From 7e8f10448d910fdc938383ce4ce7904a60be51c5 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Tue, 30 Nov 2021 17:25:41 +0100
Subject: add new bessel images

---
 buch/chapters/060-integral/Makefile.inc    |   1 +
 buch/chapters/060-integral/legendredgl.tex | 369 +++++++++++++++++++++
 buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex  | 499 +----------------------------
 3 files changed, 379 insertions(+), 490 deletions(-)
 create mode 100644 buch/chapters/060-integral/legendredgl.tex

(limited to 'buch/chapters/060-integral')

diff --git a/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc b/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc
index 9cc5356..09be355 100644
--- a/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc
@@ -9,5 +9,6 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
 	chapters/060-integral/differentialkoerper.tex			\
 	chapters/060-integral/risch.tex					\
 	chapters/060-integral/orthogonal.tex				\
+	chapters/060-integral/legendredgl.tex				\
 	chapters/060-integral/gaussquadratur.tex			\
 	chapters/060-integral/chapter.tex
diff --git a/buch/chapters/060-integral/legendredgl.tex b/buch/chapters/060-integral/legendredgl.tex
new file mode 100644
index 0000000..9aeac40
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/060-integral/legendredgl.tex
@@ -0,0 +1,369 @@
+%
+% legendredgl.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\subsection{Orthogonale Polynome und Differentialgleichungen}
+Legendre hat einen ganz anderen Zugang zu den nach ihm benannten
+Polynomen gefunden.
+Er hat sie gefunden als die Lösungen einer speziellen Differentialgleichungen.
+In diesem Abschnitt sollen diese Funktionen mit der Potenzreihen-Methode
+wiedergefunden werden.
+Dabei stellt sich heraus, dass diese Polynome auch Eigenfunktionen eines
+selbstadjungierten Differentialgoperator sind.
+Die Orthogonalität wird dann aus einer Verallgemeinerung der bekannten
+Eingeschaft folgen, dass Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix zu 
+verschiedenen Eigenwerten orthogonal sind.
+
+\subsubsection{Legendre-Differentialgleichung}
+Die {\em Legendre-Differentialgleichung} ist die Differentialgleichung
+\begin{equation}
+(1-x^2) y'' - 2x y' + n(n+1) y = 0
+\label{buch:integral:eqn:legendre-differentialgleichung}
+\end{equation}
+für eine Funktion $y(x)$ auf dem Intervall $[-1,1]$.
+
+Sei $y(x)$ eine Lösung der Differentialgleichung
+\eqref{buch:integral:eqn:legendre-differentialgleichung}.
+Setzt man $y_s(x)=y(-x)$ in die Differentialgleichung ein, erhält
+man
+\[
+(1-x^2)y_s''(x) - 2x y'_s(x) + n(n+1)y_s(x)
+=
+(1-x^2)y''(-x) +2x y(-x) +n(n+1)y(-x).
+\]
+Ersetzt man $t=-x$, dann wird daraus
+\[
+(1-x^2)y''(t) -2t y(t) + n(n+1) y(t) = 0
+\]
+aus der Differentialgleichung
+\eqref{buch:integral:eqn:legendre-differentialgleichung}.
+Insbesondere ist die gespiegelte Funktion $y_s(x)$ ebenfalls
+eine Lösung der Differentialgleichung.
+
+Ist $y(x)$ eine Lösung der Differentialgleichung ist, dann lässt
+sie sich in die Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+y_g(x) &= \frac{y(x)+y(-x)}{2}\\
+y_u(x) &= \frac{y(x)-y(-x)}{2}
+\end{aligned}
+\quad
+\right\}
+\quad
+\Rightarrow
+\quad
+y(x) = y_g(x) + y_u(x)
+\]
+zerlegen, die als Linearkombinationen der beiden Lösungen
+$y(x)$ und $y_s(x)$ ebenfalls Lösungen der Differentialgleichung
+sind.
+
+\subsubsection{Potenzreihenlösung}
+Wir suchen eine Lösung in Form einer Potenzreihe um $x=0$ und 
+verwenden dazu den Ansatz
+\[
+y(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+ \dots = \sum_{k=0}^\infty a_kx^k.
+\]
+\begin{align*}
+(1-x^2) \sum_{k=2}^\infty k(k-1)a_kx^{k-2}
+-2x\sum_{k=0}^\infty ka_kx^{k-1}
++
+n(n+1)\sum_{k=0}^\infty  a_kx^k
+&=
+0
+\\
+\sum_{k=0}^\infty (k+2)(k+1)a_{k+2}x^k
+-
+\sum_{k=2}^\infty k(k-1)a_kx^k
+-
+2\sum_{k=1}^\infty ka_kx^k
++
+n(n+1)\sum_{k=0}^\infty  a_kx^k
+&=
+0
+\end{align*}
+Die Koeffizienten zur Potenz $k$ sind daher
+\begin{align}
+k&=0:
+&
+0&=
+2a_2+n(n+1)a_0
+\notag
+\\
+&&
+a_2&=-\frac{n(n+1)}{2}a_0
+\notag
+\\
+k&=1:
+&
+0&=
+6a_3-2a_1+n(n+1)a_1
+\notag
+\\
+&&
+a_3&= \frac{2-n(n+1)}{6}a_1
+\notag
+\\
+k&>1:
+&
+0&=
+(k+2)(k+1)a_{k+2} -k(k-1)a_k -2ka_k +n(n+1) a_k
+\notag
+\\
+&&
+a_{k+2}
+&=
+\frac{ k(k+1)-n(n+1) }{(k+2)(k+1)}
+a_k
+\label{buch:integral:legendre-dgl:eqn:akrek}
+\end{align}
+Wenn $a_1=0$ und $a_0\ne 1$ ist, dann ist die Funktion $y(x)$ gerade,
+alle ungeraden Koeffizienten verschwinden.
