From 5c05517960c4913a10eb526b69f99178ee08ef68 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Fri, 7 Jan 2022 20:31:27 +0100
Subject: reorganize chapter 7

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index 276e4f3..af4bd67 100644
--- a/buch/chapters/060-integral/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/060-integral/chapter.tex
@@ -43,7 +43,6 @@ gibt darauf eine Antwort.
 \input{chapters/060-integral/eulertransformation.tex}
 \input{chapters/060-integral/differentialkoerper.tex}
 \input{chapters/060-integral/risch.tex}
-\input{chapters/060-integral/orthogonal.tex}
 
 \section*{Übungsaufgaben}
 \rhead{Übungsaufgaben}
diff --git a/buch/chapters/060-integral/gaussquadratur.tex b/buch/chapters/060-integral/gaussquadratur.tex
deleted file mode 100644
index 27740ab..0000000
--- a/buch/chapters/060-integral/gaussquadratur.tex
+++ /dev/null
@@ -1,484 +0,0 @@
-%
-% Anwendung: Gauss-Quadratur
-%
-\subsection{Anwendung: Gauss-Quadratur}
-Orthogonale Polynome haben eine etwas unerwartet Anwendung in einem
-von Gauss erdachten numerischen Integrationsverfahren.
-Es basiert auf der Beobachtung, dass viele Funktionen sich sehr
-gut durch Polynome approximieren lassen.
-Wenn man also sicherstellt, dass ein Verfahren für Polynome
-sehr gut funktioniert, darf man auch davon ausgehen, dass es für
-andere Funktionen nicht allzu schlecht sein wird.
-
-\subsubsection{Interpolationspolynome}
-Zu einer stetigen Funktion $f(x)$ auf dem Intervall $[-1,1]$ 
-ist ein Polynome vom Grad $n$ gesucht, welches in den Punkten
-$x_0<x_1<\dots<x_n$ die Funktionswerte $f(x_i)$ annimmt.
-Ein solches Polynom $p(x)$ hat $n+1$ Koeffizienten, die aus dem
-linearen Gleichungssystem der $n+1$ Gleichungen $p(x_i)=f(x_i)$ 
-ermittelt werden können.
-
-Das Interpolationspolynom $p(x)$ lässt sich abera uch direkt 
-angeben.
-Dazu konstruiert man zuerst die Polynome
-\[
-l_i(x)
-=
-\frac{
-(x-x_0)(x-x_1)\cdots\widehat{(x-x_i)}\cdots (x-x_n)
-}{
-(x_i-x_0)(x_i-x_1)\cdots\widehat{(x_i-x_i)}\cdots (x_i-x_n)
-}
-\]
-vom Grad $n$, wobei der Hut bedeutet, dass diese Faktoren
-im Produkt wegzulassen sind.
-Die Polynome $l_i(x)$ haben die Eigenschaft
-\[
-l_i(x_j) = \delta_{ij}
-=
-\begin{cases}
-1&\qquad i=j\\
-0&\qquad\text{sonst}.
-\end{cases}
-\]
-Die Linearkombination
-\[
-p(x) = \sum_{i=0}^n f(x_i)l_i(x)
-\]
-ist dann ein Polynom vom Grad $n$, welches am den Stellen $x_j$
-die Werte
-\[
-p(x_j) 
-=
-\sum_{i=0}^n f(x_i)l_i(x_j)
-=
-\sum_{i=0}^n f(x_i)\delta_{ij}
-=
-f(x_j)
-\]
-hat, das Polynome $p(x)$ ist also das gesuchte Interpolationspolynom.
-
-\subsubsection{Integrationsverfahren auf der Basis von Interpolation}
-Das Integral einer stetigen Funktion $f(x)$ auf dem Intervall $[-1,1]$
-kann mit Hilfe des Interpolationspolynoms approximiert werden.
-Wenn $|f(x)-p(x)|<\varepsilon$ ist im Intervall $[-1,1]$, dann gilt
-für die Integrale
-\[
-\biggl|\int_{-1}^1 f(x)\,dx -\int_{-1}^1p(x)\,dx\biggr|
-\le
-\int_{-1}^1 |f(x)-p(x)|\,dx
-\le
-2\varepsilon.
-\]
-Ein Interpolationspolynom mit kleinem Fehler liefert also auch
-eine gute Approximation für das Integral.
-
-Da das Interpolationspolynome durch die Funktionswerte $f(x_i)$
-bestimmt ist, muss auch das Integral allein aus diesen Funktionswerten
-berechnet werden können.
-Tatsächlich ist
-\begin{equation}
-\int_{-1}^1 p(x)\,dx
-=
-\int_{-1}^1 \sum_{i=0}^n f(x_i)l_i(x)\,dx
-=
-\sum_{i=0}^n f(x_i)
-\underbrace{\int_{-1}^1
-l_i(x)\,dx}_{\displaystyle = A_i}.
-\label{buch:integral:gaussquadratur:eqn:Aidef}
-\end{equation}
-Das Integral von $f(x)$ wird also durch eine mit den Zahlen $A_i$
-gewichtete Summe
-\[
-\int_{-1}^1 f(x)\,dx
-\approx
-\sum_{i=1}^n f(x_i)A_i
-\]
-approximiert.
-
-\subsubsection{Integrationsverfahren, die für Polynome exakt sind}
-Ein Polynom vom Grad $2n$ hat $2n+1$ Koeffizienten.
-Um das Polynom durch ein Interpolationspolynom exakt wiederzugeben,
-braucht man $2n+1$ Stützstellen.
-Andererseits gilt
-\[
-\int_{-1}^1 a_{2n}x^{2n} + a_{2n-1}x^{2n-1} + \dots + a_2x^2 + a_1x + a_0\,dx
-=
-\int_{-1}^1 a_{2n}x^{2n} + a_{2n-2}x^{2n-2}+\dots +a_2x^2 +a_0\,dx,
-\]
-das Integral ist also bereits durch die $n+1$ Koeffizienten mit geradem
-Index bestimmt.
-Es sollte daher möglich sein, aus $n+1$ Funktionswerten eines beliebigen
-Polynoms vom Grad höchstens $2n$ an geeignet gewählten Stützstellen das
-Integral exakt zu bestimmen.
-
-\begin{beispiel}
-Wir versuchen dies für quadratische Polynome durchzuführen, also 
-für $n=1$.
-Gesucht sind also zwei Werte $x_i$, $i=0,1$ und Gewichte $A_i$, $i=0,1$
-derart, dass für jedes quadratische Polynome $p(x)=a_2x^2+a_1x+a_0$ 
-das Integral durch
-\[
-\int_{-1}^1 p(x)\,dx
-=
-A_0 p(x_0) + A_1 p(x_1)
-\]
-gebeben ist.
-Indem wir für $p(x)$ die Polynome $1$, $x$, $x^2$ und $x^3$ einsetzen,
-erhalten wir vier Gleichungen
-\[
-\begin{aligned}
-p(x)&=\rlap{$1$}\phantom{x^2}\colon& 2       &= A_0\phantom{x_0}+ A_1     \\
-p(x)&=x^{\phantom{2}}\colon& 0       &= A_0x_0   + A_1x_1  \\
-p(x)&=x^2\colon& \frac23 &= A_0x_0^2 + A_1x_1^2\\
-p(x)&=x^3\colon& 0       &= A_0x_0^3 + A_1x_1^3.
-\end{aligned}
-\]
-Dividiert man die zweite und vierte Gleichung in der Form
-\[
-\left.
-\begin{aligned}
-A_0x_0 &= -A_1x_1\\
-A_0x_0^2 &= -A_1x_1^2
-\end{aligned}
-\quad
-\right\}
-\quad
-\Rightarrow
-\quad
-x_0^2=x_1^2
-\quad
-\Rightarrow
-\quad
-x_1=-x_0.
-\]
-Indem wir dies in die zweite Gleichung einsetzen, finden wir 
-\[
-0 = A_0x_0 + A_1x_1 = A_0x_1 -A_1x_0 = (A_0-A_1)x_0
-\quad\Rightarrow\quad
-A_0=A_1.
-\]
-Aus der ersten Gleichung folgt jetzt
-\[
-2= A_0+A_1 = 2A_0 \quad\Rightarrow\quad A_0 = 1.
-\]
-Damit bleiben nur noch die Werte von $x_i$ zu bestimmen, was 
-mit Hilfe der zweiten Gleichung geschehen kann:
-\[
-\frac23 = A_0x_0^2 + A_1x_1^2 = 2x_0^2
-\quad\Rightarrow\quad
-x_0 = \frac{1}{\sqrt{3}}, x_1 = -\frac{1}{\sqrt{3}}
-\]
-Damit ist das Problem gelöst: das Integral eines Polynoms vom Grad 3
-im Interval $[-1,1]$ ist exakt gegeben durch
-\[
-\int_{-1}^1 p(x)\,dx
-=
-p\biggl(-\frac{1}{\sqrt{3}}\biggr)
-+
-p\biggl(\frac{1}{\sqrt{3}}\biggr).
-\]
-Das Integral kann also durch nur zwei Auswertungen des Polynoms
-exakt bestimmt werden.
-
-Im Laufe der Lösung des Gleichungssystems wurden die Gewichte $A_i$
-mit bestimmt.
-Es ist aber auch möglich, die Gewichte zu bestimmen, wenn man die
-Stützstellen kennt.
-Nach \eqref{buch:integral:gaussquadratur:eqn:Aidef}
-sind sie die $A_i$ gegeben als Integrale der Polynome
-$l_i(x)$, die im vorliegenden Fall linear sind:
-\begin{align*}
-l_0(x)
-&=
-\frac{x-x_1}{x_0-x_1}
-=
-\frac{x-\frac1{\sqrt{3}}}{-\frac{2}{\sqrt{3}}}
-=
-\frac12(1-\sqrt{3}x)
-\\
-l_1(x)
-&=
-\frac{x-x_0}{x_1-x_0}
-=
-\frac{x+\frac1{\sqrt{3}}}{\frac{2}{\sqrt{3}}}
-=
-\frac12(1+\sqrt{3}x)
-\end{align*}
-Diese haben die Integrale
-\[
-\int_{-1}^1\frac12(1\pm\sqrt{3}x)\,dx
-=
-\int_{-1}^1 \frac12\,dx
-=
-1,
-\]
-da das Polynom $x$ verschwindendes Integral hat.
-Dies stimmt mit $A_0=A_1=1$ überein.
-\label{buch:integral:beispiel:gaussquadraturn1}
-\end{beispiel}
-
-Das eben vorgestellt Verfahren kann natürlich auf beliebiges $n$
-verallgemeinert werden.
-Allerdings ist die Rechnung zur Bestimmung der Stützstellen und
-Gewichte sehr mühsam.
-
-\subsubsection{Stützstellen und Orthogonalpolynome}
-Sei $R_n=\{p(X)\in\mathbb{R}[X] \mid \deg p\le n\}$ der Vektorraum
-der Polynome vom Grad $n$.
-
-\begin{satz}
-\label{buch:integral:satz:gaussquadratur}
-Sei $p$ ein Polynom vom Grad $n$, welches auf allen Polynomen in $R_{n-1}$
-orthogonal sind.
-Seien ausserdem $x_0<x_1<\dots<x_n$ Stützstellen im Intervall $[-1,1]$ 
-und $A_i\in\mathbb{R}$ Gewichte derart dass
-\[
-\int_{-1}^1 f(x)\,dx =
-\sum_{i=0}^n A_if(x_i)
-\]
-für jedes Polynom $f$ vom Grad höchstens $2n-1$, dann sind die Zahlen
-$x_i$ die Nullstellen des Polynoms $p$.
-\end{satz}
-
-\begin{proof}[Beweis]
-Sei $f(x)$ ein beliebiges Polynom vom Grad $2n-1$.
-Nach dem Polynomdivisionsalgorithmus gibt es
-Polynome $q,r\in R_{n-1}$ derart, dass $f=qp+r$.
-Dann ist das Integral von $f$ gegeben durch
-\[
-\int_{-1}^1 f(x)\,dx
-=
-\int_{-1}^1q(x) p(x)\,dx + \int_{-1}^1 r(x)\,dx
-=
-\langle q,p\rangle + \int_{-1}^1 r(x)\,dx.
-\]
-Da $p\perp R_{n-1}$ folgt insbesondere, dass $\langle q,p\rangle=0$.
-
-Da die Integrale auch aus den Werten in den Stützstellen berechnet
-werden können, muss auch
-\[
-0
-=
-\int_{-1}^1 q(x)p(x)\,dx
-=
-\sum_{i=0}^n q(x_i)p(x_i)
-\]
-für jedes beliebige Polynom $q\in R_{n-1}$ gelten.
-Da man für $q$ die Interpolationspolynome $l_j(x)$ verwenden
-kann, den Grad $n-1$ haben, folgt
-\[
-0
-=
-\sum_{i=0}^n
-l_j(x_i)p(x_i)
-=
-\sum_{i=0}^n \delta_{ij}p(x_i),
-\]
-die Stützstellen $x_i$ müssen also die Nullstellen des Polynoms
-$p(x)$ sein.
