From 9c5abfb2e5a796d7b615031a86a26931163be569 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Thu, 23 Dec 2021 12:34:17 +0100
Subject: more stuff on parametrisations

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 buch/chapters/060-integral/eulertransformation.tex | 69 +++++++++++++++++++++-
 buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex          | 12 ++--
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index 4e424f1..5ae989c 100644
--- a/buch/chapters/060-integral/eulertransformation.tex
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@@ -19,6 +19,7 @@ $\mathstrut_2F_1$}
 XXX An dieser Stelle Abschnitt 4.3.5 (Integraldarstellung) einfügen
 
 \begin{satz}[Euler]
+\label{buch:integrale:eulertransformation:satz}
 Die hypergeometrische Funktion $\mathstrut_2F_1$ kann durch das 
 Integral
 \begin{equation}
@@ -28,10 +29,35 @@ Integral
 \int_0^1
 t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-zt)^{-a}
 \,dt
+\label{buch:integrale:eulertransformation:satzeqn}
 \end{equation}
 dargestellt werden.
 \end{satz}
 
+\subsubsection{Alternative Parametrisierungen}
+Die Substitution $t=\sin^2 s$ ermöglicht eine alternative Parametrisierung
+der Integraldarstellung der hypergeometrischen Funktion.
+Wenden wir sie auf~\eqref{buch:integrale:eulertransformation:satzeqn}
+an, erhalten wir wegen $dt = 2\cos s\sin s\,ds$
+\begin{align*}
+\mathstrut_2F_1\biggl(\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};z\biggr)
+&=
+\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sin^{2(b-1)}(s)\,
+(1-\sin^2s)^{c-b-1} (1-z\sin^2 s)^{-a}
+\,\cos s\sin s
+\,ds
+\\
+&=
+\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sin^{2b-1}(s)\,\cos^{2c-2b-1}(s)\, (1-z\sin^2 s)^{-a}
+\,ds.
+\end{align*}
+
+XXX Parametrisierung für Intervall $[0,\infty)$
+
 \subsection{Integraldarstellung als Integraltransformation}
 Im vorangegangenen Abschnitt wurde gezeigt, wie sich die Funktion
 $\mathstrut_2F_1$ als ein Integral des Integranden
@@ -171,4 +197,45 @@ Auflösen nach $\mathstrut_{p+1}F_{q+1}$ ergibt die behauptete
 Formel.
 \end{proof}
 
-
+Auch die Euler-Transformation lässt sich mit Hilfe der Substitution
+$t=\sin^2 s$ in eine alternative Parametrisierung umschreiben.
+Sie ist
+\begin{align*}
+\mathstrut_{p+1}F_{q+1}\biggl(
+\begin{matrix}
+a_1,\dots,a_{p+1}\\
+b_1,\dots,b_{q+1}
+\end{matrix}
+;z
+\biggr)
+&=
+\frac{2\Gamma(b_{q+1})}{\Gamma(a_{p+1})\Gamma(b_{q-1}-a_{p+1})}
+\\
+&\quad\times
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sin^{2a_{p+1}-2}(s)\, \cos^{2b_{q+1}-2a_{p+1}-2}(s)
+\,
+\mathstrut_pF_q\biggl(
+\begin{matrix}
+a_1,\dots,a_p\\
+b_1,\dots,b_q
+\end{matrix};z\sin^2 s
+\biggr)
+\sin s\cos s
+\,ds
+\\
+&=
+\frac{2\Gamma(b_{q+1})}{\Gamma(a_{p+1})\Gamma(b_{q-1}-a_{p+1})}
+\\
+&\quad\times
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sin^{2a_{p+1}-1}(s)\, \cos^{2b_{q+1}-2a_{p+1}-1}(s)
+\,
+\mathstrut_pF_q\biggl(
+\begin{matrix}
+a_1,\dots,a_p\\
+b_1,\dots,b_q
+\end{matrix};z\sin^2 s
+\biggr)
+\,ds.
+\end{align*}
diff --git a/buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex b/buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex
index 109cd61..a764002 100644
--- a/buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex
+++ b/buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex
@@ -21,7 +21,7 @@ Polynome sind.
 \subsection{Skalarprodukt}
 Der reelle Vektorraum $\mathbb{R}^n$ trägt das Skalarprodukt
 \[
-\langle\;,\;\rangle
+\langle\;\,,\;\rangle
 \colon
 \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}
 :
@@ -45,7 +45,7 @@ Dazu dient die folgende Definition.
 Sei $V$ ein reeller Vektorraum.
 Eine bilineare Abbildung
 \[
-\langle\;,\;\rangle
+\langle\;\,,\;\rangle
 \colon
 V\times V
 \to
@@ -67,7 +67,7 @@ $\langle x,y\rangle$ und $\langle y,x\rangle$ gibt.
 Ein {\em Skalarprodukt} auf einem reellen Vektorraum $V$ ist eine
 positiv definite, symmetrische bilineare Abbildung
 \[
-\langle\;,\;\rangle
+\langle\;\,,\;\rangle
 \colon
 V\times V
 \to
@@ -97,7 +97,7 @@ u^t\operatorname{diag}(w_1,\dots,w_n)v
 =
 \sum_{k=1}^n u_iv_i\,w_i
 \]
-und nennen $\langle \;,\;\rangle_w$ das {\em gewichtete Skalarprodukt}
+und nennen $\langle \;\,,\;\rangle_w$ das {\em gewichtete Skalarprodukt}
 mit {\em Gewichten $w_i$}.
 
 \subsubsection{Skalarprodukte auf Funktionenräumen}
@@ -109,7 +109,7 @@ Sei $V$ der reelle Vektorraum $C([a,b])$ der reellwertigen, stetigen
 Funktion auf dem Intervall $[a,b]$.
 Dann ist 
 \[
-\langle\;,\;\rangle
+\langle\;\,,\;\rangle
 \colon
 C([a,b]) \times C([a,b]) \to \mathbb{R}
 :
@@ -165,7 +165,7 @@ gleich gewichtet werden.
 Sei $w\colon [a,b]\to \mathbb{R}^+$ eine positive, stetige Funktion,
 dann ist
 \[
-\langle\;,\;\rangle_w
+\langle\;\,,\;\rangle_w
 \colon
 C([a,b]) \times C([a,b]) \to \mathbb{R}
 :
-- 
cgit v1.2.1