+Ebenso verschwinden alle geraden Koeffizienten, wenn $a_0=0$ und $a_1\ne 0$.
+Für jede Lösung $y(x)$ der Differentialgleichung ist
+$y_g(x)$ ein Lösung mit $a_1=0$ und $y_u(x)$ eine Lösung mit $a_0=0$.
+Wir können die Diskussion der Lösungen daher auf gerade oder ungerade
+Lösungen einschränken.
+
+Gesucht ist jetzt eine Lösung in Form eines Polynoms.
+In diesem Fall müssen die Koeffizienten $a_k$ ab einem
+gewissen Index verschwinden.
+Dies tritt nach \eqref{buch:integral:legendre-dgl:eqn:akrek} genau
+dann auf, wenn der Zähler für ein $k$ verschwindet.
+Folglich gibt es genau dann Polynomlösungen der Differentialgleichungen,
+wenn $n$ eine natürlich Zahl ist.
+Ausserdem ist die Lösung ein Polynom $\bar{P}_n(x)$ vom Grad $n$.
+Das Polynom soll wieder so normiert sein, dass $\bar{P}_n(1)=1$ ist.
+
+Die Lösungen der Differentialgleichungen können jetzt explizit
+berechnet werden.
+Zunächst ist $\bar{P}_0(x)=1$ und $\bar{P}_1(x)=x$.
+Für $n=2$ setzen wir zunächst $a_0=1$ und $a_1=0$ und erhalten
+\[
+y(x)
+=
+1 + \frac{0(0+1) - 2(2+1)}{(0+2)(0+1)}a_0 x^2
+=
+1
+-3x^2
+\qquad\text{oder}\qquad
+\bar{P}_3(x) = \frac12(3x^2-1).
+\]
+Für $n=3$ starten wir von $a_1=1$ und $a_0=0$, was zunächst $a_2=0$
+impliziert.
+Für $a_3$ finden wir
+\[
+a_3=\frac{1(1+1)-3(3+1)}{(1+2)(1+1)} = -\frac53
+\qquad\Rightarrow\qquad
+y(x) = x-\frac53x^3
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\bar{P}_3(x) = \frac12(5x^3-3x).
+\]
+Dies stimmt überein mit den früher gefundenen Ausdrücken für
+die Legendre-Polynome.
+
+Die Potenzreihenlösung zeigt zwar, dass es für jedes $n\in\mathbb{N}$
+eine Polynomlösung $\bar{P}_n(x)$ vom Grad $n$ gibt.
+Dies kann aber nicht erklären, warum die so gefundenen Polynome
+orthogonal sind.
+
+\subsubsection{Eigenfunktionen}
+Die Differentialgleichung
+\eqref{buch:integral:eqn:legendre-differentialgleichung}
+Kann mit dem Differentialoperator
+\[
+D = \frac{d}{dx}(1-x^2)\frac{d}{dx}
+\]
+als
+\[
+Dy + n(n+1)y = 0
+\]
+geschrieben werden.
+Tatsächlich ist
+\[
+Dy
+=
+\frac{d}{dx} (1-x^2) \frac{d}{dy}
+=
+\frac{d}{dx} (1-x^2)y'
+=
+(1-x^2)y'' -2x y'.
+\]
+Dies bedeutet, dass die Lösungen $\bar{P}_n(x)$ Eigenfunktionen
+des Operators $D$ zum Eigenwert $n(n+1)$ sind:
+\[
+D\bar{P}_n = -n(n+1) \bar{P}_n.
+\]
+
+\subsubsection{Orthogonalität von $\bar{P}_n$ als Eigenfunktionen}
+Ein Operator $A$ auf Funktionen heisst {\em selbstadjungiert}, wenn
+für zwei beliebige Funktionen $f$ und $g$ gilt
+\[
+\langle Af,g\rangle = \langle f,Ag\rangle
+\]
+gilt.
+Im vorliegenden Zusammenhang möchten wir die Eigenschaft nutzen,
+dass Eigenfunktionen eines selbstadjungierten Operatores zu verschiedenen
+Eigenwerten orthogonal sind.
+Dazu seien $Df = \lambda f$ und $Dg=\mu g$ und wir rechnen
+\begin{equation*}
+\begin{array}{rcccl}
+\langle Df,g\rangle &=& \langle \lambda f,g\rangle &=& \lambda\langle f,g\rangle
+\\
+=\langle f,Dg\rangle &=& \langle f,\mu g\rangle &=& \mu\langle f,g\rangle
+\\
+                     & &                    0   &=& (\lambda-\mu)\langle f,g\rangle
+\end{array}
+\end{equation*}
+Da $\lambda-\mu\ne 0$ ist, muss $\langle f,g\rangle=0$ sein.
+
+Der Operator $D$ ist selbstadjungiert, d.~h.