-\end{proof}
-
-Der Satz~\ref{buch:integral:satz:gaussquadratur} begründet das
-{\em Gausssche Quadraturverfahren}.
-Die in Abschnitt~\ref{buch:integral:subsection:orthogonale-polynome}
-bestimmten Legendre-Polynome $P_n$ haben die im Satz
-verlangte Eigenschaft,
-dass sie auf allen Polynomen geringeren Grades orthogonal sind.
-Wählt man die $n$ Nullstellen von $P_n$ als Stützstellen, erhält man 
-automatisch ein Integrationsverfahren, welches für Polynome vom Grad
-$2n-1$ exakt ist.
-
-\begin{beispiel}
-Das Legendre-Polynom $P_2(x) = \frac12(3x^2-1)$ hat die
-Nullstellen $x=\pm1/\sqrt{3}$, dies sind genau die im Beispiel
-auf Seite~\pageref{buch:integral:beispiel:gaussquadraturn1} befundenen
-Sützstellen.
-\end{beispiel}
-
-\subsubsection{Fehler der Gauss-Quadratur}
-Das Gausssche Quadraturverfahren mit $n$ Stützstellen berechnet
-Integrale von Polynomen bis zum Grad $2n-1$ exakt.
-Für eine beliebige Funktion kann man die folgende Fehlerabschätzung
-angeben \cite[theorem 7.3.4, p.~497]{buch:numal}.
-
-\begin{satz}
-Seien $x_i$ die Stützstellen und $A_i$ die Gewichte einer
-Gaussschen Quadraturformel mit $n+1$ Stützstellen und sei $f$
-eine auf dem Interval $[-1,1]$ $2n+2$-mal stetig differenzierbare
-Funktion, dann ist der $E$ Fehler des Integrals
-\[
-\int_{-1}^1 f(x)\,dx = \sum_{i=0}^n A_i f(x_i) + E
-\]
-gegeben durch
-\begin{equation}
-E = \frac{f^{(2n+2)}(\xi)}{(2n+2)!}\int_{-1}^1 l(x)^2\,dx,
-\label{buch:integral:gaussquadratur:eqn:fehlerformel}
-\end{equation}
-wobei $l(x)=(x-x_0)(x-x_1)\dots(x-x_n)$  und $\xi$ ein geeigneter
-Wert im Intervall $[-1,1]$ ist.
-\end{satz}
-
-Dank dem Faktor $(2n+2)!$ im Nenner von
-\eqref{buch:integral:gaussquadratur:eqn:fehlerformel}
-geht der Fehler für grosses $n$ sehr schnell gegen $0$.
-Man kann auch zeigen, dass die mit Gauss-Quadratur mit $n+1$
-Stützstellen berechneten Näherungswerte eines Integrals einer
-stetigen Funktion $f(x)$ für $n\to\infty$ immer gegen den wahren
-Wert des Integrals konvergieren.
-
-\begin{table}
-\def\u#1{\underline{#1}}
-\centering
-\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|}
-\hline
-           n & \text{Gauss-Quadratur} & \text{Trapezregel} \\
-\hline
-\phantom{0}2 & 0.\u{95}74271077563381 & 0.\u{95}63709682242596 \\
-\phantom{0}4 & 0.\u{95661}28333449730 & 0.\u{956}5513401768598 \\
-\phantom{0}6 & 0.\u{9566114}812034364 & 0.\u{956}5847489712136 \\
-\phantom{0}8 & 0.\u{956611477}5028123 & 0.\u{956}5964425360520 \\
-          10 & 0.\u{9566114774905}637 & 0.\u{9566}018550715587 \\
-          12 & 0.\u{956611477490518}7 & 0.\u{9566}047952369826 \\
-          14 & 0.\u{95661147749051}72 & 0.\u{9566}065680717177 \\
-          16 & 0.\u{956611477490518}7 & 0.\u{9566}077187127541 \\
-          18 & 0.\u{956611477490518}3 & 0.\u{9566}085075898731 \\
-          20 & 0.\u{956611477490518}4 & 0.\u{9566}090718697414 \\
-\hline
-      \infty & 0.9566114774905183 & 0.9566114774905183 \\
-\hline
-\end{tabular}
-\caption{Integral von $\sqrt{1-x^2}$ zwischen $-\frac12$ und $\frac12$ 
-berechnet mit Gauss-Quadratur und der Trapezregel, aber mit zehnmal
-so vielen Stützstellen.
-Bereits mit 12 Stützstellen erreicht die Gauss-Quadratur
-Maschinengenauigkeit, die Trapezregel liefert auch mit 200 Stützstellen
-nicht mehr als 4 korrekte Nachkommastellen.
-\label{buch:integral:gaussquadratur:table0.5}}
-\end{table}
-
-%\begin{table}
-%\def\u#1{\underline{#1}}
-%\centering
-%\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|}
-%\hline
-%           n & \text{Gauss-Quadratur} & \text{Trapezregel} \\
-%\hline
-%\phantom{0}2 & 1.\u{5}379206741571556 & 1.\u{5}093105464758343 \\
-%\phantom{0}4 & 1.\u{51}32373472933831 & 1.\u{51}13754509594814 \\
-%\phantom{0}6 & 1.\u{512}1624557410367 & 1.\u{51}17610879524799 \\
-%\phantom{0}8 & 1.\u{51207}93479994321 & 1.\u{51}18963282632112 \\
-%          10 & 1.\u{51207}13859966004 & 1.\u{51}19589735776959 \\
-%          12 & 1.\u{512070}5317779943 & 1.\u{51}19930161260693 \\
-%          14 & 1.\u{5120704}334802813 & 1.\u{5120}135471596636 \\
-%          16 & 1.\u{5120704}216176006 & 1.\u{5120}268743889558 \\
-%          18 & 1.\u{5120704}201359081 & 1.\u{5120}360123137213 \\
-%          20 & 1.\u{5120704199}459651 & 1.\u{5120}425490275837 \\
-%\hline
-%      \infty & 1.5120704199172947 & 1.5120704199172947 \\
-%\hline
-%\end{tabular}
-%\end{table}
-
-%\begin{table}
-%\def\u#1{\underline{#1}}
-%\centering
-%\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|}
-%\hline
-%           n & \text{Gauss-Quadratur} & \text{Trapezregel} \\
-%\hline
-%\phantom{0}2 & 1.\u{}6246862220133462 & 1.\u{5}597986803933712 \\
-%\phantom{0}4 & 1.\u{5}759105515463101 & 1.\u{56}63563456168101 \\
-%\phantom{0}6 & 1.\u{5}706630058381434 & 1.\u{56}77252866190838 \\
-%\phantom{0}8 & 1.\u{56}94851106536780 & 1.\u{568}2298707696152 \\
-%          10 & 1.\u{56}91283195332679 & 1.\u{568}4701957758742 \\
-%          12 & 1.\u{56}90013806299465 & 1.\u{568}6030805941198 \\
-%          14 & 1.\u{5689}515434853885 & 1.\u{568}6841603070025 \\
-%          16 & 1.\u{5689}306507843050 & 1.\u{568}7372230731711 \\
-%          18 & 1.\u{5689}214761291217 & 1.\u{568}7738235496322 \\
-%          20 & 1.\u{56891}73062385982 & 1.\u{568}8001228530786 \\
-%\hline
-%      \infty & 1.5689135396691616 & 1.5689135396691616 \\
-%\hline
-%\end{tabular}
-%\end{table}
-
-\begin{table}
-\def\u#1{\underline{#1}}
-\centering
-\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|}
-\hline
-           n & \text{Gauss-Quadratur} & \text{Trapezregel} \\
-\hline
-\phantom{0}2 & 1.\u{}6321752373234928 & 1.\u{5}561048774629949 \\
-\phantom{0}4 & 1.\u{57}98691557134743 & 1.\u{5}660124134617943 \\
-\phantom{0}6 & 1.\u{57}35853681692993 & 1.\u{5}683353001877542 \\
-\phantom{0}8 & 1.\u{57}19413565928206 & 1.\u{5}692627503425400 \\
-          10 & 1.\u{57}13388119633434 & 1.\u{5}697323578543481 \\
-          12 & 1.\u{57}10710489948883 & 1.\u{570}0051217458713 \\
-          14 & 1.\u{570}9362135398341 & 1.\u{570}1784766276063 \\
-          16 & 1.\u{570}8621102742815 & 1.\u{570}2959121005231 \\
-          18 & 1.\u{570}8186779483588 & 1.\u{570}3793521168343 \\
-          20 & 1.\u{5707}919411931615 & 1.\u{570}4408749735932 \\
-\hline
-      \infty & 1.5707367072605671 & 1.5707367072605671 \\
-\hline
-\end{tabular}
-\caption{Integral von $\sqrt{1-x^2}$ zwischen $-0.999$ und $0.999$ 
-berechnet mit Gauss-Quadratur und der Trapezregel, aber mit zehnmal
-so vielen Stützstellen.
-Wegen der divergierenden Steigung des Integranden bei $\pm 1$ tun
-sich beide Verfahren sehr schwer. 
-Trotzdem erreich die Gauss-Quadrator 4 korrekte Nachkommastellen
-mit 20 Stütztstellen, während die Trapezregel auch mit 200 Stützstellen
-nur 3 korrekte Nachkommastellen findet.
-\label{buch:integral:gaussquadratur:table0.999}}
-\end{table}
-
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/060-integral/gq/gq.pdf}
-\caption{Approximationsfehler des
-Integrals~\eqref{buch:integral:gaussquadratur:bspintegral}
-in Abhängigkeit von $a$.
-Die Divergenz der Ableitung des Integranden an den Intervallenden
-$\pm 1$ führt zu schlechter Konvergenz des Verfahrens, wenn $a$
-nahe an $1$ ist.
-\label{buch:integral:gaussquadratur:fehler}}
-\end{figure}
-
-Zur Illustration der Genauigkeit der Gauss-Quadratur berechnen wir
-das Integral
-\begin{equation}
-\int_{-a}^a \sqrt{1-x^2}\,dx
-=
-\arcsin a + a \sqrt{1-a^2}
-\label{buch:integral:gaussquadratur:bspintegral}
-\end{equation}
-mit Gauss-Quadratur einerseits und dem Trapezverfahren
-andererseits.
-Da Gauss-Quadratur mit sehr viel weniger Sützstellen auskommt,
-berechnen wir die Trapeznäherung mit zehnmal so vielen Stützstelln.
-In den Tabellen~\ref{buch:integral:gaussquadratur:table0.5}
-und
-\ref{buch:integral:gaussquadratur:table0.999}
-sind die Resultate zusammengestellt.
-Für $a =\frac12$ zeigt
-Tabelle~\ref{buch:integral:gaussquadratur:table0.5}
-die sehr schnelle Konvergenz der Gauss-Quadratur, schon mit
-12 Stützstellen wird Maschinengenauigkeit erreicht.
-Das Trapezverfahren dagegen erreicht auch mit 200 Stützstellen nur
-4 korrekte Nachkommastellen.
-
-An den Stellen $x=\pm 1$ divergiert die Ableitung des Integranden
-des Integrals \eqref{buch:integral:gaussquadratur:bspintegral}.
-Da grösste und kleinste Stützstelle der Gauss-Quadratur immer
-deutlich vom Rand des Intervalls entfernt ist, kann das Verfahren
-diese ``schwierigen'' Stellen nicht erkennen.
-Tabelle~\ref{buch:integral:gaussquadratur:table0.999} zeigt, wie
-die Konvergenz des Verfahrens in diesem Fall sehr viel schlechter ist.
-Dies zeigt auch der Graph in
-Abbildung~\ref{buch:integral:gaussquadratur:fehler}.
