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Date: Mon, 20 Jun 2022 21:27:44 +0200
Subject: fix all the Bessel stuff

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 buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex | 31 ++++++++++++++++++-----
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--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex
@@ -3,7 +3,8 @@
 %
 % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 %
-\section{Orthogonale Polynome und Differentialgleichungen}
+\section{Orthogonale Polynome und Differentialgleichungen
+\label{buch:orthogonal:section:orthogonale-polynome-und-dgl}}
 \rhead{Differentialgleichungen orthogonaler Polynome}
 Legendre hat einen ganz anderen Zugang zu den nach ihm benannten
 Polynomen gefunden.
@@ -16,6 +17,9 @@ Die Orthogonalität wird dann aus einer Verallgemeinerung der bekannten
 Eingeschaft folgen, dass Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix zu 
 verschiedenen Eigenwerten orthogonal sind.
 
+%
+% Legendre-Differentialgleichung
+%
 \subsection{Legendre-Differentialgleichung}
 Die {\em Legendre-Differentialgleichung} ist die Differentialgleichung
 \begin{equation}
@@ -61,7 +65,10 @@ zerlegen, die als Linearkombinationen der beiden Lösungen
 $y(x)$ und $y_s(x)$ ebenfalls Lösungen der Differentialgleichung
 sind.
 
-\subsection{Potenzreihenlösung}
+%
+% Potenzreihenlösungen
+%
+\subsubsection{Potenzreihenlösung}
 Wir suchen eine Lösung in Form einer Potenzreihe um $x=0$ und 
 verwenden dazu den Ansatz
 \[
@@ -170,7 +177,10 @@ eine Polynomlösung $\bar{P}_n(x)$ vom Grad $n$ gibt.
 Dies kann aber nicht erklären, warum die so gefundenen Polynome
 orthogonal sind.
 
-\subsection{Eigenfunktionen}
+%
+% Eigenfunktionen
+% 
+\subsubsection{Eigenfunktionen}
 Die Differentialgleichung
 \eqref{buch:integral:eqn:legendre-differentialgleichung}
 Kann mit dem Differentialoperator
@@ -198,7 +208,10 @@ des Operators $D$ zum Eigenwert $n(n+1)$ sind:
 D\bar{P}_n = -n(n+1) \bar{P}_n.
 \]
 
-\subsection{Orthogonalität von $\bar{P}_n$ als Eigenfunktionen}
+%
+% Orthogonalität von P_n als Eigenfunktionen
+%
+\subsubsection{Orthogonalität von $\bar{P}_n$ als Eigenfunktionen}
 Ein Operator $A$ auf Funktionen heisst {\em selbstadjungiert}, wenn
 für zwei beliebige Funktionen $f$ und $g$ gilt
 \[
@@ -274,7 +287,10 @@ die $\bar{P}_n$ orthogonale Polynome vom Grad $n$ sind, die die
 gleiche Standardierdisierungsbedingung wie die Legendre-Polyonome
 erfüllen, also ist $\bar{P}_n(x)=P_n(x)$.
 
-\subsection{Legendre-Funktionen zweiter Art}
+%
+% Legendre-Funktionen zweiter Art
+%
+\subsubsection{Legendre-Funktionen zweiter Art}
 %Siehe Wikipedia-Artikel \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Legendre-Polynom}
 %
 Die Potenzreihenmethode liefert natürlich auch Lösungen der
@@ -368,7 +384,7 @@ Q_1(x) = x \operatorname{artanh}x-1
 verwendet werden.
 
 %
-% 
+%  Laguerre-Differentialgleichung
 %
 \subsection{Laguerre-Differentialgleichung
 \label{buch:orthogonal:subsection:laguerre-differentialgleichung}}
@@ -429,6 +445,9 @@ ein anderer Weg zu einer zweiten Lösung gesucht werden.
 
 XXX TODO: zweite Lösung der Differentialgleichung.
 
+%
+%
+%
 \subsubsection{Die assoziierte Laguerre-Differentialgleichung}
 \index{assoziierte Laguerre-Differentialgleichung}%
 \index{Laguerre-Differentialgleichung, assoziierte}%
-- 
cgit v1.2.1