+für zwei beliebige zweimal stetig differenzierbare Funktion $f$ und $g$
+auf dem Intervall $[-1,1]$ gilt
+\begin{align*}
+\langle Df,g\rangle
+&=
+\int_{-1}^1 (Df)(x) g(x) \,dx
+\\
+&=
+\int_{-1}^1
+\biggl(\frac{d}{dx} (1-x^2)\frac{d}{dx}f(x)\biggr) g(x)
+\,dx
+\\
+&=
+\underbrace{
+\biggl[
+\biggl((1-x^2)\frac{d}{dx}f(x)\biggr) g(x)
+\biggr]_{-1}^1
+}_{\displaystyle = 0}
+-
+\int_{-1}^1
+\biggl((1-x^2)\frac{d}{dx}f(x)\biggr) \frac{d}{dx}g(x)
+\,dx
+\\
+&=
+-
+\int_{-1}^1
+\biggl(\frac{d}{dx}f(x)\biggr) \biggl((1-x^2)\frac{d}{dx}g(x)\biggr)
+\,dx
+\\
+&=
+-
+\underbrace{
+\biggl[
+f(x) \biggl((1-x^2)\frac{d}{dx}g(x)\biggr)
+\biggr]_{-1}^1}_{\displaystyle = 0}
++
+\int_{-1}^1
+f(x) \biggl(\frac{d}{dx}(1-x^2)\frac{d}{dx}g(x)\biggr)
+\,dx
+\\
+&=
+\langle f,Dg\rangle.
+\end{align*}
+Dies beweist, dass $D$ selbstadjungiert ist.
+Da $\bar{P}_n$ Eigenwerte des selbstadjungierten Operators $D$ zu
+den verschiedenen Eigenwerten $-n(n+1)$ sind, folgt auch, dass
+die $\bar{P}_n$ orthogonale Polynome vom Grad $n$ sind, die die 
+gleiche Standardierdisierungsbedingung wie die Legendre-Polyonome
+erfüllen, also ist $\bar{P}_n(x)=P_n(x)$.
+
+\subsubsection{Legendre-Funktionen zweiter Art}
+Siehe Wikipedia-Artikel \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Legendre-Polynom}
+
+Die Potenzreihenmethode liefert natürlich auch Lösungen der
+Legendreschen Differentialgleichung, die sich nicht als Polynome
+darstellen lassen.
+Ist $n$ gerade, dann liefern die Anfangswerte $a_0=0$ und $a_1=1$ 
+eine ungerade Funktion, die Folge der Koeffizienten bricht
+aber nicht ab, vielmehr ist
+\begin{align*}
+a_{k+2}
+&=
+\frac{k(k+1)}{(k+1)(k+2)}a_k
+=
+\frac{k}{k+2}a_k.
+\end{align*}
+Durch wiederholte Anwendung dieser Rekursionsformel findet man
+\[
+a_{k}
+=
+\frac{k-2}{k}a_{k-2}
+=
+\frac{k-2}{k}\frac{k-4}{k-2}a_{k-4}
+=
+\frac{k-2}{k}\frac{k-4}{k-2}\frac{k-6}{k-4}a_{k-6}
+=
+\dots
+=
+\frac{1}{k}a_1.
+\]
+Die Lösung hat daher die Reihenentwicklung
+\[
+Q_0(x) = x+\frac13x^3 + \frac15x^5 + \frac17x^7+\dots
+=
+\frac12\log \frac{1+x}{1-x}
+=
+\operatorname{artanh}x.
+\]
+Die Funktion $Q_0(x)$ heisst {\em Legendre-Funktion zweiter Art}.
+
+Für $n=1$ wird die Reihenentwicklung $a_0=1$ und $a_1=0$ etwas
+interessanter.
+Die Rekursionsformel für die Koeffizienten ist
+\[
+a_{k+2}
+=
+\frac{k(k+1)-2}{(k+1)(k+2)} a_k.
+\qquad\text{oder}\qquad
+a_k
+=
+\frac{(k-1)(k-2)-2}{k(k-1)}
+a_{k-2}
+\]
+Man erhält der Reihe nach
+\begin{align*}
+a_2 &= \frac{-2}{2\cdot 1} a_0 = -1
+\\
+a_3 &= 0
+\\
+a_4 &= \frac{3\cdot 2-2}{4\cdot 3} a_2 = \frac{4}{4\cdot 3}a_2 = \frac13a_2 = -\frac13
+\\
+a_5 &= 0
+\\
+a_6 &= \frac{5\cdot 4-2}{6\cdot 5}a_4 = \frac{18}{6\cdot 5}a_4 = -\frac15
+\\
+a_7 &= 0
+\\
+a_8 &= \frac{7\cdot 6-2}{8\cdot 7}a_6 = \frac{40}{8\cdot 7} = -\frac17
+\\
+a_9 &= 0
+a_{10} &= \frac{9\cdot 8-2}{10\cdot 9}a_8 = \frac{70}{10\cdot 9} = -\frac19,
+\end{align*}
+woraus sich die Reihenentwicklung
+\begin{align*}
+y(x)
+&=
+-x^2 -\frac13x^4 -\frac15x^6 - \frac17x^8 -\frac19x^{10}-\dots
+\\
+&=
+-x\biggl(x+\frac13x^3 + \frac15x^5 + \frac17x^7 + \frac19x^9+\dots\biggr)
+=
+-x\operatorname{artanh}x.
+\end{align*}
+Die {\em Legendre-Funktionen zweiter Art} $Q_n(x)$  werden allerdings
+so definiert, dass gewisse Rekursionsformeln für die Legendre-Polynome,
+die wir hier nicht hergeleitet haben, auch für die $Q_n(x)$ gelten.