-
-\subsubsection{Skalarprodukte mit Gewichtsfunktion}
-
diff --git a/buch/chapters/060-integral/images/Makefile b/buch/chapters/060-integral/images/Makefile
index 790bfb1..28b662e 100644
--- a/buch/chapters/060-integral/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/060-integral/images/Makefile
@@ -4,16 +4,10 @@
 #
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
-all:	erf.pdf legendre.pdf orthogonal.pdf
+all:	erf.pdf
 
 erf.pdf:	erf.tex erfpunkte.tex
 	pdflatex erf.tex
 erfpunkte.tex:	erfpunkte.m
 	octave erfpunkte.m
 
-legendrepaths.tex:	legendre.m
-	octave legendre.m
-legendre.pdf:	legendre.tex legendrepaths.tex
-	pdflatex legendre.tex
-orthogonal.pdf:	orthogonal.tex legendrepaths.tex
-	pdflatex orthogonal.tex
diff --git a/buch/chapters/060-integral/images/legendre.m b/buch/chapters/060-integral/images/legendre.m
deleted file mode 100644
index 8e8317d..0000000
--- a/buch/chapters/060-integral/images/legendre.m
+++ /dev/null
@@ -1,64 +0,0 @@
-#
-# legendre.m
-#
-# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
-#
-pkg load miscellaneous
-global N;
-N = 30;
-
-function retval = legendrepath(fn, n, name)
-	global N;
-	m = n * N;
-	c = legendrepoly(n)
-	x = (-m:m)/m;
-	v = polyval(c, x);
-	fprintf(fn, "\\def\\legendre%s{\n", name)
-	fprintf(fn, "\t   ({%.5f*\\dx},{%.5f*\\dy})", x(1), v(1));
-	for i = (2:length(v))
-		fprintf(fn, "\n\t-- ({%.5f*\\dx},{%.5f*\\dy})", x(i), v(i));
-		
-	endfor
-	fprintf(fn, "\n}\n");
-	ci = polyint(conv(c, c))
-polyval(ci, 1)
-	normalization = sqrt(polyval(ci, 1) - polyval(ci, -1))
-	fprintf(fn, "\\def\\normalization%s{%.5f}\n", name, normalization);
-endfunction
-
-function retval = legendreprodukt(fn, a, b, name)
-	global N;
-	n = max(a, b);
-	m = n * N;
-	pa = legendrepoly(a);
-	pb = legendrepoly(b);
-	p = conv(pa, pb);
-	x = (-m:m)/m;
-	v = polyval(p, x);
-	fprintf(fn, "\\def\\produkt%s{\n", name)
-	fprintf(fn, "\t   ({%.5f*\\dx},{%.5f*\\dy})", x(1), v(1));
-	for i = (2:length(v))
-		fprintf(fn, "\n\t-- ({%.5f*\\dx},{%.5f*\\dy})", x(i), v(i));
-	endfor
-	fprintf(fn, "\n}\n");
-endfunction
-
-fn = fopen("legendrepaths.tex", "w");
-legendrepath(fn,  1, "one");
-legendrepath(fn,  2, "two");
-legendrepath(fn,  3, "three");
-legendrepath(fn,  4, "four");
-legendrepath(fn,  5, "five");
-legendrepath(fn,  6, "six");
-legendrepath(fn,  7, "seven");
-legendrepath(fn,  8, "eight");
-legendrepath(fn,  9, "nine");
-legendrepath(fn, 10, "ten");
-
-legendreprodukt(fn, 4, 7, "ortho");
-legendreprodukt(fn, 4, 4, "vier");
-legendreprodukt(fn, 7, 7, "sieben");
-
-fclose(fn);
-
-
diff --git a/buch/chapters/060-integral/images/legendre.pdf b/buch/chapters/060-integral/images/legendre.pdf
deleted file mode 100644
index 554dc35..0000000
Binary files a/buch/chapters/060-integral/images/legendre.pdf and /dev/null differ
diff --git a/buch/chapters/060-integral/images/legendre.tex b/buch/chapters/060-integral/images/legendre.tex
deleted file mode 100644
index 8409da0..0000000
--- a/buch/chapters/060-integral/images/legendre.tex
+++ /dev/null
@@ -1,99 +0,0 @@
-%
-% legendre.tex -- plots of legendre polynomials
-%
-% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
-%
-\documentclass[tikz]{standalone}
-\usepackage{amsmath}
-\usepackage{times}
-\usepackage{txfonts}
-\usepackage{pgfplots}
-\usepackage{csvsimple}
-\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
-\begin{document}
-\def\skala{6.5}
-\input{legendrepaths.tex}
-\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
-
-\definecolor{fone}{rgb}{1,0,0}
-\definecolor{ftwo}{rgb}{1.0,0,0.8}
-\definecolor{fthree}{rgb}{0.8,0,1}
-\definecolor{ffour}{rgb}{0,0,1}
-\definecolor{ffive}{rgb}{0,0.8,1}
-\definecolor{fsix}{rgb}{0,1,1}
-\definecolor{fseven}{rgb}{0,0.6,0}
-\definecolor{feight}{rgb}{0.2,1,0.6}
-\definecolor{fnine}{rgb}{0.6,0.8,0.2}
-\definecolor{ften}{rgb}{1,0.4,0}
-
-\def\dx{1}
-\def\dy{0.25}
-
-\def\achsen{
-	\draw[->] ({-1-(0.1/\skala)},0) -- ({1+(0.3/\skala)},0)
-		coordinate[label={$x$}];
-	\draw[->] (0,{-(\dy)-(0.1/\skala)}) -- (0,{(\dy)+(0.3/\skala)})
-		coordinate[label={right:$y$}];
-	\foreach \x in {-1,-0.9,...,1.001}{
-		\draw ({\dx*\x},{-0.05/\skala}) -- ({\dx*\x},{0.05/\skala});
-	}
-	\foreach \x in {-1,-0.5,0.5,1}{
-		\draw ({-0.05/\skala},{\dy*\x}) -- ({0.05/\skala},{\dy*\x});
-		\node at ({\dx*\x},{-0.05/\skala}) [below] {$\mathstrut\x$};
-		\node at ({-0.05/\skala},{\dy*\x}) [left] {$\mathstrut\x$};
-	}
-}
-
-\begin{scope}[yshift=0cm]
-	\node[color=fone] at (-0.70,{-0.9*\dy}) [right] {$n=1\mathstrut$};
-	\node[color=ftwo] at (-0.90,{0.9*\dy}) [right] {$n=2\mathstrut$};
-	\draw[line width=1.4pt,color=fone] \legendreone;
-	\draw[line width=1.4pt,color=ftwo] \legendretwo;
-	\achsen
-\end{scope}
-
-\begin{scope}[yshift=-0.6cm]
-	\node[color=fthree] at (-0.96,{-0.9*\dy}) [right] {$n=3\mathstrut$};
-	\node[color=ffour] at (-0.96,{0.9*\dy}) [right] {$n=4\mathstrut$};
-	\draw[line width=1.4pt,color=fthree] \legendrethree;
-	\draw[line width=1.4pt,color=ffour] \legendrefour;
-	\achsen
-\end{scope}
-
-\begin{scope}[yshift=-1.2cm]
-	\node[color=ffive] at (-0.96,{-0.9*\dy}) [right] {$n=5\mathstrut$};
-	\node[color=fsix] at (-0.96,{0.9*\dy}) [right] {$n=6\mathstrut$};
-	\draw[line width=1.4pt,color=ffive] \legendrefive;
-	\draw[line width=1.4pt,color=fsix] \legendresix;
-	\achsen
-\end{scope}
-
-\begin{scope}[yshift=-1.8cm]
-	\node[color=fseven] at (-0.96,{-0.9*\dy}) [right] {$n=7\mathstrut$};
-	\node[color=feight] at (-0.96,{0.9*\dy}) [right] {$n=8\mathstrut$};
-	\draw[line width=1.4pt,color=fseven] \legendreseven;
-	\draw[line width=1.4pt,color=feight] \legendreeight;
-	\achsen
-\end{scope}
-
-\begin{scope}[yshift=-2.4cm]
-	\node[color=fnine] at (-0.96,{-0.9*\dy}) [right] {$n=9\mathstrut$};
-	\node[color=ften] at (-0.96,{0.9*\dy}) [right] {$n=10\mathstrut$};
-	\draw[line width=1.4pt,color=fnine] \legendrenine;
-	\draw[line width=1.4pt,color=ften] \legendreten;
-	\achsen
-\end{scope}
-
-%\draw[line width=1.4pt,color=ftwo] \legendretwo;
-%\draw[line width=1.4pt,color=fthree] \legendrethree;
-%\draw[line width=1.4pt,color=ffour] \legendrefour;
-%\draw[line width=1.4pt,color=ffive] \legendrefive;
-%\draw[line width=1.4pt,color=fsix] \legendresix;
-%\draw[line width=1.4pt,color=fseven] \legendreseven;
-%\draw[line width=1.4pt,color=feight] \legendreeight;
-%\draw[line width=1.4pt,color=fnine] \legendrenine;
-%\draw[line width=1.4pt,color=ften] \legendreten;
-
-\end{tikzpicture}
-\end{document}
-
diff --git a/buch/chapters/060-integral/images/orthogonal.pdf b/buch/chapters/060-integral/images/orthogonal.pdf
deleted file mode 100644
index f7abb5e..0000000
Binary files a/buch/chapters/060-integral/images/orthogonal.pdf and /dev/null differ
diff --git a/buch/chapters/060-integral/images/orthogonal.tex b/buch/chapters/060-integral/images/orthogonal.tex
deleted file mode 100644
index 8600281..0000000
--- a/buch/chapters/060-integral/images/orthogonal.tex
+++ /dev/null
@@ -1,79 +0,0 @@
-%
-% orthogonal.tex -- plots of legendre polynomials
-%
-% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
-%
-\documentclass[tikz]{standalone}
-\usepackage{amsmath}
-\usepackage{times}
-\usepackage{txfonts}
-\usepackage{pgfplots}
-\usepackage{csvsimple}
-\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
-\begin{document}
-\def\skala{6}
-\input{legendrepaths.tex}
-\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
-
-\definecolor{fone}{rgb}{1,0,0}
-\definecolor{ftwo}{rgb}{1.0,0,0.8}
-\definecolor{fthree}{rgb}{0.8,0,1}
-\definecolor{ffour}{rgb}{0,0,1}
-\definecolor{ffive}{rgb}{0,0.8,1}
-\definecolor{fsix}{rgb}{0,1,1}
-\definecolor{fseven}{rgb}{0,0.6,0}
-\definecolor{feight}{rgb}{0.2,1,0.6}
-\definecolor{fnine}{rgb}{0.6,0.8,0.2}
-\definecolor{ften}{rgb}{1,0.4,0}
-
-\def\dx{1}
-\def\Dy{3}
-\def\dy{3}
-
-\begin{scope}
-\clip (-1,-0.6) rectangle (1,1);
-
-%\pgfmathparse{\Dy/(\normalizationfour*\normalizationfour)}
-%\xdef\dy{\pgfmathresult}
-\fill[color=ffour!70,opacity=0.5] (-1,0) -- \produktvier -- (1,0) -- cycle;
-
-%\pgfmathparse{\Dy/(\normalizationeight*\normalizationeight)}
-%\xdef\dy{\pgfmathresult}
-\fill[color=fseven!70,opacity=0.5] (-1,0) -- \produktsieben -- (1,0) -- cycle;
-
-%\pgfmathparse{\Dy/(\normalizationfour*\normalizationeight)}
-%\xdef\dy{\pgfmathresult}
-\fill[color=red!50,opacity=0.5] (-1,0) -- \produktortho -- (1,0) -- cycle;
-
-%\pgfmathparse{\Dy/\normalizationfour}
-%\xdef\dy{\pgfmathresult}
-%\draw[line width=1.4pt,color=ffour] \legendrefour;
-%
-%\pgfmathparse{\Dy/\normalizationeight}
-%\xdef\dy{\pgfmathresult}
-%\draw[line width=1.4pt,color=feight] \legendreeight;
-
-%\pgfmathparse{\Dy/(\normalizationfour*\normalizationeight)}
-%\xdef\dy{\pgfmathresult}
-\draw[line width=1.4pt,color=red] \produktortho;
-
-\end{scope}
-
-\draw[->] ({-1-(0.1/\skala)},0) -- ({1+(0.3/\skala)},0)
-	coordinate[label={$x$}];
-\draw[->] (0,{-{0.2*\Dy}-(0.1/\skala)}) -- (0,{1+(0.3/\skala)})
-	coordinate[label={right:$y$}];
-\foreach \x in {-1,-0.9,...,1.001}{
-	\draw ({\dx*\x},{-0.1/\skala}) -- ({\dx*\x},{0.1/\skala});
-}
-\foreach \y in {-0.2,-0.1,0.1,0.2,0.3}{
-	\draw ({-0.1/\skala},{\Dy*\y}) -- ({0.1/\skala},{\Dy*\y});
-	\node at ({-0.1/\skala},{\Dy*\y}) [left] {$\mathstrut\y$};
-}
-\foreach \x in {-1,-0.5,0.5,1}{
-	\node at ({\dx*\x},{-0.1/\skala}) [below] {$\mathstrut\x$};
-}
-
-\end{tikzpicture}
-\end{document}
-
diff --git a/buch/chapters/060-integral/jacobi.tex b/buch/chapters/060-integral/jacobi.tex
deleted file mode 100644
index c0e80ec..0000000
--- a/buch/chapters/060-integral/jacobi.tex
+++ /dev/null
@@ -1,8 +0,0 @@
-%
-% jacobi.tex
-%
-% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostsdchweizer Fachhochschule
-%
-\subsection{Jacobi-Polynome
-\label{buch:integrale:subsection:jacobi-polynome}}
-
diff --git a/buch/chapters/060-integral/legendredgl.tex b/buch/chapters/060-integral/legendredgl.tex
deleted file mode 100644
index 6c8a1df..0000000
--- a/buch/chapters/060-integral/legendredgl.tex
+++ /dev/null
@@ -1,368 +0,0 @@
-%
-% legendredgl.tex
-%
-% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
-%
-\subsection{Orthogonale Polynome und Differentialgleichungen}
-Legendre hat einen ganz anderen Zugang zu den nach ihm benannten
-Polynomen gefunden.
