&= -\frac{d}{dt}\bigl( -v^tv + t(v^tMu+u^tMv) + t^2 u^tMu -\bigr) -= -v^tMu+u^tMv + 2tv^tMv -\\ -\frac{d}{dt} -(v^t+tu^t)M(v+tu) -\bigg|_{t=0} -&= -v^tMu+u^tMv -= -2v^tMu -\end{align*} -Dies wenden wir jetzt auf den Quotenten $\lambda(v+tu)$ an. -\begin{align*} -\frac{d}{dt}f(v+tu)\bigg|_{t=0} -&= -\frac{d}{dt} -\frac{(v+tu)^tA(v+tu)}{(v+tu)^tB(v+tu)}\bigg|_{t=0} -\\ -&= -\frac{2u^tAv(v^tBv) - 2u^tBv(v^tAv)}{(v^tBv)^2} -= -\frac{2}{v^tBv} -u^t -\biggl( -Av - \frac{v^tAv}{v^tBv} Bv -\biggr) -\\ -&= -2 -\frac{ -u^t( -Av - \lambda Bv -) -}{v^tBv} -\end{align*} -Da $v$ ein Maximum von $\lambda(v)$ ist, verschwindet diese Ableitung -für alle Vektoren $u$, somit gilt -\[ -u^t(Av-\lambda Bv)=0 -\] -für alle $u$, also auch $Av=\lambda Bv$. -Dies beweist, dass $v$ ein verallgemeinerter Eigenvektor zum -Eigenwert $\lambda$ ist. -\end{proof} - -\begin{satz} -Verallgemeinerte Eigenvektoren $u$ und $v$ von $A$ und $B$ -zu verschiedenen Eigenwerten erfüllen $u^tBv=0$. -\end{satz} - -\begin{proof} -Seien $\lambda$ und $\mu$ die Eigenwerte, also $Au=\lambda Bu$ -und $Av=\mu Bv$. -Wie in \eqref{buch:integrale:eqn:eigenwertesenkrecht} -berechnen wir das Skalarprodukt auf zwei Arten -\[ -\renewcommand{\arraycolsep}{2pt} -\begin{array}{rcccrl} - u^tAv &=&u^t\lambda Bv &=& \lambda\phantom{\mathstrut-\mu)} u^tBv - &\multirow{2}{*}{\hspace{3pt}$\bigg\}\mathstrut-\mathstrut$}\\ -=v^tAu &=&v^t\mu Bu &=& \mu\phantom{)}u^tBv &\\ -\hline - 0 & & &=& (\lambda - \mu)u^tBv. & -\end{array} -\] -Da die Eigenwerte verschieden sind, ist $\lambda-\mu\ne 0$, es folgt, -dass $u^tBv=0$ sein muss. -\end{proof} - -Verallgemeinerte Eigenwerte und Eigenvektoren verhalten sich also -ganz analog zu den gewöhnlichen Eigenwerten und Eigenvektoren. -Da $B$ positiv definit ist, ist $B$ auch invertierbar. -Zudem kann $B$ zur Definition des verallgemeinerten Skalarproduktes -\[ -\langle u,v\rangle_B = u^tBv -\] -verwendet werden. -Die Matrix -\[ -\tilde{A} = B^{-1}A -\] -ist bezüglich dieses Skalarproduktes selbstadjungiert, denn es gilt -\[ -\langle\tilde{A}u,v\rangle_B -= -(B^{-1}Au)^t Bv -= -u^tA^t(B^{-1})^tBv -= -u^tAv -= -u^tBB^{-1}Av -= -\langle u,\tilde{A}v\rangle. -\] -Das verallgemeinerte Eigenwertproblem für symmetrische Matrizen -ist damit ein gewöhnliches Eigenwertproblem für selbstadjungierte -Matrizen des Operators $\tilde{A}$ bezüglich des verallgemeinerten -Skalarproduktes $\langle\,\;,\;\rangle_B$. - -\subsubsection{Der Operator $L_0$ und die Randbedingung} -Die Differentialgleichung kann auch in Operatorform geschrieben werden. -Dazu schreiben wir -\[ -L_0 -= --\frac{d}{dx}p(x)\frac{d}{dx}. -\] -Bezüglich des gewöhnlichen Skalarproduktes -\[ -\langle