+In dieser Normierung muss statt des eben berechneten $y(x)$ die Funktion
+\[
+Q_1(x) = x \operatorname{artanh}x-1
+\]
+verwendet werden.
+
+
+
+
+
+
diff --git a/buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex b/buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex
index ceba53a..109cd61 100644
--- a/buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex
+++ b/buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex
@@ -508,496 +508,15 @@ Durch weitere Durchführung des Verfahrens liefert die Polynome in
 Tabelle~\ref{buch:integral:table:legendre-polynome}.
 
 
-%
-% Differentialgleichungen
-%
-\subsection{Orthogonale Polynome und Differentialgleichungen}
-\subsubsection{Legendre-Differentialgleichung}
-\subsubsection{Legendre-Polyome}
-\subsubsection{Legendre-Funktionen zweiter Art}
-Siehe Wikipedia-Artikel \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Legendre-Polynom}
-
 %%
-%% Anwendung: Gauss-Quadratur
+%% Differentialgleichungen
 %%
-%\subsection{Anwendung: Gauss-Quadratur}
-%Orthogonale Polynome haben eine etwas unerwartet Anwendung in einem
-%von Gauss erdachten numerischen Integrationsverfahren.
-%Es basiert auf der Beobachtung, dass viele Funktionen sich sehr
-%gut durch Polynome approximieren lassen.
-%Wenn man also sicherstellt, dass ein Verfahren für Polynome
-%sehr gut funktioniert, darf man auch davon ausgehen, dass es für
-%andere Funktionen nicht allzu schlecht sein wird.
-%
-%\subsubsection{Interpolationspolynome}
-%Zu einer stetigen Funktion $f(x)$ auf dem Intervall $[-1,1]$ 
-%ist ein Polynome vom Grad $n$ gesucht, welches in den Punkten
-%$x_0<x_1<\dots<x_n$ die Funktionswerte $f(x_i)$ annimmt.
-%Ein solches Polynom $p(x)$ hat $n+1$ Koeffizienten, die aus dem
-%linearen Gleichungssystem der $n+1$ Gleichungen $p(x_i)=f(x_i)$ 
-%ermittelt werden können.
-%
-%Das Interpolationspolynom $p(x)$ lässt sich abera uch direkt 
-%angeben.
-%Dazu konstruiert man zuerst die Polynome
-%\[
-%l_i(x)
-%=
-%\frac{
-%(x-x_0)(x-x_1)\cdots\widehat{(x-x_i)}\cdots (x-x_n)
-%}{
-%(x_i-x_0)(x_i-x_1)\cdots\widehat{(x_i-x_i)}\cdots (x_i-x_n)
-%}
-%\]
-%vom Grad $n$, wobei der Hut bedeutet, dass diese Faktoren
-%im Produkt wegzulassen sind.
-%Die Polynome $l_i(x)$ haben die Eigenschaft
-%\[
-%l_i(x_j) = \delta_{ij}
-%=
-%\begin{cases}
-%1&\qquad i=j\\
-%0&\qquad\text{sonst}.
-%\end{cases}
-%\]
-%Die Linearkombination
-%\[
-%p(x) = \sum_{i=0}^n f(x_i)l_i(x)
-%\]
-%ist dann ein Polynom vom Grad $n$, welches am den Stellen $x_j$
-%die Werte
-%\[
-%p(x_j) 
-%=
-%\sum_{i=0}^n f(x_i)l_i(x_j)
-%=
-%\sum_{i=0}^n f(x_i)\delta_{ij}
-%=
-%f(x_j)
-%\]
-%hat, das Polynome $p(x)$ ist also das gesuchte Interpolationspolynom.
-%
-%\subsubsection{Integrationsverfahren auf der Basis von Interpolation}
-%Das Integral einer stetigen Funktion $f(x)$ auf dem Intervall $[-1,1]$
-%kann mit Hilfe des Interpolationspolynoms approximiert werden.
-%Wenn $|f(x)-p(x)|<\varepsilon$ ist im Intervall $[-1,1]$, dann gilt
-%für die Integrale
-%\[
-%\biggl|\int_{-1}^1 f(x)\,dx -\int_{-1}^1p(x)\,dx\biggr|
-%\le
-%\int_{-1}^1 |f(x)-p(x)|\,dx
-%\le
-%2\varepsilon.
-%\]
-%Ein Interpolationspolynom mit kleinem Fehler liefert also auch
-%eine gute Approximation für das Integral.
-%
-%Da das Interpolationspolynome durch die Funktionswerte $f(x_i)$
-%bestimmt ist, muss auch das Integral allein aus diesen Funktionswerten
-%berechnet werden können.
-%Tatsächlich ist
-%\begin{equation}
-%\int_{-1}^1 p(x)\,dx
-%=
-%\int_{-1}^1 \sum_{i=0}^n f(x_i)l_i(x)\,dx
-%=
-%\sum_{i=0}^n f(x_i)
-%\underbrace{\int_{-1}^1
-%l_i(x)\,dx}_{\displaystyle = A_i}.
-%\label{buch:integral:gaussquadratur:eqn:Aidef}
-%\end{equation}
-%Das Integral von $f(x)$ wird also durch eine mit den Zahlen $A_i$
-%gewichtete Summe
-%\[
-%\int_{-1}^1 f(x)\,dx
-%\approx
-%\sum_{i=1}^n f(x_i)A_i
-%\]
-%approximiert.