-Er hat sie gefunden als die Lösungen einer speziellen Differentialgleichungen.
-In diesem Abschnitt sollen diese Funktionen mit der Potenzreihen-Methode
-wiedergefunden werden.
-Dabei stellt sich heraus, dass diese Polynome auch Eigenfunktionen eines
-selbstadjungierten Differentialgoperator sind.
-Die Orthogonalität wird dann aus einer Verallgemeinerung der bekannten
-Eingeschaft folgen, dass Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix zu 
-verschiedenen Eigenwerten orthogonal sind.
-
-\subsubsection{Legendre-Differentialgleichung}
-Die {\em Legendre-Differentialgleichung} ist die Differentialgleichung
-\begin{equation}
-(1-x^2) y'' - 2x y' + n(n+1) y = 0
-\label{buch:integral:eqn:legendre-differentialgleichung}
-\end{equation}
-für eine Funktion $y(x)$ auf dem Intervall $[-1,1]$.
-
-Sei $y(x)$ eine Lösung der Differentialgleichung
-\eqref{buch:integral:eqn:legendre-differentialgleichung}.
-Setzt man $y_s(x)=y(-x)$ in die Differentialgleichung ein, erhält
-man
-\[
-(1-x^2)y_s''(x) - 2x y'_s(x) + n(n+1)y_s(x)
-=
-(1-x^2)y''(-x) +2x y(-x) +n(n+1)y(-x).
-\]
-Ersetzt man $t=-x$, dann wird daraus
-\[
-(1-x^2)y''(t) -2t y(t) + n(n+1) y(t) = 0
-\]
-aus der Differentialgleichung
-\eqref{buch:integral:eqn:legendre-differentialgleichung}.
-Insbesondere ist die gespiegelte Funktion $y_s(x)$ ebenfalls
-eine Lösung der Differentialgleichung.
-
-Ist $y(x)$ eine Lösung der Differentialgleichung ist, dann lässt
-sie sich in die Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion
-\[
-\left.
-\begin{aligned}
-y_g(x) &= \frac{y(x)+y(-x)}{2}\\
-y_u(x) &= \frac{y(x)-y(-x)}{2}
-\end{aligned}
-\quad
-\right\}
-\quad
-\Rightarrow
-\quad
-y(x) = y_g(x) + y_u(x)
-\]
-zerlegen, die als Linearkombinationen der beiden Lösungen
-$y(x)$ und $y_s(x)$ ebenfalls Lösungen der Differentialgleichung
-sind.
-
-\subsubsection{Potenzreihenlösung}
-Wir suchen eine Lösung in Form einer Potenzreihe um $x=0$ und 
-verwenden dazu den Ansatz
-\[
-y(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+ \dots = \sum_{k=0}^\infty a_kx^k.
-\]
-\begin{align*}
-(1-x^2) \sum_{k=2}^\infty k(k-1)a_kx^{k-2}
--2x\sum_{k=0}^\infty ka_kx^{k-1}
-+
-n(n+1)\sum_{k=0}^\infty  a_kx^k
-&=
-0
-\\
-\sum_{k=0}^\infty (k+2)(k+1)a_{k+2}x^k
--
-\sum_{k=2}^\infty k(k-1)a_kx^k
--
-2\sum_{k=1}^\infty ka_kx^k
-+
-n(n+1)\sum_{k=0}^\infty  a_kx^k
-&=
-0
-\end{align*}
-Die Koeffizienten zur Potenz $k$ sind daher
-\begin{align}
-k&=0:
-&
-0&=
-2a_2+n(n+1)a_0
-\notag
-\\
-&&
-a_2&=-\frac{n(n+1)}{2}a_0
-\notag
-\\
-k&=1:
-&
-0&=
-6a_3-2a_1+n(n+1)a_1
-\notag
-\\
-&&
-a_3&= \frac{2-n(n+1)}{6}a_1
-\notag
-\\
-k&>1:
-&
-0&=
-(k+2)(k+1)a_{k+2} -k(k-1)a_k -2ka_k +n(n+1) a_k
-\notag
-\\
-&&
-a_{k+2}
-&=
-\frac{ k(k+1)-n(n+1) }{(k+2)(k+1)}
-a_k
-\label{buch:integral:legendre-dgl:eqn:akrek}
-\end{align}
-Wenn $a_1=0$ und $a_0\ne 1$ ist, dann ist die Funktion $y(x)$ gerade,
-alle ungeraden Koeffizienten verschwinden.
-Ebenso verschwinden alle geraden Koeffizienten, wenn $a_0=0$ und $a_1\ne 0$.
-Für jede Lösung $y(x)$ der Differentialgleichung ist
-$y_g(x)$ ein Lösung mit $a_1=0$ und $y_u(x)$ eine Lösung mit $a_0=0$.
-Wir können die Diskussion der Lösungen daher auf gerade oder ungerade
-Lösungen einschränken.
-
-Gesucht ist jetzt eine Lösung in Form eines Polynoms.
-In diesem Fall müssen die Koeffizienten $a_k$ ab einem
-gewissen Index verschwinden.
-Dies tritt nach \eqref{buch:integral:legendre-dgl:eqn:akrek} genau
-dann auf, wenn der Zähler für ein $k$ verschwindet.
-Folglich gibt es genau dann Polynomlösungen der Differentialgleichungen,
-wenn $n$ eine natürlich Zahl ist.
-Ausserdem ist die Lösung ein Polynom $\bar{P}_n(x)$ vom Grad $n$.
-Das Polynom soll wieder so normiert sein, dass $\bar{P}_n(1)=1$ ist.
-
-Die Lösungen der Differentialgleichungen können jetzt explizit
-berechnet werden.
-Zunächst ist $\bar{P}_0(x)=1$ und $\bar{P}_1(x)=x$.
-Für $n=2$ setzen wir zunächst $a_0=1$ und $a_1=0$ und erhalten
-\[
-y(x)
-=
-1 + \frac{0(0+1) - 2(2+1)}{(0+2)(0+1)}a_0 x^2
-=
-1
--3x^2
-\qquad\text{oder}\qquad
-\bar{P}_3(x) = \frac12(3x^2-1).
-\]
-Für $n=3$ starten wir von $a_1=1$ und $a_0=0$, was zunächst $a_2=0$
-impliziert.
-Für $a_3$ finden wir
-\[
-a_3=\frac{1(1+1)-3(3+1)}{(1+2)(1+1)} = -\frac53
-\qquad\Rightarrow\qquad
-y(x) = x-\frac53x^3
-\qquad\Rightarrow\qquad
-\bar{P}_3(x) = \frac12(5x^3-3x).
-\]
-Dies stimmt überein mit den früher gefundenen Ausdrücken für
-die Legendre-Polynome.
-
-Die Potenzreihenlösung zeigt zwar, dass es für jedes $n\in\mathbb{N}$
-eine Polynomlösung $\bar{P}_n(x)$ vom Grad $n$ gibt.
-Dies kann aber nicht erklären, warum die so gefundenen Polynome
-orthogonal sind.
-
-\subsubsection{Eigenfunktionen}
-Die Differentialgleichung
-\eqref{buch:integral:eqn:legendre-differentialgleichung}
-Kann mit dem Differentialoperator
-\[
-D = \frac{d}{dx}(1-x^2)\frac{d}{dx}
-\]
-als
-\[
-Dy + n(n+1)y = 0
-\]
-geschrieben werden.
-Tatsächlich ist
-\[
-Dy
-=
-\frac{d}{dx} (1-x^2) \frac{d}{dy}
-=
-\frac{d}{dx} (1-x^2)y'
-=
-(1-x^2)y'' -2x y'.
-\]
-Dies bedeutet, dass die Lösungen $\bar{P}_n(x)$ Eigenfunktionen
-des Operators $D$ zum Eigenwert $n(n+1)$ sind:
-\[
-D\bar{P}_n = -n(n+1) \bar{P}_n.
-\]
-
-\subsubsection{Orthogonalität von $\bar{P}_n$ als Eigenfunktionen}
-Ein Operator $A$ auf Funktionen heisst {\em selbstadjungiert}, wenn
-für zwei beliebige Funktionen $f$ und $g$ gilt
-\[
-\langle Af,g\rangle = \langle f,Ag\rangle
-\]
-gilt.
-Im vorliegenden Zusammenhang möchten wir die Eigenschaft nutzen,
-dass Eigenfunktionen eines selbstadjungierten Operatores zu verschiedenen
-Eigenwerten orthogonal sind.
-Dazu seien $Df = \lambda f$ und $Dg=\mu g$ und wir rechnen
-\begin{equation}
-\renewcommand{\arraycolsep}{2pt}
-\begin{array}{rcccrl}
-\langle Df,g\rangle &=& \langle \lambda f,g\rangle &=& \lambda\phantom{)}\langle f,g\rangle
-&\multirow{2}{*}{\hspace{3pt}$\biggl\}\mathstrut-\mathstrut$}\\
-=\langle f,Dg\rangle &=& \langle f,\mu g\rangle &=& \mu\phantom{)}\langle f,g\rangle&
-\\[2pt]
-\hline
-         0           & &                        &=& (\lambda-\mu)\langle f,g\rangle&
-\end{array}
-\label{buch:integrale:eqn:eigenwertesenkrecht}
-\end{equation}
-Da $\lambda-\mu\ne 0$ ist, muss $\langle f,g\rangle=0$ sein.
-
-Der Operator $D$ ist selbstadjungiert, d.~h.
-für zwei beliebige zweimal stetig differenzierbare Funktion $f$ und $g$
-auf dem Intervall $[-1,1]$ gilt
-\begin{align*}
-\langle Df,g\rangle
-&=
-\int_{-1}^1 (Df)(x) g(x) \,dx
-\\
-&=
-\int_{-1}^1
-\biggl(\frac{d}{dx} (1-x^2)\frac{d}{dx}f(x)\biggr) g(x)
-\,dx
-\\
-&=
-\underbrace{
-\biggl[
-\biggl((1-x^2)\frac{d}{dx}f(x)\biggr) g(x)
-\biggr]_{-1}^1
-}_{\displaystyle = 0}
--
-\int_{-1}^1
-\biggl((1-x^2)\frac{d}{dx}f(x)\biggr) \frac{d}{dx}g(x)
-\,dx
-\\
-&=
--
-\int_{-1}^1
-\biggl(\frac{d}{dx}f(x)\biggr) \biggl((1-x^2)\frac{d}{dx}g(x)\biggr)
-\,dx
-\\
-&=
--
-\underbrace{
-\biggl[
-f(x) \biggl((1-x^2)\frac{d}{dx}g(x)\biggr)
-\biggr]_{-1}^1}_{\displaystyle = 0}
-+
-\int_{-1}^1
-f(x) \biggl(\frac{d}{dx}(1-x^2)\frac{d}{dx}g(x)\biggr)
-\,dx
-\\
-&=
-\langle f,Dg\rangle.
-\end{align*}
-Dies beweist, dass $D$ selbstadjungiert ist.
-Da $\bar{P}_n$ Eigenwerte des selbstadjungierten Operators $D$ zu
-den verschiedenen Eigenwerten $-n(n+1)$ sind, folgt auch, dass
-die $\bar{P}_n$ orthogonale Polynome vom Grad $n$ sind, die die 
-gleiche Standardierdisierungsbedingung wie die Legendre-Polyonome
-erfüllen, also ist $\bar{P}_n(x)=P_n(x)$.
-
-\subsubsection{Legendre-Funktionen zweiter Art}
-%Siehe Wikipedia-Artikel \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Legendre-Polynom}
-%
-Die Potenzreihenmethode liefert natürlich auch Lösungen der
-Legendreschen Differentialgleichung, die sich nicht als Polynome
-darstellen lassen.
-Ist $n$ gerade, dann liefern die Anfangswerte $a_0=0$ und $a_1=1$ 
-eine ungerade Funktion, die Folge der Koeffizienten bricht
-aber nicht ab, vielmehr ist
-\begin{align*}
-a_{k+2}
-&=
-\frac{k(k+1)}{(k+1)(k+2)}a_k
-=
-\frac{k}{k+2}a_k.
-\end{align*}
-Durch wiederholte Anwendung dieser Rekursionsformel findet man
-\[
-a_{k}
-=
-\frac{k-2}{k}a_{k-2}
-=
-\frac{k-2}{k}\frac{k-4}{k-2}a_{k-4}
-=
-\frac{k-2}{k}\frac{k-4}{k-2}\frac{k-6}{k-4}a_{k-6}
-=
-\dots
-=
-\frac{1}{k}a_1.
-\]
-Die Lösung hat daher die Reihenentwicklung
-\[
-Q_0(x) = x+\frac13x^3 + \frac15x^5 + \frac17x^7+\dots
-=
-\frac12\log \frac{1+x}{1-x}
-=
-\operatorname{artanh}x.
-\]
-Die Funktion $Q_0(x)$ heisst {\em Legendre-Funktion zweiter Art}.
-
-Für $n=1$ wird die Reihenentwicklung $a_0=1$ und $a_1=0$ etwas
-interessanter.