f,g\rangle -= -\int_a^b f(x)g(x)\,dx -\] -für Funktionen auf dem Intervall $[a,b]$ ist der Operator $L_0$ -tatsächlich selbstadjungiert. -Mit partieller Integration rechnet man nach: -\begin{align} -\langle f,L_0g\rangle -&= -\int_a^b f(x) \biggl(-\frac{d}{dx}p(x)\frac{d}{dx}\biggr)g(x)\,dx -\notag -\\ -&= --\int_a^b f(x) \frac{d}{dx}\bigl( p(x) g'(x) \bigr)\,dx -\notag -\\ -&= --\biggl[f(x) p(x)g'(x)\biggr]_a^b -+ -\int_a^b f'(x) p(x) g'(x) \,dx -\notag -\\ -\langle L_0f,g\rangle -&= --\biggl[f'(x)p(x)g(x)\biggr]_a^b -+ -\int_a^b f'(x) p(x) g'(x) \,dx. -\notag -\intertext{Die beiden Skalarprodukte führen also auf das gleiche -Integral, sie unterscheiden sich nur um die Randterme} -\langle f,L_0g\rangle -- -\langle L_0f,g\rangle -&= --f(b)p(b)g'(b) + f(a)p(a)g'(a) -+f'(b)p(b)g(b) - f'(a)p(a)g(a) -\label{buch:integrale:sturm:sabedingung} -\\ -&= -- -p(b) -\left|\begin{matrix} -f(b) &g(b)\\ -f'(b)&g'(b) -\end{matrix}\right| -+ -p(a) -\left|\begin{matrix} -f(a) &g(a)\\ -f'(a)&g'(a) -\end{matrix}\right| -\notag -\\ -&= -- -\left|\begin{matrix} -f(b) &g(b)\\ -p(b)f'(b)&p(b)g'(b) -\end{matrix}\right| -+ -\left|\begin{matrix} -f(a) &g(a)\\ -p(a)f'(a)&p(a)g'(a) -\end{matrix}\right|. -\notag -\end{align} -Um zu erreichen, dass der Operator selbstadjunigert wird, muss -sichergestellt werden, dass entweder $p$ oder die Determinanten -an den Intervallenden verschwinden. -Dies passiert genau dann, wenn die Vektoren -\[ -\begin{pmatrix} -f(a)\\ -p(a)f'(a) -\end{pmatrix} -\text{\;und\;} -\begin{pmatrix} -g(a)\\ -p(a)g'(a) -\end{pmatrix} -\] -linear abhängig sind. -In zwei Dimensionen bedeutet lineare Abhängigkeit, dass es -eine nichttriviale Linearform mit Koeffizienten $h_a, k_a$ gibt, -die auf beiden Vektoren verschwindet. -Ausgeschrieben bedeutet dies, dass die Randbedingung -\eqref{buch:integrale:sturm:randbedingung} -erfüllt sein muss. - -\subsubsection{Skalarprodukt} -Das Ziel der folgenden Abschnitte ist, das Sturm-Liouville-Problem als -Eigenwertproblem für einen selbstadjungierten Operator in einem -Funktionenraum mit einem geeigneten Skalarprodukt zu finden. - -Wir haben bereits gezeigt, dass die Randbedingung -\eqref{buch:integrale:sturm:randbedingung} sicherstellt, dass der -Operator $L_0$ für das Standardskalarprodukt selbstadjungiert ist. -Dies entspricht der Symmetrie der Matrix $A$. - -Die Komponente $q(x)$ stellt keine besonderen Probleme, denn -\[ -\langle f,qg\rangle -= -\int_a^b f(x)q(x)g(x)\,dx -= -\langle qf,g\rangle. -\] -Der Operator $f(x) \mapsto q(x)f(x)$, der eine Funktion mit -der Funktion $q(x)$ multipliziert, ist also ebenfalls symmetrisch. -Dasselbe gilt für einen Operator, der mit $w(x)$ multipliziert. -Da $w(x)$ eine positive Funktion ist, ist der Operator $f(x)\mapsto w(x)f(x)$ -sogar positiv definit. -Dies entspricht der Matrix $B$. -Nach den Erkenntnissen des vorangegangenen Abschnittes ist das -verallgemeinerte Eigenwertproblem daher ein Eigenwertproblem -für einen modifizierten Operator bezüglich eines alternativen -Skalarproduktes. - -Als Skalarprodukt muss also das Integral -\[ -\langle f,g\rangle_w -= -\int_a^b f(x)g(x)w(x)\,dx -\] -mit der Gewichtsfunktion $w(x)$ verwendet werden. -Damit dies ein vernünftiges Skalarprodukt ist, muss $w(x)>0$ im -Innerend es Intervalls sein. - -\subsubsection{Der Vektorraum $H$} -Damit können wir jetzt die Eigenschaften der in Frage kommenden -Funktionen zusammenstellen. -Zunächst müssen sie auf dem Intervall $[a,b]$ definiert sein und -das Integral -\[ -\int_a^b |f(x)|^2 w(x)\,dx < \infty -\] -muss existieren. -Wir bezeichnen den Vektorraum der Funktionen, deren Quadrat mit -der Gewichtsfunktion $w(x)$ integrierbar sind, mit -$L^2([a,b],w)$. - -Damit auch $\langle qf,f\rangle_w$ und $\langle L_0f,0f\rangle_w$ -wohldefiniert sind, müssen zusätzlich die Integrale -\[ -\int_a^b |f(x)|^2 q(x) w(x)\,dx -\qquad\text{und}\qquad -\int_a^b |f'(x)|^2 p(x) w(x)\,dx -\] -existieren. -Wir setzen daher -\[ -H -= -\biggl\{ -f\in L^2([a,b],w)\;\bigg|\; -\int_a^b |f'(x)|^2p(x)w(x)\,dx<\infty, -\int_a^b |f(x)|^2q(x)w(x)\,dx<\infty -\biggr\}. -\] - -\subsubsection{Differentialoperator} -Das verallgemeinerte Eigenwertproblem für $A$ und $B$ ist ein -gewöhnliches Eigenwertproblem für die Operator $\tilde{A}=B^{-1}A$ -bezüglich des modifizierten Skalarproduktes. -Das Sturm-Liouville-Problem ist also ein Eigenwertproblem im -Vektorraum $H$ mit dem Skalarprodukt $\langle\,\;,\;\rangle_w$. -Der Operator -\[ -L = \frac{1}{w(x)} \biggl(-\frac{d}{dx} p(x)\frac{d}{dx} + q(x)\biggr) -\] -heisst der {\em Sturm-Liouville-Operator}. -Eine Lösung des Sturm-Liouville-Problems ist eine Funktion $y(x)$ derart, -dass -\[ -Ly = \lambda y, -\] -$\lambda$ ist der zu $y(x)$ gehörige Eigenwert. -Der Operator ist definiert auf Funktionen des im vorangegangenen Abschnitt -definierten Vektorraumes $H$. - - - -\subsubsection{Beispiel: Trigonometrische Funktionen} -Die trigonometrischen Funktionen sind Eigenfunktionen des Operators -$d^2/dx^2$, also eines Sturm-Liouville-Operators mit $p(x)=1$, $q(x)=0$ -und $w(x)=0$. -Auf dem Intervall $(-\pi,\pi)$ können wir die Randbedingungen -\bgroup -\renewcommand{\arraycolsep}{2pt} -\[ -\begin{aligned} -& -\begin{array}{lclclcl} -k_{-\pi} &=&1,&\qquad&h_{-\pi} &=&0\\ -k_{\phantom{-}\pi}&=&1,&\qquad&h_{\phantom{-}\pi}&=&0 -\end{array} -\;\bigg\} -&&\Rightarrow& -\begin{array}{lcl} -y(-\pi) &=&0\\ -y(\phantom{-}\pi)&=&0\\ -\end{array} -\;\bigg\} -&\quad\Rightarrow& -y(x) &= B\sin nx -\\ -& -\begin{array}{lclclcl} -k_{-\pi} &=&0,&\qquad&h_{-\pi} &=&1\\ -k_{\phantom{-}\pi}&=&0,&\qquad&h_{\phantom{-}\pi}&=&1 -\end{array} -\;\bigg\} -&&\Rightarrow& -\begin{array}{lcl} -y'(-\pi) &=&0\\ -y'(\phantom{-}\pi)&=&0\\ -\end{array} -\; \bigg\} -&\quad\Rightarrow& -y(x) &= A\cos nx -\end{aligned} -\] -\egroup -verwenden. -Die Orthogonalität der Sinus- und Kosinus-Funktionen folgt jetzt -ganz ohne weitere Rechnung. - -An dieser Lösung ist nicht ganz befriedigend, dass die trigonometrischen -Funktionen nicht mit einer einzigen Randbedingung gefunden werden können. -Der Ausweg ist, periodische Randbedingungen zu verlangen, also -$y(-\pi)=y(\pi)$ und $y'(-\pi)=y'(\pi)$. -Dann ist wegen -\begin{align*} -\langle f,L_0g\rangle - \langle L_0f,g\rangle -&= --f(\pi)g'(\pi)+f(-\pi)g'(-\pi)+f'(\pi)g(\pi)-f'(-\pi)g(-\pi) -\\ -&= --f(\pi)g'(\pi)+f(\pi)g'(\pi)+f'(\pi)g(\pi)-f'(\pi)g(\pi) -=0 -\end{align*} -die Bedingung~\eqref{buch:integrale:sturm:sabedingung} -ebenfalls erfüllt, $L_0$ ist in diesem Raum selbstadjungiert. - -\subsubsection{Beispiel: Bessel-Funktionen} -Der Bessel-Operator \eqref{buch:differentialgleichungen:bessel-operator} -hat die Form eines Sturm-Liouville-Operators -\[ -x^2\frac{d^2}{dx^2} + x\frac{d}{dx} + x^2 -= -\frac{d}{dx} x^2 \frac{d}{dx} + x^2 -\] -mit $p(x)=x^2$, $q(x)=x^2$. - -XXX TODO: Faktor 2 fehlt. - -\subsubsection{Beispiel: Tschebyscheff-Polynome} -Die Tschebyscheff-Polynome sind Lösungen der -Tschebyscheff-Differentialgleichung -\[ -(1-x^2)y'' -xy' = n^2y -\] -auf dem Intervall $(-1,1)$. -Auch dieses Problem kann als Sturm-Liouville-Problem formuliert -werden mit -\begin{align*} -w(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ -p(x) &= \sqrt{1-x^2} \\ -q(x) &= 0 -\end{align*} -Das zugehörige Sturm-Liouville-Eigenwertproblem ist -\[ -\frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2}\frac{d}{dx} y(x) -= -\lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} y(x). -\] -Führt man die Ableitungen auf der linken Seite aus, entsteht die -Gleichung -\begin{align*} -\sqrt{1-x^2} y''(x) -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}y'(x) -&= \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} y(x) -\intertext{Multiplikation mit $\sqrt{1-x^2}$ ergibt} -(1-x^2) -y''(x) -- -xy'(x) -&= -\lambda y(x). -\end{align*} -Es folgt, dass die Tschebyscheff-Polynome orthogonal sind -bezüglich des Skalarproduktes -\[ -\langle f,g\rangle = \int_{-1}^1 f(x)g(x)\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}. -\] - 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