-%
-%\subsubsection{Integrationsverfahren, die für Polynome exakt sind}
-%Ein Polynom vom Grad $2n$ hat $2n+1$ Koeffizienten.
-%Um das Polynom durch ein Interpolationspolynom exakt wiederzugeben,
-%braucht man $2n+1$ Stützstellen.
-%Andererseits gilt
-%\[
-%\int_{-1}^1 a_{2n}x^{2n} + a_{2n-1}x^{2n-1} + \dots + a_2x^2 + a_1x a_0\,dx
-%=
-%\int_{-1}^1 a_{2n}x^{2n} + a_{2n-2}x^{2n-2}+\dots +a_2x^2 +a_0\,dx,
-%\]
-%das Integral ist also bereits durch die $n+1$ Koeffizienten mit geradem
-%Index bestimmt.
-%Es sollte daher möglich sein, aus $n+1$ Funktionswerten eines beliebigen
-%Polynoms vom Grad höchstens $2n$ an geeignet gewählten Stützstellen das
-%Integral exakt zu bestimmen.
-%
-%\begin{beispiel}
-%Wir versuchen dies für quadratische Polynome durchzuführen, also 
-%für $n=1$.
-%Gesucht sind also zwei Werte $x_i$, $i=0,1$ und Gewichte $A_i$, $i=0,1$
-%derart, dass für jedes quadratische Polynome $p(x)=a_2x^2+a_1x+a_0$ 
-%das Integral durch
-%\[
-%\int_{-1}^1 p(x)\,dx
-%=
-%A_0 p(x_0) + A_1 p(x_1)
-%\]
-%gebeben ist.
-%Indem wir für $p(x)$ die Polynome $1$, $x$, $x^2$ und $x^3$ einsetzen,
-%erhalten wir vier Gleichungen
-%\[
-%\begin{aligned}
-%p(x)&=\rlap{$1$}\phantom{x^2}\colon& 2       &= A_0\phantom{x_0}+ A_1     \\
-%p(x)&=x^{\phantom{2}}\colon& 0       &= A_0x_0   + A_1x_1  \\
-%p(x)&=x^2\colon& \frac23 &= A_0x_0^2 + A_1x_1^2\\
-%p(x)&=x^3\colon& 0       &= A_0x_0^3 + A_1x_1^3.
-%\end{aligned}
-%\]
-%Dividiert man die zweite und vierte Gleichung in der Form
-%\[
-%\left.
-%\begin{aligned}
-%A_0x_0 &= -A_1x_1\\
-%A_0x_0^2 &= -A_1x_1^2
-%\end{aligned}
-%\quad
-%\right\}
-%\quad
-%\Rightarrow
-%\quad
-%x_0^2=x_1^2
-%\quad
-%\Rightarrow
-%\quad
-%x_1=-x_0.
-%\]
-%Indem wir dies in die zweite Gleichung einsetzen, finden wir 
-%\[
-%0 = A_0x_0 + A_1x_1 = A_0x_1 -A_1x_0 = (A_0-A_1)x_0
-%\quad\Rightarrow\quad
-%A_0=A_1.
-%\]
-%Aus der ersten Gleichung folgt jetzt
-%\[
-%2= A_0+A_1 = 2A_0 \quad\Rightarrow\quad A_0 = 1.
-%\]
-%Damit bleiben nur noch die Werte von $x_i$ zu bestimmen, was 
-%mit Hilfe der zweiten Gleichung geschehen kann:
-%\[
-%\frac23 = A_0x_0^2 + A_1x_1^2 = 2x_0^2
-%\quad\Rightarrow\quad
-%x_0 = \frac{1}{\sqrt{3}}, x_1 = -\frac{1}{\sqrt{3}}
-%\]
-%Damit ist das Problem gelöst: das Integral eines Polynoms vom Grad 3
-%im Interval $[-1,1]$ ist exakt gegeben durch
-%\[
-%\int_{-1}^1 p(x)\,dx
-%=
-%p\biggl(-\frac{1}{\sqrt{3}}\biggr)
-%+
-%p\biggl(\frac{1}{\sqrt{3}}\biggr).
-%\]
-%Das Integral kann also durch nur zwei Auswertungen des Polynoms
-%exakt bestimmt werden.
-%
-%Im Laufe der Lösung des Gleichungssystems wurden die Gewichte $A_i$
-%mit bestimmt.
-%Es ist aber auch möglich, die Gewichte zu bestimmen, wenn man die
-%Stützstellen kennt.
-%Nach \eqref{buch:integral:gaussquadratur:eqn:Aidef}
-%sind sie die $A_i$ gegeben als Integrale der Polynome
-%$l_i(x)$, die im vorliegenden Fall linear sind:
-%\begin{align*}
-%l_0(x)
-%&=
-%\frac{x-x_1}{x_0-x_1}
-%=
-%\frac{x-\frac1{\sqrt{3}}}{-\frac{2}{\sqrt{3}}}
-%=
-%\frac12(1-\sqrt{3}x)
-%\\
-%l_1(x)
-%&=
-%\frac{x-x_0}{x_1-x_0}
-%=
-%\frac{x+\frac1{\sqrt{3}}}{\frac{2}{\sqrt{3}}}
-%=
-%\frac12(1+\sqrt{3}x)
-%\end{align*}
-%Diese haben die Integrale
-%\[
-%\int_{-1}^1\frac12(1\pm\sqrt{3}x)\,dx
-%=
-%\int_{-1}^1 \frac12\,dx
-%=
-%1,
-%\]
-%da das Polynom $x$ verschwindendes Integral hat.