-Die Rekursionsformel für die Koeffizienten ist
-\[
-a_{k+2}
-=
-\frac{k(k+1)-2}{(k+1)(k+2)} a_k.
-\qquad\text{oder}\qquad
-a_k
-=
-\frac{(k-1)(k-2)-2}{k(k-1)}
-a_{k-2}
-\]
-Man erhält der Reihe nach
-\begin{align*}
-a_2 &= \frac{-2}{2\cdot 1} a_0 = -1
-\\
-a_3 &= 0
-\\
-a_4 &= \frac{3\cdot 2-2}{4\cdot 3} a_2 = \frac{4}{4\cdot 3}a_2 = \frac13a_2 = -\frac13
-\\
-a_5 &= 0
-\\
-a_6 &= \frac{5\cdot 4-2}{6\cdot 5}a_4 = \frac{18}{6\cdot 5}a_4 = -\frac15
-\\
-a_7 &= 0
-\\
-a_8 &= \frac{7\cdot 6-2}{8\cdot 7}a_6 = \frac{40}{8\cdot 7} = -\frac17
-\\
-a_9 &= 0
-\\
-a_{10} &= \frac{9\cdot 8-2}{10\cdot 9}a_8 = \frac{70}{10\cdot 9} = -\frac19,
-\end{align*}
-woraus sich die Reihenentwicklung
-\begin{align*}
-y(x)
-&=
--x^2 -\frac13x^4 -\frac15x^6 - \frac17x^8 -\frac19x^{10}-\dots
-\\
-&=
--x\biggl(x+\frac13x^3 + \frac15x^5 + \frac17x^7 + \frac19x^9+\dots\biggr)
-=
--x\operatorname{artanh}x.
-\end{align*}
-Die {\em Legendre-Funktionen zweiter Art} $Q_n(x)$  werden allerdings
-so definiert, dass gewisse Rekursionsformeln für die Legendre-Polynome,
-die wir hier nicht hergeleitet haben, auch für die $Q_n(x)$ gelten.
-In dieser Normierung muss statt des eben berechneten $y(x)$ die Funktion
-\[
-Q_1(x) = x \operatorname{artanh}x-1
-\]
-verwendet werden.
-
diff --git a/buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex b/buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex
deleted file mode 100644
index 0ea9c0c..0000000
--- a/buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex
+++ /dev/null
@@ -1,746 +0,0 @@
-%
-% orthogonal.tex
-%
-% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
-%
-\section{Orthogonalität
-\label{buch:integral:section:orthogonale-polynome}}
-\rhead{Orthogonale Polynome}
-Die Fourier-Theorie basiert auf der Idee, Funktionen durch 
-Funktionenreihen mit Summanden zu bilden, die im Sinne eines
-Skalarproduktes orthogonal sind, welches mit Hilfe eines Integrals
-definiert sind.
-Solche Funktionenfamilien treten jedoch auch als Lösungen von
-Differentialgleichungen.
-Besonders interessant wird die Situation, wenn die Funktionen 
-Polynome sind.
-
-%
-% Skalarprodukt
-%
-\subsection{Skalarprodukt}
-Der reelle Vektorraum $\mathbb{R}^n$ trägt das Skalarprodukt
-\[
-\langle\;\,,\;\rangle
-\colon
-\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}
-:
-(x,y)\mapsto \langle x, y\rangle = \sum_{k=1}^n x_iy_k,
-\]
-welches viele interessante Anwendungen ermöglicht.
-Eine orthonormierte Basis macht es zum Beispiel besonders leicht,
-eine Zerlegung eines Vektors in dieser Basis zu finden.
-In diesem Abschnitt soll zunächst an die Eigenschaften erinnert
-werden, die zu einem nützlichen 
-
-\subsubsection{Eigenschaften eines Skalarproduktes}
-Das Skalarprodukt erlaubt auch, die Länge eines Vektors $v$
-als $|v| = \sqrt{\langle v,v\rangle}$ zu definieren.
-Dies funktioniert natürlich nur, wenn die Wurzel auch immer
-definiert ist, d.~h.~das Skalarprodukt eines Vektors mit sich
-selbst darf nicht negativ sein.
-Dazu dient die folgende Definition.
-
-\begin{definition}
-Sei $V$ ein reeller Vektorraum.
-Eine bilineare Abbildung
-\[
-\langle\;\,,\;\rangle
-\colon
-V\times V
-\to
-\mathbb{R}
-:
-(u,v) \mapsto \langle u,v\rangle.
-\]
-heisst {\em positiv definit}, wenn für alle Vektoren $v \in V$ mit
-$v\ne 0 \Rightarrow \langle v,v\rangle > 0$ 
-Die {\em Norm} eines Vektors $v$ ist
-$|v|=\sqrt{\langle v,v\rangle}$.
-\end{definition}
-
-Damit man mit dem Skalarprodukt sinnvoll rechnen kann, ist ausserdem
-erforderlich, dass es eine einfache Beziehung zwischen 
-$\langle x,y\rangle$ und $\langle y,x\rangle$ gibt.
-
-\begin{definition}
-Ein {\em Skalarprodukt} auf einem reellen Vektorraum $V$ ist eine
-positiv definite, symmetrische bilineare Abbildung
-\[
-\langle\;\,,\;\rangle
-\colon
-V\times V
-\to
-\mathbb{R}
-:
-(u,v) \mapsto \langle u,v\rangle.
-\]
-\end{definition}
-
-Das Skalarprodukt $\langle u,v\rangle=u^tv$ auf dem Vektorraum 
-$\mathbb{R}^n$ erfüllt die Definition ganz offensichtlich,
-sie führt auf die Komponentendarstellung
-\[
-\langle u,v\rangle = u^tv = \sum_{k=1}^n u_iv_i.
-\]
-Weitere Skalarprodukte ergeben ergeben sich mit jeder symmetrischen,
-positiv definiten Matrix $G$ und der Definition
-$\langle u,v\rangle_G=u^tGv$.
-Ein einfacher Spezialfall tritt auf, wenn $G$ eine Diagonalmatrix
-$\operatorname{diag}(w_1,\dots,w_n)$
-mit positiven Einträgen $w_i>0$ auf der Diagonalen ist.
-In diesem Fall schreiben wir
-\[
-\langle u,v\rangle_w
-=
-u^t\operatorname{diag}(w_1,\dots,w_n)v
-=
-\sum_{k=1}^n u_iv_i\,w_i
-\]
-und nennen $\langle \;\,,\;\rangle_w$ das {\em gewichtete Skalarprodukt}
-mit {\em Gewichten $w_i$}.
-
-\subsubsection{Skalarprodukte auf Funktionenräumen}
-Das Integral ermöglicht jetzt, ein Skalarprodukt auf dem reellen
-Vektorraum der stetigen Funktionen auf einem Intervall zu definieren.
-
-\begin{definition}
-Sei $V$ der reelle Vektorraum $C([a,b])$ der reellwertigen, stetigen
-Funktion auf dem Intervall $[a,b]$.
-Dann ist 
-\[
-\langle\;\,,\;\rangle
-\colon
-C([a,b]) \times C([a,b]) \to \mathbb{R}
-:
-(f,g) \mapsto \langle f,g\rangle = \int_a^b f(x)g(x)\,dx.
-\]
-ein Skalarprodukt.
-\end{definition}
-
-Die Definition ist offensichtlich symmetrisch in $f$ und $g$ und
-aus den Eigenschaften des Integrals ist klar, dass das Produkt
-bilinear ist:
-\begin{align*}
-\langle \lambda_1 f_1+\lambda_2f_2,g\rangle
-&=
-\int_a^b (\lambda_1f_(x) +\lambda_2f_2(x))g(x)\,dx
-=
-\lambda_1\int_a^b f_1(x) g(x)\,dx
-+
-\lambda_2\int_a^b f_2(x) g(x)\,dx
-\\
-&=
-\lambda_1\langle f_1,g\rangle
-+
-\lambda_2\langle f_2,g\rangle.
-\end{align*}
-Ausserdem ist es positiv definit, denn wenn $f(x_0) \ne 0$ ist,
-dann gibt es wegen der Stetigkeit von $f$ eine Umgebung
-$U=[x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon]$, derart, dass $|f(x)| > \frac12|f(x_0)|$
-ist für alle $x\in U$.
-Somit ist das Integral
-\[
-\langle f,f\rangle
-=
-\int_a^b |f(x)|^2\,dx
-\ge
-\int_{x_0-\varepsilon}^{x_0+\varepsilon} |f(x)|^2\,dx
-\ge
-\int_{x_0-\varepsilon}^{x_0+\varepsilon} \frac14|f(x_0)|^2\,dx
-=
-\frac{1}{4}|f(x_0)|^2\cdot 2\varepsilon
-=
-\frac{|f(x_0)|^2\varepsilon}{2}
->0,
-\]
-was beweist, dass $\langle\;,\;\rangle$ positiv definit und damit
-ein Skalarprodukt ist.
-
-Die Definition kann noch etwas verallgemeinert werden, indem 
-die Funktionswerte nicht überall auf dem Definitionsbereich 
-gleich gewichtet werden. 
-
-\begin{definition}
-Sei $w\colon [a,b]\to \mathbb{R}^+$ eine positive, stetige Funktion,
-dann ist
-\[
-\langle\;\,,\;\rangle_w
-\colon
-C([a,b]) \times C([a,b]) \to \mathbb{R}
-:
-(f,g) \mapsto \langle f,g\rangle_w = \int_a^b f(x)g(x)\,w(x)\,dx.
-\]
-das {\em gewichtete Skalarprodukt} mit {\em Gewichtsfunktion $w(x)$}.
-\end{definition}
-
-\subsubsection{Gram-Schmidt-Orthonormalisierung}
-In einem reellen Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt $\langle\;\,,\;\rangle$
-kann aus einer beleibigen Basis $b_1,\dots,b_n$ mit Hilfe des 
-Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahrens immer eine
-orthonormierte Basis $\tilde{b}_1,\dots,\tilde{b}_n$ Basis
-gewonnen werden.
-Es stellt sicher, dass für alle $k\le n$ gilt
-\[
-\langle b_1,\dots,b_k\rangle
-=
-\langle \tilde{b}_1,\dots,\tilde{b}_k\rangle.
-\]
-Zur Vereinfachung der Formeln schreiben wir $v^0=v/|v|$ für einen zu
-$v$ parallelen Einheitsvektor.
-Die Vektoren $\tilde{b}_i$ können mit Hilfe der Formeln
-\begin{align*}
-\tilde{b}_1
-&=
-(b_1)^0
-\\
-\tilde{b}_2
-&=
-\bigl(
-b_2
--
-\langle \tilde{b}_1,b_2\rangle \tilde{b}_1
-\bigr)^0
-\\
-\tilde{b}_3
-&=
-\bigl(
-b_3
--
-\langle \tilde{b}_1,b_3\rangle \tilde{b}_1
--
-\langle \tilde{b}_2,b_3\rangle \tilde{b}_2
-\bigr)^0
-\\
-&\;\vdots
-\\
-\tilde{b}_n
-&=
-\bigl(
-b_n
--
-\langle \tilde{b}_1,b_n\rangle \tilde{b}_1
--
-\langle \tilde{b}_2,b_n\rangle \tilde{b}_2
--\dots
--
-\langle \tilde{b}_{n-1},b_n\rangle \tilde{b}_{n-1}
-\bigr)^0
-\end{align*}
-iterativ berechnet werden.
-Dieses Verfahren lässt sich auch auf Funktionenräume anwenden.
-
-Die Normierung ist nicht unbedingt nötig und manchmal unangenehm,
-da die Norm unschöne Quadratwurzeln einführt.
-Falls es genügt, eine orthogonale Basis zu finden, kann darauf
-verzichtet werden, bei der Orthogonalisierung muss aber berücksichtigt
-werden, dass die Vektoren $\tilde{b}_i$ jetzt nicht mehr Einheitslänge
-haben.
-Die Formeln
-\begin{align*}
-\tilde{b}_0
-&=
-b_0
-\\
-\tilde{b}_1
-&=
-b_1
--
-\frac{\langle b_1,\tilde{b}_0\rangle}{\langle \tilde{b}_0,\tilde{b}_0\rangle}\tilde{b}_0
-\\
-\tilde{b}_2
-&=
-b_2
--
-\frac{\langle b_2,\tilde{b}_0\rangle}{\langle \tilde{b}_0,\tilde{b}_0\rangle}\tilde{b}_0
--
-\frac{\langle b_2,\tilde{b}_1\rangle}{\langle \tilde{b}_1,\tilde{b}_1\rangle}\tilde{b}_1
-\\
-&\;\vdots
-\\
-\tilde{b}_n
-&=
-b_n
--
-\frac{\langle b_n,\tilde{b}_0\rangle}{\langle \tilde{b}_0,\tilde{b}_0\rangle}\tilde{b}_0
--
-\frac{\langle b_n,\tilde{b}_1\rangle}{\langle \tilde{b}_1,\tilde{b}_1\rangle}\tilde{b}_1
--
-\dots
--
-\frac{\langle b_n,\tilde{b}_{n-1}\rangle}{\langle \tilde{b}_{n-1},\tilde{b}_{n-1}\rangle}\tilde{b}_{n-1}.
-\end{align*}
-berücksichtigen dies.
-
-\subsubsection{Selbstadjungierte Operatoren und Eigenvektoren}
-Symmetrische Matrizen spielen eine spezielle Rolle in der
-endlichdimensionalen linearen Algebra, weil sie sich immer
-mit einer orthonormierten Basis diagonalisieren lassen.
-In der vorliegenden Situation undendlichdimensionaler Vektorräume
-brauchen wir eine angepasste Definition.
-
-\begin{definition}
-Eine lineare Selbstabbildung $A\colon V\to V$
-eines Vektorrraums mit Skalarprodukt
-heisst {\em selbstadjungiert}, wenn für alle Vektoren $u,v\in V$
-heisst $\langle Au,v\rangle = \langle u,Av\rangle$.
-\end{definition}
-
-Es ist wohlbekannt, dass Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix
-zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal sind.
-Der Beweis ist direkt übertragbar, wir halten das Resultat hier
-für spätere Verwendung fest.
-
-\begin{satz}
-Sind $f$ und $g$ Eigenvektoren eines selbstadjungierten Operators $A$
-zu verschiedenen Eigenwerten $\lambda$ und $\mu$, dann sind $f$ und $g$
-orthogonal.
-\end{satz}
-
-\begin{proof}[Beweis]
-Im vorliegenden Zusammenhang möchten wir die Eigenschaft nutzen,
-dass Eigenfunktionen eines selbstadjungierten Operatores zu verschiedenen
-Eigenwerten orthogonal sind.
-Dazu seien $Df = \lambda f$ und $Dg=\mu g$ und wir rechnen
-\begin{equation*}
-\renewcommand{\arraycolsep}{2pt}
-\begin{array}{rcccrl}
-\langle Df,g\rangle &=& \langle \lambda f,g\rangle &=& \lambda\phantom{)}\langle f,g\rangle
-&\multirow{2}{*}{\hspace{3pt}$\biggl\}\mathstrut-\mathstrut$}\\
-=\langle f,Dg\rangle &=& \langle f,\mu g\rangle &=& \mu\phantom{)}\langle f,g\rangle&
-\\[2pt]
-\hline
-         0           & &                        &=& (\lambda-\mu)\langle f,g\rangle&
-\end{array}
-\end{equation*}
-Da $\lambda-\mu\ne 0$ ist, muss $\langle f,g\rangle=0$ sein.
-\end{proof}
-
-\begin{beispiel}
-Sei $C^1([0,2\pi], \mathbb{C})=C^1(S^1,\mathbb{C})$
-der Vektorraum der $2\pi$-periodischen differenzierbaren Funktionen mit
-dem Skalarprodukt 
-\[
-\langle f,g\rangle
-=
-\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \overline{f(t)}g(t)\,dt
-\]
-enthält die Funktionen $e_n(t) = e^{int}$.
-Der Operator
-\[
-D=i\frac{d}{dt}
-\]
-ist selbstadjungiert, denn mit Hilfe von partieller Integration erhält man
-\[
-\langle Df,g\rangle
-=
-\frac{1}{2\pi}
-\int_0^{2\pi}
-\underbrace{
-\overline{i\frac{df(t)}{dt}}
-}_{\uparrow}
-\underbrace{g(t)}_{\downarrow}
-\,dt
-=
-\underbrace{
-\frac{-i}{2\pi}
-\biggl[
-\overline{f(t)}g(t)
-\biggr]_0^{2\pi}
-}_{\displaystyle=0}
-+
-\frac{1}{2\pi}
-\int_0^{2\pi}
-\overline{f(t)}i\frac{dg(t)}{dt}
-\,dt
-=
-\langle f,Dg\rangle
-\]
-unter Ausnützung der $2\pi$-Periodizität der Funktionen.
-
-Die Funktionen $e_n(t)$ sind Eigenfunktionen des Operators $D$, denn
-\[
-De_n(t) = i\frac{d}{dt}e^{int} = -n e^{int} = -n e_n(t).
-\]
-Nach obigem Satz sind die Eigenfunktionen von $D$ orthogonal.
-\end{beispiel}
-
-Das Beispiel illustriert, dass orthogonale Funktionenfamilien
-ein automatisches Nebenprodukt selbstadjungierter Operatoren sind.
-
-%
-% Besselfunktionen also orthogonale Funktionenfamilie
-%
-\subsection{Bessel-Funktionen als orthogonale Funktionenfamilie}
-Auch die Besselfunktionen sind eine orthogonale Funktionenfamilie.
-Sie sind Funktionen differenzierbaren Funktionen $f(r)$ für $r>0$
-mit $f'(r)=0$ und für $r\to\infty$ nimmt $f(r)$ so schnell ab, dass
-auch $rf(r)$ noch gegen $0$ strebt.
-Das Skalarprodukt ist
-\[
-\langle f,g\rangle
-=
-\int_0^\infty r f(r) g(r)\,dr,
-\]
-als Operator verwenden wir
-\[
-A = \frac{d^2}{dr^2} + \frac{1}{r}\frac{d}{dr} + s(r),
-\]
-wobei $s(r)$ eine beliebige integrierbare Funktion sein kann.
-Zunächst überprüfen wir, ob dieser Operator wirklich selbstadjungiert ist.
-Dazu rechnen wir
-\begin{align}
-\langle Af,g\rangle
-&=
-\int_0^\infty
-r\,\biggl(f''(r)+\frac1rf'(r)+s(r)f(r)\biggr) g(r)
-\,dr
-\notag
-\\
-&=
-\int_0^\infty rf''(r)g(r)\,dr
-+
-\int_0^\infty f'(r)g(r)\,dr
-+
-\int_0^\infty s(r)f(r)g(r)\,dr.
-\notag
-\intertext{Der letzte Term ist symmetrisch in $f$ und $g$, daher
-ändern wir daran weiter nichts.
-Auf das erste Integral kann man partielle Integration anwenden und erhält}
-&=
-\biggl[rf'(r)g(r)\biggr]_0^\infty
--
-\int_0^\infty f'(r)g(r) + rf'(r)g'(r)\,dr
-+
-\int_0^\infty f'(r)g(r)\,dr
-+
-\int_0^\infty s(r)f(r)g(r)\,dr.
-\notag
-\intertext{Der erste Term verschwindet wegen der Bedingungen an die
-Funktionen $f$ und $g$.
-Der erste Term im zweiten Integral hebt sich gegen das
-zweite Integral weg.
-Der letzte Term ist das Skalarprodukt von $f'$ und $g'$.
-Somit ergibt sich
-}
-&=
--\langle f',g'\rangle
-+
-\int_0^\infty s(r) f(r)g(r)\,dr.
-\label{buch:integrale:orthogonal:besselsa}
-\end{align}
-Vertauscht man die Rollen von $f$ und $g$, erhält man das Gleiche, da im
-letzten Ausdruck~\eqref{buch:integrale:orthogonal:besselsa} die Funktionen
-$f$ und $g$ symmetrische auftreten.
-Damit ist gezeigt, dass der Operator $A$ selbstadjungiert ist.
-Es folgt nun, dass Eigenvektoren des Operators $A$ automatisch
-orthogonal sind.
-
-Eigenfunktionen von $A$ sind aber Lösungen der Differentialgleichung
-\[
-\begin{aligned}
-&&
-Af&=\lambda f
-\\
-&\Rightarrow\qquad&
-f''(r) +\frac1rf'(r) + s(r)f(r) &= \lambda f(r)
-\\
-&\Rightarrow\qquad&
-r^2f''(r) +rf'(r)+ (-\lambda r^2+s(r)r^2)f(r) &= 0
-\end{aligned}
-\]
-sind.
-
-Durch die Wahl $s(r)=1$ wird der Operator $A$ zum Bessel-Operator
-$B$ definiert in
-\eqref{buch:differentialgleichungen:bessel-operator}.
-Die Lösungen der Besselschen Differentialgleichung zu verschiedenen Werten
-des Parameters müssen also orthogonal sein, insbesondere sind die
-Besselfunktion $J_\nu(r)$ und $J_\mu(r)$ orthogonal wenn $\mu\ne\nu$ ist.
-
-%
-% Orthogonale Polynome
-%
-\subsection{Orthogonale Polynome
-\label{buch:integral:subsection:orthogonale-polynome}}
-Die Polynome $1,x,x^2,\dots,x^n$ bilden eine Basis des Vektorraums
-der Polynome vom Grad $\le n$.
-Bezüglich des Skalarproduktes
-\[
-\langle p,q\rangle
-=
-\int_{-1}^1 p(x)q(x)\,dx
-\]
-sind sie jedoch nicht orthogonal, denn es ist
-\[
-\langle x^i,x^j\rangle
-=
-\int_{-1}^1 x^{i+j}\,dx
-=
-\biggl[\frac{x^{i+j+1}}{i+j+1}\biggr]_{-1}^1
-=
-\begin{cases}
-\displaystyle
-\frac{2}{i+j+1}&\qquad\text{$i+j$ gerade}\\
-              0&\qquad\text{$i+j$ ungerade}.
-\end{cases}
-\]
-Wir können daher das Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren
-anwenden, um eine orthogonale Basis von Polynomen zu finden, was
-wir im Folgenden tun wollen.
-
-% XXX Orthogonalisierungsproblem so formulieren, dass klar wird,
-% XXX dass man ein "Normierungskriterium braucht.
-
-Da wir auf die Normierung verzichten, brauchen wir ein anderes
-Kriterium, welches die Polynome eindeutig festlegen kann.
-Wir bezeichnen das Polynom vom Grad $n$, das bei diesem Prozess
-entsteht, mit $P_n(x)$ und legen willkürlich aber traditionskonform
-fest, dass $P_n(1)=1$ sein soll.
-
-Das Skalarprodukt berechnet ein Integral eines Produktes von zwei
-Polynomen über das symmetrische Interval $[-1,1]$.
-Ist die eine gerade und die andere ungerade, dann ist das
-Produkt eine ungerade Funktion und das Skalarprodukt verschwindet.
-Sind beide Funktionen gerade oder ungerade, dann ist das Produkt
-gerade und das Skalarprodukt ist im Allgmeinen von $0$ verschieden.
-Dies zeigt, dass es tatsächlich etwas zu Orthogonalisieren gibt.
-
-Die ersten beiden Funktionen sind das konstante Polynom $1$ und
-das Polynome $x$.
-Nach obiger Beobachtung ist das Skalarprodukt $\langle 1,x\rangle=0$,
-also ist $P_1(x)=x$.
-Die Graphen der entstehenden Polynome sind in
-Abbildung~\ref{buch:integral:orthogonal:legendregraphen}
-dargestellt.
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/060-integral/images/legendre.pdf}
-\caption{Graphen der Legendre-Polynome $P_n(x)$ für $n=1,\dots,10$.
-\label{buch:integral:orthogonal:legendregraphen}}
-\end{figure}
-
-\begin{lemma}
-Die Polynome $P_{2n}(x)$ sind gerade, die Polynome $P_{2n+1}(x)$ sind
-ungerade Funktionen von $x$.
-\end{lemma}
-
-\begin{proof}[Beweis]
-Wir verwenden vollständige Induktion nach $n$.
-Wir wissen bereits, dass $P_0(x)=1$ und $P_1(x)=x$ die verlangten
-Symmetrieeigenschaften haben.
-Im Sinne der Induktionsannahme nehmen wir daher an, dass die
-Symmetrieeigenschaften für $P_k(x)$, $k<n$, bereits bewiesen sind.
-$P_n(x)$ entsteht jetzt durch Orthogonalisierung nach der Formel
-\[
-P_n(x)
-=
-x^n
--
-\langle P_{n-1},x^n\rangle P_{n-1}(x)
--
-\langle P_{n-2},x^n\rangle P_{n-2}(x)
--\dots-
-\langle P_1,x^n\rangle P_1(x)
--
-\langle P_0,x^n\rangle P_0(x).
-\]
-Die Skalarprodukte
-$\langle P_{n-1},x^n\rangle$,
-$\langle P_{n-3},x^n\rangle$, $\dots$ verschwinden alle, so dass
-$P_n(x)$ eine Linearkombination der Funktionen $x^n$, $P_{n-2}(x)$,
-$P_{n-4}(x)$ ist, die die gleiche Parität wie $x^n$ haben.
-Also hat auch $P_n(x)$ die gleiche Parität, was das Lemma beweist.
-\end{proof}
-
-Die Ortogonalisierung von $x^2$ liefert daher
-\[
-p(x) = x^2
--
-\frac{\langle x^2,P_0\rangle}{\langle P_0,P_0\rangle} P_0(x)
-=
-x^2 - \frac{\int_{-1}^1x^2\,dx}{\int_{-1}^11\,dx}
-=
-x^2 - \frac{\frac{2}{3}}{2}=x^2-\frac13
-\]
-Dieses Polynom erfüllt die Standardisierungsbedingung noch 
-nicht den $p(1)=\frac23$.