-%Dies stimmt mit $A_0=A_1=1$ überein.
-%\label{buch:integral:beispiel:gaussquadraturn1}
-%\end{beispiel}
-%
-%Das eben vorgestellt Verfahren kann natürlich auf beliebiges $n$
-%verallgemeinert werden.
-%Allerdings ist die Rechnung zur Bestimmung der Stützstellen und
-%Gewichte sehr mühsam.
-%
-%\subsubsection{Stützstellen und Orthogonalpolynome}
-%Sei $R_n=\{p(X)\in\mathbb{R}[X] \mid \deg p\le n\}$ der Vektorraum
-%der Polynome vom Grad $n$.
-%
-%\begin{satz}
-%\label{buch:integral:satz:gaussquadratur}
-%Sei $p$ ein Polynom vom Grad $n$, welches auf allen Polynomen in $R_{n-1}$
-%orthogonal sind.
-%Seien ausserdem $x_0<x_1<\dots<x_n$ Stützstellen im Intervall $[-1,1]$ 
-%und $A_i\in\mathbb{R}$ Gewichte derart dass
-%\[
-%\int_{-1}^1 f(x)\,dx =
-%\sum_{i=0}^n A_if(x_i)
-%\]
-%für jedes Polynom $f$ vom Grad höchstens $2n-1$, dann sind die Zahlen
-%$x_i$ die Nullstellen des Polynoms $p$.
-%\end{satz}
-%
-%\begin{proof}[Beweis]
-%Sei $f(x)$ ein beliebiges Polynom vom Grad $2n-1$.
-%Nach dem Polynomdivisionsalgorithmus gibt es
-%Polynome $q,r\in R_{n-1}$ derart, dass $f=qp+r$.
-%Dann ist das Integral von $f$ gegeben durch
-%\[
-%\int_{-1}^1 f(x)\,dx
-%=
-%\int_{-1}^1q(x) p(x)\,dx + \int_{-1}^1 r(x)\,dx
-%=
-%\langle q,p\rangle + \int_{-1}^1 r(x)\,dx.
-%\]
-%Da $p\perp R_{n-1}$ folgt insbesondere, dass $\langle q,p\rangle=0$.
-%
-%Da die Integrale auch aus den Werten in den Stützstellen berechnet
-%werden können, muss auch
-%\[
-%0
-%=
-%\int_{-1}^1 q(x)p(x)\,dx
-%=
-%\sum_{i=0}^n q(x_i)p(x_i)
-%\]
-%für jedes beliebige Polynom $q\in R_{n-1}$ gelten.
-%Da man für $q$ die Interpolationspolynome $l_j(x)$ verwenden
-%kann, den Grad $n-1$ haben, folgt
-%\[
-%0
-%=
-%\sum_{i=0}^n
-%l_j(x_i)p(x_i)
-%=
-%\sum_{i=0}^n \delta_{ij}p(x_i),
-%\]
-%die Stützstellen $x_i$ müssen also die Nullstellen des Polynoms
-%$p(x)$ sein.
-%\end{proof}
-%
-%Der Satz~\ref{buch:integral:satz:gaussquadratur} begründet das
-%{\em Gausssche Quadraturverfahren}.
-%Die in Abschnitt~\ref{buch:integral:subsection:orthogonale-polynome}
-%bestimmten Legendre-Polynome $P_n$ haben die im Satz
-%verlangte Eigenschaft,
-%dass sie auf allen Polynomen geringeren Grades orthogonal sind.
-%Wählt man die $n$ Nullstellen von $P_n$ als Stützstellen, erhält man 
-%automatisch ein Integrationsverfahren, welches für Polynome vom Grad
-%$2n-1$ exakt ist.
-%
-%\begin{beispiel}
-%Das Legendre-Polynom $P_2(x) = \frac12(3x^2-1)$ hat die
-%Nullstellen $x=\pm1/\sqrt{3}$, dies sind genau die im Beispiel
-%auf Seite~\pageref{buch:integral:beispiel:gaussquadraturn1} befundenen
-%Sützstellen.
-%\end{beispiel}
-%
-%\subsubsection{Fehler der Gauss-Quadratur}
-%Das Gausssche Quadraturverfahren mit $n$ Stützstellen berechnet
-%Integrale von Polynomen bis zum Grad $2n-1$ exakt.
-%Für eine beliebige Funktion kann man die folgende Fehlerabschätzung
-%angeben \cite[theorem 7.3.4, p.~497]{buch:numal}.
-%
-%\begin{satz}
-%Seien $x_i$ die Stützstellen und $A_i$ die Gewichte einer
-%Gaussschen Quadraturformel mit $n+1$ Stützstellen und sei $f$
-%eine auf dem Interval $[-1,1]$ $2n+2$-mal stetig differenzierbare
-%Funktion, dann ist der $E$ Fehler des Integrals
-%\[
-%\int_{-1}^1 f(x)\,dx = \sum_{i=0}^n A_i f(x_i) + E
-%\]
-%gegeben durch
-%\begin{equation}
-%E = \frac{f^{(2n+2)}(\xi)}{(2n+2)!}\int_{-1}^1 l(x)^2\,dx,
-%\label{buch:integral:gaussquadratur:eqn:fehlerformel}
-%\end{equation}
-%wobei $l(x)=(x-x_0)(x-x_1)\dots(x-x_n)$  und $\xi$ ein geeigneter
-%Wert im Intervall $[-1,1]$ ist.
-%\end{satz}
-%
-%Dank dem Faktor $(2n+2)!$ im Nenner von
-%\eqref{buch:integral:gaussquadratur:eqn:fehlerformel}
-%geht der Fehler für grosses $n$ sehr schnell gegen $0$.
-%Man kann auch zeigen, dass die mit Gauss-Quadratur mit $n+1$
-%Stützstellen berechneten Näherungswerte eines Integrals einer
-%stetigen Funktion $f(x)$ für $n\to\infty$ immer gegen den wahren
-%Wert des Integrals konvergieren.
-%
-%\begin{table}
-%\def\u#1{\underline{#1}}
-%\centering
-%\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|}
-%\hline
-%           n & \text{Gauss-Quadratur} & \text{Trapezregel} \\
-%\hline
-%\phantom{0}2 & 0.\u{95}74271077563381 & 0.\u{95}63709682242596 \\
-%\phantom{0}4 & 0.\u{95661}28333449730 & 0.\u{956}5513401768598 \\
-%\phantom{0}6 & 0.\u{9566114}812034364 & 0.\u{956}5847489712136 \\
-%\phantom{0}8 & 0.\u{956611477}5028123 & 0.\u{956}5964425360520 \\
-%          10 & 0.\u{9566114774905}637 & 0.\u{9566}018550715587 \\
-%          12 & 0.\u{956611477490518}7 & 0.\u{9566}047952369826 \\
-%          14 & 0.\u{95661147749051}72 & 0.\u{9566}065680717177 \\
-%          16 & 0.\u{956611477490518}7 & 0.\u{9566}077187127541 \\
-%          18 & 0.\u{956611477490518}3 & 0.\u{9566}085075898731 \\
-%          20 & 0.\u{956611477490518}4 & 0.\u{9566}090718697414 \\
-%\hline
-%      \infty & 0.9566114774905183 & 0.9566114774905183 \\
-%\hline
-%\end{tabular}
-%\caption{Integral von $\sqrt{1-x^2}$ zwischen $-\frac12$ und $\frac12$ 
-%berechnet mit Gauss-Quadratur und der Trapezregel, aber mit zehnmal
-%so vielen Stützstellen.
-%Bereits mit 12 Stützstellen erreicht die Gauss-Quadratur
-%Maschinengenauigkeit, die Trapezregel liefert auch mit 200 Stützstellen
-%nicht mehr als 4 korrekte Nachkommastellen.
-%\label{buch:integral:gaussquadratur:table0.5}}
-%\end{table}
-%
-%%\begin{table}
-%%\def\u#1{\underline{#1}}
-%%\centering
-%%\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|}
-%%\hline
-%%           n & \text{Gauss-Quadratur} & \text{Trapezregel} \\
-%%\hline
-%%\phantom{0}2 & 1.\u{5}379206741571556 & 1.\u{5}093105464758343 \\
-%%\phantom{0}4 & 1.\u{51}32373472933831 & 1.\u{51}13754509594814 \\
-%%\phantom{0}6 & 1.\u{512}1624557410367 & 1.\u{51}17610879524799 \\
-%%\phantom{0}8 & 1.\u{51207}93479994321 & 1.\u{51}18963282632112 \\
-%%          10 & 1.\u{51207}13859966004 & 1.\u{51}19589735776959 \\
-%%          12 & 1.\u{512070}5317779943 & 1.\u{51}19930161260693 \\
-%%          14 & 1.\u{5120704}334802813 & 1.\u{5120}135471596636 \\
-%%          16 & 1.\u{5120704}216176006 & 1.\u{5120}268743889558 \\
-%%          18 & 1.\u{5120704}201359081 & 1.\u{5120}360123137213 \\
-%%          20 & 1.\u{5120704199}459651 & 1.\u{5120}425490275837 \\
-%%\hline
-%%      \infty & 1.5120704199172947 & 1.5120704199172947 \\
-%%\hline
-%%\end{tabular}
-%%\end{table}
-%
-%%\begin{table}
-%%\def\u#1{\underline{#1}}
-%%\centering
-%%\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|}
-%%\hline
-%%           n & \text{Gauss-Quadratur} & \text{Trapezregel} \\
-%%\hline
-%%\phantom{0}2 & 1.\u{}6246862220133462 & 1.\u{5}597986803933712 \\
-%%\phantom{0}4 & 1.\u{5}759105515463101 & 1.\u{56}63563456168101 \\
-%%\phantom{0}6 & 1.\u{5}706630058381434 & 1.\u{56}77252866190838 \\
-%%\phantom{0}8 & 1.\u{56}94851106536780 & 1.\u{568}2298707696152 \\
-%%          10 & 1.\u{56}91283195332679 & 1.\u{568}4701957758742 \\
-%%          12 & 1.\u{56}90013806299465 & 1.\u{568}6030805941198 \\
-%%          14 & 1.\u{5689}515434853885 & 1.\u{568}6841603070025 \\
-%%          16 & 1.\u{5689}306507843050 & 1.\u{568}7372230731711 \\
-%%          18 & 1.\u{5689}214761291217 & 1.\u{568}7738235496322 \\
-%%          20 & 1.\u{56891}73062385982 & 1.\u{568}8001228530786 \\
-%%\hline
-%%      \infty & 1.5689135396691616 & 1.5689135396691616 \\
-%%\hline
-%%\end{tabular}
-%%\end{table}
-%