-Daraus leiten wir ab, dass
-\[
-P_2(x) = \frac12(3x^2-1)
-\]
-ist.
-
-Für $P_3(x)$ brauchen wir nur die Skalaprodukte
-\[
-\left.
-\begin{aligned}
-\langle x^3,P_1\rangle
-&=
-\int_{-1}^1  x^3\cdot x\,dx
-=
-\biggl[\frac15x^5\biggr]_{-1}^1
-=
-\frac25
-\qquad
-\\
-\langle P_1,P_1\rangle
-&=
-\int_{-1}^1 x^2\,dx
-=
-\frac23
-\end{aligned}
-\right\}
-\qquad
-\Rightarrow
-\qquad
-p(x) = x^3 - \frac{\frac25}{\frac23}x=x^3-\frac{3}{5}x
-\]
-Die richtige Standardisierung ergibt sich,
-indem man durch $p(1)=\frac25$ dividiert, also
-\[
-P_2(x) = \frac12(5x^3-3x).
-\]
-
-Die Berechnung weiterer Polynome verlangt, dass Skalarprodukte
-$\langle x^n,P_k\rangle$ berechnet werden müssen, was wegen
-der zunehmend komplizierten Form von $P_k$ etwas mühsam ist.
-Wir berechnen den Fall $P_4$.
-Dazu muss das Polynom $x^4$ um eine Linearkombination von
-$P_2$ und $P_0(x)=1$ korrigiert werden.
-Die Skalarprodukte sind
-\begin{align*}
-\langle x^4, P_0\rangle
-&=
-\int_{-1}^1 x^4\,dx = \frac25
-\\
-\langle P_0,P_0\rangle
-&=
-\int_{-1}^1 \,dx = 2
-\\
-\langle x^4,P_2\rangle
-&=
-\int_{-1}^1 \frac32x^6-\frac12 x^4\,dx
-=
-\biggl[\frac{3}{14}x^7-\frac{1}{10}x^5\biggr]_{-1}^1
-=
-\frac6{14}-\frac15
-=
-\frac8{35}
-\\
-\langle P_2,P_2\rangle
-&=
-\int_{-1}^1 \frac14(3x^2-1)^2\,dx
-=
-\int_{-1}^1 \frac14(9x^4-6x^2+1)\,dx
-=
-\frac14(\frac{18}{5}-4+2)
-=\frac25.
-\end{align*}
-Daraus folgt für $p(x)$
-\begin{align*}
-p(x)
-&=
-x^4
--
-\frac{\langle x^4,P_2\rangle}{\langle P_2,P_2\rangle}P_2(x)
--
-\frac{\langle x^4,P_0\rangle}{\langle P_0,P_0\rangle}P_0(x)
-\\
-&=
-x^4
--\frac47 P_2(x) - \frac15 P_0(x)
-\\
-&=
-x^4 - \frac{6}{7}x^2 + \frac{3}{35}
-\end{align*}
-mit $p(1)=\frac{8}{35}$, so dass man
-\[
-P_4(x) =
-\frac18(35x^4-30x^2+3)
-\]
-setzen muss.
-
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/060-integral/images/orthogonal.pdf}
-\caption{Orthogonalität der Legendre-Polynome $P_4(x)$ ({\color{blue}blau})
-und $P_7(x)$ ({\color{darkgreen}grün}).
-Die blaue Fläche ist die Fläche unter dem Graphen 
-von $P_4(x)^2$, $P_4(x)$ muss durch die Wurzel aus diesem Flächeninhalt
-geteilt werden, um ein Polynome mit Norm $1$ zu erhalten.
-Für die grüne Fläche ist es $P_7(x)$.
-Die rote Kurve ist der Graph der Funktion $P_4(x)\cdot P_7(x)$,
-die rote Fläche ist deren Integral, sie ist $0$, d.~h.~die beiden
-Funktionen sind orthogonal.
-\label{buch:integral:orthogonal:legendreortho}}
-\end{figure}
-
-\begin{table}
-\centering
-\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
-\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}l<{$}|}
-\hline
-n&P_n(x)\\
-\hline
- 0&1
-\\
- 1&x
-\\
- 2&\frac12(3x^2-1)
-\\
- 3&\frac12(5x^3-3x)
-\\
- 4&\frac18(35x^4-30x^2+3)
-\\
- 5&\frac18(63x^5-70x^3+15x)
-\\
- 6&\frac1{16}(231x^6-315x^4+105x^2-5)
-\\
- 7&\frac1{16}(429x^7-693x^5+315x^3-35x)
-\\
- 8&\frac1{128}(6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35)
-\\
- 9&\frac1{128}(12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x)
-\\
-10&\frac1{256}(46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63)
-\\[2pt]
-\hline
-\end{tabular}
-\caption{Die Legendre-Polynome $P_n(x)$ für $n=0,1,\dots,10$ sind
-orthogonale Polynome vom Grad $n$, die den Wert $P_n(1)=1$ haben.
-\label{buch:integral:table:legendre-polynome}}
-\end{table}
-
-
-
-Die so konstruierten Polynome heissen die {\em Legendre-Polynome}.
-Durch weitere Durchführung des Verfahrens liefert die Polynome in
-Tabelle~\ref{buch:integral:table:legendre-polynome}.
-Die Graphen sind in Abbildung~\ref{buch:integral:orthogonal:legendregraphen}
-dargestellt.
-Abbildung~\ref{buch:integral:orthogonal:legendreortho} illustriert, 
-dass die die beiden Polynome $P_4(x)$ und $P_7(x)$ orthogonal sind.
-Das Produkt $P_4(x)\cdot P_7(x)$ hat Integral $=0$.
-
-\input{chapters/060-integral/jacobi.tex}
-
-\subsection{TODO}
-\begin{itemize}
-\item Jacobi-Polynome
-\item Tschebyscheff-Polynome
-\end{itemize}
-
-%%
-%% Differentialgleichungen
-%%
-%\subsection{Orthogonale Polynome und Differentialgleichungen}
-%\subsubsection{Legendre-Differentialgleichung}
-%\subsubsection{Legendre-Polyome}
-%\subsubsection{Legendre-Funktionen zweiter Art}
-%Siehe Wikipedia-Artikel \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Legendre-Polynom}
-
-\input{chapters/060-integral/legendredgl.tex}
-\input{chapters/060-integral/sturm.tex}
-\input{chapters/060-integral/gaussquadratur.tex}
-
diff --git a/buch/chapters/060-integral/sturm.tex b/buch/chapters/060-integral/sturm.tex
deleted file mode 100644
index e374bae..0000000
--- a/buch/chapters/060-integral/sturm.tex
+++ /dev/null
@@ -1,479 +0,0 @@
-%
-% sturm.tex
-%
-% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
-%
-\subsection{Sturm-Liouville-Problem
-\label{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem}}
-Sowohl bei den Bessel-Funktionen wie bei den Legendre-Polynomen
-konnte die Orthogonalität der Funktionen dadurch gezeigt werden,
-dass sie als Eigenfunktionen eines bezüglich eines geeigneten
-Skalarproduktes selbstadjungierten Operators erkannt wurden.
-
-\subsubsection{Differentialgleichung}
-Das klassische Sturm-Liouville-Problem ist das folgende Eigenwertproblem.
-Gesucht sind Lösungen der Differentialgleichung
-\begin{equation}
-((p(x)y'(x))' + q(x)y(x) = \lambda w(x) y(x)
-\label{buch:integrale:eqn:sturm-liouville}
-\end{equation}
-auf dem Intervall $(a,b)$, die zusätzlich die Randbedingungen
-\begin{equation}
-\begin{aligned}
-k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\
-k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0
-\end{aligned}
-\label{buch:integrale:sturm:randbedingung}
-\end{equation}
-erfüllen, wobei $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$.
-Weitere Bedingungen an die Funktionen $p(x)$, $q(x)$, $w(x)$  sowie die
-Lösungsfunktionen $y(x)$ sollen später geklärt werden.
-
-\subsubsection{Das verallgemeinerte Eigenwertproblem für symmetrische Matrizen}
-Ein zu \eqref{buch:integrale:eqn:sturm-liouville} analoges Eigenwertproblem
-für Matrizen ist das folgende verallgemeinerte Eigenwertproblem.
-Das gewohnte Eigenwertproblem verwendet die Matrix $B=E$.
-
-\begin{definition}
-Seien $A$ und $B$ $n\times n$-Matrizen.
-$v$ heisst verallgemeinerter Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$,
-wenn
-\[
-Av = \lambda Bv.
-\]
-\end{definition}
-
-Für symmetrische Matrizen lässt sich dieses Problem auf ein 
-Optimierungsproblem reduzieren.
-
-\begin{satz}
-Seien $A$ und $B$ symmetrische $n\times n$-Matrizen und sei ausserdem
-$B$ positiv definit.
-Ist $v$ ein Vektor, der die Grösse
-\[
-f(v)=\frac{v^tAv}{v^tBv}
-\]
-maximiert, ist ein verallgemeinerter Eigenvektor für die Matrizen $A$
-und $B$.
-\end{satz}
-
-\begin{proof}[Beweis]
-Sei $\lambda = f(v)$ der maximale Wert und $u\ne 0$ ein beliebiger Vektor. 
-Da $v$ die Grösse $f(v)$ maximiert, muss die Ableitung
-von $f(u+tv)$ für $t=0$ verschwinden.
-Um diese Ableitung zu berechnen, bestimmen wir zunächst die Ableitung
-von $(v+tu)^tM(v+tu)$  an der Stelle $t=0$ für eine beliebige
-symmetrische Matrix:
-\begin{align*}
-\frac{d}{dt}
-(v+tu)^tM(v+tu)
-&=
-\frac{d}{dt}\bigl(
-v^tv + t(v^tMu+u^tMv) + t^2 u^tMu
-\bigr)
-=
-v^tMu+u^tMv + 2tv^tMv
-\\
-\frac{d}{dt}
-(v^t+tu^t)M(v+tu)
-\bigg|_{t=0}
-&=
-v^tMu+u^tMv
-=
-2v^tMu
-\end{align*}
-Dies wenden wir jetzt auf den Quotenten $\lambda(v+tu)$ an.
-\begin{align*}
-\frac{d}{dt}f(v+tu)\bigg|_{t=0}
-&=
-\frac{d}{dt}
-\frac{(v+tu)^tA(v+tu)}{(v+tu)^tB(v+tu)}\bigg|_{t=0}
-\\
-&=
-\frac{2u^tAv(v^tBv) - 2u^tBv(v^tAv)}{(v^tBv)^2}
-=
-\frac{2}{v^tBv}
-u^t
-\biggl(
-Av - \frac{v^tAv}{v^tBv} Bv
-\biggr)
-\\
-&=
-2
-\frac{
-u^t(
-Av - \lambda Bv
-)
-}{v^tBv}
-\end{align*}
-Da $v$ ein Maximum von $\lambda(v)$ ist, verschwindet diese Ableitung
-für alle Vektoren $u$, somit gilt
-\[
-u^t(Av-\lambda Bv)=0
-\]
-für alle $u$, also auch $Av=\lambda Bv$.
-Dies beweist, dass $v$ ein verallgemeinerter Eigenvektor zum
-Eigenwert $\lambda$ ist.
-\end{proof}
-
-\begin{satz}
-Verallgemeinerte Eigenvektoren $u$ und $v$ von $A$ und $B$
-zu verschiedenen Eigenwerten erfüllen $u^tBv=0$.
-\end{satz}
-
-\begin{proof}
-Seien $\lambda$ und $\mu$ die Eigenwerte, also $Au=\lambda Bu$
-und $Av=\mu Bv$.
-Wie in \eqref{buch:integrale:eqn:eigenwertesenkrecht}
-berechnen wir das Skalarprodukt auf zwei Arten
-\[
-\renewcommand{\arraycolsep}{2pt}
-\begin{array}{rcccrl}
- u^tAv &=&u^t\lambda Bv &=& \lambda\phantom{\mathstrut-\mu)} u^tBv
-	&\multirow{2}{*}{\hspace{3pt}$\bigg\}\mathstrut-\mathstrut$}\\
-=v^tAu &=&v^t\mu Bu     &=&  \mu\phantom{)}u^tBv         &\\
-\hline
-     0 & &              &=& (\lambda - \mu)u^tBv.        &
-\end{array}
-\]
-Da die Eigenwerte verschieden sind, ist $\lambda-\mu\ne 0$, es folgt, 
-dass $u^tBv=0$ sein muss.
-\end{proof}
-
-Verallgemeinerte Eigenwerte und Eigenvektoren verhalten sich also
-ganz analog zu den gewöhnlichen Eigenwerten und Eigenvektoren.
-Da $B$ positiv definit ist, ist $B$ auch invertierbar.
-Zudem kann $B$ zur Definition des verallgemeinerten Skalarproduktes
-\[
-\langle u,v\rangle_B = u^tBv
-\]
-verwendet werden.
-Die Matrix 
-\[
-\tilde{A} = B^{-1}A
-\]
-ist bezüglich dieses Skalarproduktes selbstadjungiert, denn es gilt
-\[
-\langle\tilde{A}u,v\rangle_B
-=
-(B^{-1}Au)^t Bv
-=
-u^tA^t(B^{-1})^tBv
-=
-u^tAv
-=
-u^tBB^{-1}Av
-=
-\langle u,\tilde{A}v\rangle.
-\]
-Das verallgemeinerte Eigenwertproblem für symmetrische Matrizen
-ist damit ein gewöhnliches Eigenwertproblem für selbstadjungierte
-Matrizen des Operators $\tilde{A}$ bezüglich des verallgemeinerten
-Skalarproduktes $\langle\,\;,\;\rangle_B$.
-
-\subsubsection{Der Operator $L_0$ und die Randbedingung}
-Die Differentialgleichung kann auch in Operatorform geschrieben werden.
-Dazu schreiben wir
-\[
-L_0 
-=
--\frac{d}{dx}p(x)\frac{d}{dx}.
-\]
-Bezüglich des gewöhnlichen Skalarproduktes
-\[
-\langle f,g\rangle
-=
-\int_a^b f(x)g(x)\,dx
-\]
-für Funktionen auf dem Intervall $[a,b]$ ist der Operator $L_0$
-tatsächlich selbstadjungiert.
-Mit partieller Integration rechnet man nach:
-\begin{align}
-\langle f,L_0g\rangle
-&=
-\int_a^b f(x) \biggl(-\frac{d}{dx}p(x)\frac{d}{dx}\biggr)g(x)\,dx
-\notag
-\\
-&=
--\int_a^b f(x) \frac{d}{dx}\bigl( p(x) g'(x) \bigr)\,dx
-\notag
-\\
-&=
--\biggl[f(x) p(x)g'(x)\biggr]_a^b
-+
-\int_a^b f'(x) p(x) g'(x) \,dx
-\notag
-\\
-\langle L_0f,g\rangle
-&=
--\biggl[f'(x)p(x)g(x)\biggr]_a^b
-+
-\int_a^b f'(x) p(x) g'(x) \,dx.
-\notag
-\intertext{Die beiden Skalarprodukte führen also auf das gleiche
-Integral, sie unterscheiden sich nur um die Randterme}
-\langle f,L_0g\rangle
--
-\langle L_0f,g\rangle
-&=
--f(b)p(b)g'(b) + f(a)p(a)g'(a)
-+f'(b)p(b)g(b) - f'(a)p(a)g(a)
-\label{buch:integrale:sturm:sabedingung}
-\\
-&=
--
-p(b)
-\left|\begin{matrix}
-f(b) &g(b)\\
-f'(b)&g'(b)
-\end{matrix}\right|
-+
-p(a)
-\left|\begin{matrix}
-f(a) &g(a)\\
-f'(a)&g'(a)
-\end{matrix}\right|
-\notag
-\\
-&=
--
-\left|\begin{matrix}
-f(b) &g(b)\\
-p(b)f'(b)&p(b)g'(b)
-\end{matrix}\right|
-+
-\left|\begin{matrix}
-f(a) &g(a)\\
-p(a)f'(a)&p(a)g'(a)
-\end{matrix}\right|.
-\notag
-\end{align}
-Um zu erreichen, dass der Operator selbstadjunigert wird, muss 
-sichergestellt werden, dass entweder $p$ oder die Determinanten
-an den Intervallenden verschwinden.
-Dies passiert genau dann, wenn die Vektoren 
-\[
-\begin{pmatrix}
-f(a)\\
-p(a)f'(a)
-\end{pmatrix}
-\text{\;und\;}
-\begin{pmatrix}
-g(a)\\
-p(a)g'(a)
-\end{pmatrix}
-\]
-linear abhängig sind.
-In zwei Dimensionen bedeutet lineare Abhängigkeit, dass es
-eine nichttriviale Linearform mit Koeffizienten $h_a, k_a$ gibt,
-die auf beiden Vektoren verschwindet.
-Ausgeschrieben bedeutet dies, dass die Randbedingung
-\eqref{buch:integrale:sturm:randbedingung}
-erfüllt sein muss.
-
-\subsubsection{Skalarprodukt}
-Das Ziel der folgenden Abschnitte ist, das Sturm-Liouville-Problem als
-Eigenwertproblem für einen selbstadjungierten Operator in einem 
-Funktionenraum mit einem geeigneten Skalarprodukt zu finden.
-
-Wir haben bereits gezeigt, dass die Randbedingung
-\eqref{buch:integrale:sturm:randbedingung} sicherstellt, dass der
-Operator $L_0$ für das Standardskalarprodukt selbstadjungiert ist.
-Dies entspricht der Symmetrie der Matrix $A$.
-
-Die Komponente $q(x)$ stellt keine besonderen Probleme, denn
-\[
-\langle f,qg\rangle
-=
-\int_a^b f(x)q(x)g(x)\,dx
-=
-\langle qf,g\rangle.
-\]
-Der Operator $f(x) \mapsto q(x)f(x)$, der eine Funktion mit 
-der Funktion $q(x)$ multipliziert, ist also ebenfalls symmetrisch.
-Dasselbe gilt für einen Operator, der mit $w(x)$ multipliziert.
-Da $w(x)$ eine positive Funktion ist, ist der Operator $f(x)\mapsto w(x)f(x)$
-sogar positiv definit.
-Dies entspricht der Matrix $B$.
-Nach den Erkenntnissen des vorangegangenen Abschnittes ist das
-verallgemeinerte Eigenwertproblem daher ein Eigenwertproblem
-für einen modifizierten Operator bezüglich eines alternativen
-Skalarproduktes.
-
-Als Skalarprodukt muss also das Integral
-\[
-\langle f,g\rangle_w
-=
-\int_a^b f(x)g(x)w(x)\,dx
-\]
-mit der Gewichtsfunktion $w(x)$ verwendet werden.
-Damit dies ein vernünftiges Skalarprodukt ist, muss $w(x)>0$ im
-Innerend es Intervalls sein.
-
-\subsubsection{Der Vektorraum $H$}
-Damit können wir jetzt die Eigenschaften der in Frage kommenden
-Funktionen zusammenstellen.
-Zunächst müssen sie auf dem Intervall $[a,b]$ definiert sein und
-das Integral
-\[
-\int_a^b |f(x)|^2 w(x)\,dx < \infty
-\]
-muss existieren.
-Wir bezeichnen den Vektorraum der Funktionen, deren Quadrat mit
-der Gewichtsfunktion $w(x)$ integrierbar sind, mit
-$L^2([a,b],w)$.
-
-Damit auch $\langle qf,f\rangle_w$ und $\langle L_0f,0f\rangle_w$
-wohldefiniert sind, müssen zusätzlich die Integrale
-\[
-\int_a^b |f(x)|^2 q(x) w(x)\,dx
-\qquad\text{und}\qquad
-\int_a^b |f'(x)|^2 p(x) w(x)\,dx
-\]
-existieren.
-Wir setzen daher
-\[
-H
-=
-\biggl\{
-f\in L^2([a,b],w)\;\bigg|\;
-\int_a^b |f'(x)|^2p(x)w(x)\,dx<\infty,
-\int_a^b |f(x)|^2q(x)w(x)\,dx<\infty
-\biggr\}.
-\]
-
-\subsubsection{Differentialoperator}
-Das verallgemeinerte Eigenwertproblem für $A$ und $B$ ist ein
-gewöhnliches Eigenwertproblem für die Operator $\tilde{A}=B^{-1}A$
-bezüglich des modifizierten Skalarproduktes.
-Das Sturm-Liouville-Problem ist also ein Eigenwertproblem im
-Vektorraum $H$ mit dem Skalarprodukt $\langle\,\;,\;\rangle_w$.
-Der Operator
-\[
-L = \frac{1}{w(x)} \biggl(-\frac{d}{dx} p(x)\frac{d}{dx} + q(x)\biggr)
-\]
-heisst der {\em Sturm-Liouville-Operator}.
-Eine Lösung des Sturm-Liouville-Problems ist eine Funktion $y(x)$ derart,
-dass 
-\[
-Ly = \lambda y,
-\]
-$\lambda$ ist der zu $y(x)$ gehörige Eigenwert.
-Der Operator ist definiert auf Funktionen des im vorangegangenen Abschnitt
-definierten Vektorraumes $H$.
-
-
-
-\subsubsection{Beispiel: Trigonometrische Funktionen}
-Die trigonometrischen Funktionen sind Eigenfunktionen des Operators
-$d^2/dx^2$, also eines Sturm-Liouville-Operators mit $p(x)=1$, $q(x)=0$
-und $w(x)=0$.
-Auf dem Intervall $(-\pi,\pi)$ können wir die Randbedingungen
-\bgroup
-\renewcommand{\arraycolsep}{2pt}
-\[
-\begin{aligned}
-&
-\begin{array}{lclclcl}
-k_{-\pi}          &=&1,&\qquad&h_{-\pi}          &=&0\\
-k_{\phantom{-}\pi}&=&1,&\qquad&h_{\phantom{-}\pi}&=&0
-\end{array}
-\;\bigg\}
-&&\Rightarrow&
-\begin{array}{lcl}
-y(-\pi)          &=&0\\
-y(\phantom{-}\pi)&=&0\\
-\end{array}
-\;\bigg\}
-&\quad\Rightarrow&
-y(x) &= B\sin nx
-\\
-&
-\begin{array}{lclclcl}
-k_{-\pi}          &=&0,&\qquad&h_{-\pi}          &=&1\\
-k_{\phantom{-}\pi}&=&0,&\qquad&h_{\phantom{-}\pi}&=&1
-\end{array}
-\;\bigg\}
-&&\Rightarrow&
-\begin{array}{lcl}
-y'(-\pi)          &=&0\\
-y'(\phantom{-}\pi)&=&0\\
-\end{array}
-\; \bigg\}
-&\quad\Rightarrow&
-y(x) &= A\cos nx
-\end{aligned}
-\]
-\egroup
-verwenden.
-Die Orthogonalität der Sinus- und Kosinus-Funktionen folgt jetzt
-ganz ohne weitere Rechnung.
-
-An dieser Lösung ist nicht ganz befriedigend, dass die trigonometrischen
-Funktionen nicht mit einer einzigen Randbedingung gefunden werden können.
-Der Ausweg ist, periodische Randbedingungen zu verlangen, also
-$y(-\pi)=y(\pi)$ und $y'(-\pi)=y'(\pi)$.
-Dann ist wegen
-\begin{align*}
-\langle f,L_0g\rangle - \langle L_0f,g\rangle
-&=
--f(\pi)g'(\pi)+f(-\pi)g'(-\pi)+f'(\pi)g(\pi)-f'(-\pi)g(-\pi)
-\\
-&=
--f(\pi)g'(\pi)+f(\pi)g'(\pi)+f'(\pi)g(\pi)-f'(\pi)g(\pi)
-=0
-\end{align*}
-die Bedingung~\eqref{buch:integrale:sturm:sabedingung}
-ebenfalls erfüllt, $L_0$ ist in diesem Raum selbstadjungiert.
-
-\subsubsection{Beispiel: Bessel-Funktionen}
-Der Bessel-Operator \eqref{buch:differentialgleichungen:bessel-operator}
-hat die Form eines Sturm-Liouville-Operators
-\[
-x^2\frac{d^2}{dx^2} + x\frac{d}{dx} + x^2
-=
-\frac{d}{dx} x^2 \frac{d}{dx} + x^2
-\]
-mit $p(x)=x^2$, $q(x)=x^2$.
-
-XXX TODO: Faktor 2 fehlt.
-
-\subsubsection{Beispiel: Tschebyscheff-Polynome}
-Die Tschebyscheff-Polynome sind Lösungen der
-Tschebyscheff-Differentialgleichung
-\[
-(1-x^2)y'' -xy' = n^2y
-\]
-auf dem Intervall $(-1,1)$.
-Auch dieses Problem kann als Sturm-Liouville-Problem formuliert
-werden mit
-\begin{align*}
-w(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\
-p(x) &= \sqrt{1-x^2} \\
-q(x) &= 0
-\end{align*}
-Das zugehörige Sturm-Liouville-Eigenwertproblem ist
-\[
-\frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2}\frac{d}{dx} y(x)
-=
-\lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} y(x).
-\]
-Führt man die Ableitungen auf der linken Seite aus, entsteht die
-Gleichung
-\begin{align*}
-\sqrt{1-x^2} y''(x) -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}y'(x)
-&=  \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} y(x)
-\intertext{Multiplikation mit $\sqrt{1-x^2}$ ergibt}
-(1-x^2)
-y''(x) 
--
-xy'(x)
-&=
-\lambda y(x).
-\end{align*}
-Es folgt, dass die Tschebyscheff-Polynome orthogonal sind 
-bezüglich des Skalarproduktes
-\[
-\langle f,g\rangle = \int_{-1}^1 f(x)g(x)\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.
-\]
-
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