-%\begin{table}
-%\def\u#1{\underline{#1}}
-%\centering
-%\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|}
-%\hline
-%           n & \text{Gauss-Quadratur} & \text{Trapezregel} \\
-%\hline
-%\phantom{0}2 & 1.\u{}6321752373234928 & 1.\u{5}561048774629949 \\
-%\phantom{0}4 & 1.\u{57}98691557134743 & 1.\u{5}660124134617943 \\
-%\phantom{0}6 & 1.\u{57}35853681692993 & 1.\u{5}683353001877542 \\
-%\phantom{0}8 & 1.\u{57}19413565928206 & 1.\u{5}692627503425400 \\
-%          10 & 1.\u{57}13388119633434 & 1.\u{5}697323578543481 \\
-%          12 & 1.\u{57}10710489948883 & 1.\u{570}0051217458713 \\
-%          14 & 1.\u{570}9362135398341 & 1.\u{570}1784766276063 \\
-%          16 & 1.\u{570}8621102742815 & 1.\u{570}2959121005231 \\
-%          18 & 1.\u{570}8186779483588 & 1.\u{570}3793521168343 \\
-%          20 & 1.\u{5707}919411931615 & 1.\u{570}4408749735932 \\
-%\hline
-%      \infty & 1.5707367072605671 & 1.5707367072605671 \\
-%\hline
-%\end{tabular}
-%\caption{Integral von $\sqrt{1-x^2}$ zwischen $-0.999$ und $0.999$ 
-%berechnet mit Gauss-Quadratur und der Trapezregel, aber mit zehnmal
-%so vielen Stützstellen.
-%Wegen der divergierenden Steigung des Integranden bei $\pm 1$ tun
-%sich beide Verfahren sehr schwer. 
-%Trotzdem erreich die Gauss-Quadrator 4 korrekte Nachkommastellen
-%mit 20 Stütztstellen, während die Trapezregel auch mit 200 Stützstellen
-%nur 3 korrekte Nachkommastellen findet.
-%\label{buch:integral:gaussquadratur:table0.999}}
-%\end{table}
-%
-%\begin{figure}
-%\centering
-%\includegraphics{chapters/060-integral/gq/gq.pdf}
-%\caption{Approximationsfehler des
-%Integrals~\eqref{buch:integral:gaussquadratur:bspintegral}
-%in Abhängigkeit von $a$.
-%Die Divergenz der Ableitung des Integranden an den Intervallenden
-%$\pm 1$ führt zu schlechter Konvergenz des Verfahrens, wenn $a$
-%nahe an $1$ ist.
-%\label{buch:integral:gaussquadratur:fehler}}
-%\end{figure}
-%
-%Zur Illustration der Genauigkeit der Gauss-Quadratur berechnen wir
-%das Integral
-%\begin{equation}
-%\int_{-a}^a \sqrt{1-x^2}\,dx
-%=
-%\arcsin a + a \sqrt{1-a^2}
-%\label{buch:integral:gaussquadratur:bspintegral}
-%\end{equation}
-%mit Gauss-Quadratur einerseits und dem Trapezverfahren
-%andererseits.
-%Da Gauss-Quadratur mit sehr viel weniger Sützstellen auskommt,
-%berechnen wir die Trapeznäherung mit zehnmal so vielen Stützstelln.
-%In den Tabellen~\ref{buch:integral:gaussquadratur:table0.5}
-%und
-%\ref{buch:integral:gaussquadratur:table0.999}
-%sind die Resultate zusammengestellt.
-%Für $a =\frac12$ zeigt
-%Tabelle~\ref{buch:integral:gaussquadratur:table0.5}
-%die sehr schnelle Konvergenz der Gauss-Quadratur, schon mit
-%12 Stützstellen wird Maschinengenauigkeit erreicht.
-%Das Trapezverfahren dagegen erreicht auch mit 200 Stützstellen nur
-%4 korrekte Nachkommastellen.
-%
-%An den Stellen $x=\pm 1$ divergiert die Ableitung des Integranden
-%des Integrals \eqref{buch:integral:gaussquadratur:bspintegral}.
-%Da grösste und kleinste Stützstelle der Gauss-Quadratur immer
-%deutlich vom Rand des Intervalls entfernt ist, kann das Verfahren
-%diese ``schwierigen'' Stellen nicht erkennen.
-%Tabelle~\ref{buch:integral:gaussquadratur:table0.999} zeigt, wie
-%die Konvergenz des Verfahrens in diesem Fall sehr viel schlechter ist.
-%Dies zeigt auch der Graph in
-%Abbildung~\ref{buch:integral:gaussquadratur:fehler}.
-%
-%\subsubsection{Skalarprodukte mit Gewichtsfunktion}
+%\subsection{Orthogonale Polynome und Differentialgleichungen}
+%\subsubsection{Legendre-Differentialgleichung}
+%\subsubsection{Legendre-Polyome}
+%\subsubsection{Legendre-Funktionen zweiter Art}
+%Siehe Wikipedia-Artikel \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Legendre-Polynom}
+
+\input{chapters/060-integral/legendredgl.tex}
+
 \input{chapters/060-integral/gaussquadratur.tex}
-- 
cgit v1.2.1