From 679ddbd15f09283aad606f443f3c38361f0ff9cc Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Sun, 16 Jan 2022 16:51:47 +0100 Subject: many changes in the orthogonality chapter --- buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex | 218 +++++++++++++++++++++++++++- 1 file changed, 211 insertions(+), 7 deletions(-) (limited to 'buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex') diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex index c8ee11a..c9c9cc6 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex @@ -36,8 +36,11 @@ für Matrizen ist das folgende verallgemeinerte Eigenwertproblem. Das gewohnte Eigenwertproblem verwendet die Matrix $B=E$. \begin{definition} +\index{verallgemeinerter Eigenvektor}% +\index{Eigenvektor, verallgemeinerter}% +\label{buch:orthogonal:sturm:verallgemeinerter-eigenvektor} Seien $A$ und $B$ $n\times n$-Matrizen. -$v$ heisst verallgemeinerter Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$, +$v$ heisst {\em verallgemeinerter Eigenvektor} zum Eigenwert $\lambda$, wenn \[ Av = \lambda Bv. @@ -324,7 +327,7 @@ Wir bezeichnen den Vektorraum der Funktionen, deren Quadrat mit der Gewichtsfunktion $w(x)$ integrierbar sind, mit $L^2([a,b],w)$. -Damit auch $\langle qf,f\rangle_w$ und $\langle L_0f,0f\rangle_w$ +Damit auch $\langle qf,f\rangle_w$ und $\langle L_0f,f\rangle_w$ wohldefiniert sind, müssen zusätzlich die Integrale \[ \int_a^b |f(x)|^2 q(x) w(x)\,dx @@ -431,17 +434,217 @@ Dann ist wegen die Bedingung~\eqref{buch:integrale:sturm:sabedingung} ebenfalls erfüllt, $L_0$ ist in diesem Raum selbstadjungiert. -\subsubsection{Bessel-Funktionen} +\subsubsection{Bessel-Funktionen $J_n(x)$} Der Bessel-Operator \eqref{buch:differentialgleichungen:bessel-operator} -hat die Form eines Sturm-Liouville-Operators +kann wie folgt in die Form eines Sturm-Liouville-Operators gebracht +werden. +Zunächst rechnet man \[ +B += x^2\frac{d^2}{dx^2} + x\frac{d}{dx} + x^2 = -\frac{d}{dx} x^2 \frac{d}{dx} + x^2 +x\biggl( +x\frac{d^2}{dx^2} + \frac{d}{dx} + x +\biggr) += +x\biggl( +\frac{d}{dx}(-x)\frac{d}{dx} + x +\biggr). +\] +Somit ist $B$ ein Sturm-Liouville-Operator für +\begin{equation} +\begin{aligned} +p(x) &= -x \\ +q(x) &= x \\ +w(x) &= \frac{1}{x}. +\end{aligned} +\label{buch:orthogonal:sturm:bessel:n} +\end{equation} +Am linken Rand kann als Randbedingung +\[ +\lim_{x\to 0} p(x) y'(x) = 0 +\] +verwendet werden, die für alle Bessel-Funktionen erfüllt ist. +Dies entspricht der Wahl $k_0=0$ und $h_0=1$. +Am rechten Rand für $x\to\infty$ kann man +\[ +\lim_{x\to\infty} y(x)=0 +\] +verlangen, was der Wahl $k_\infty=1$ und $h_\infty=0$ entspricht. +Damit ist die Bessel-Differentialgleichung erkannt als ein +Sturm-Liouville-Problem für $\lambda=n^2$. +Es folgt damit sofort, dass die Besselfunktionen orthogonale +Funktionen bezüglich des Skalarproduktes mit der Gewichtsfunktion +$w(x)=1/x$ sind. + +\subsubsection{Bessel-Funktionen $J_n(s x)$} +Das Sturm-Liouville-Problem mit den Funktionen +\eqref{buch:orthogonal:sturm:bessel:n} +ist jedoch nicht die einzige Möglichkeit, die Bessel-Differentialgleichung +in ein Sturm-Liouville-Problem zu verwandeln. +Das Problem \eqref{buch:orthogonal:sturm:bessel:n} ging davon +aus, dass $n^2$ der verallgemeinerte Eigenwert sein soll. +Im Folgenden sollen hingegen die Funktionen $J_n(s x)$ für +konstantes $n$, aber verschiedene $s$ untersucht und +als orthogonal erkannt werden. + +Die Funktion $y(x) = J_n(x)$ ist eine Lösung der Bessel-Differentialgleichung +\[ +x^2y'' + xy' + x^2y = n^2y. +\] +Setzt man $x=s t$ und $f(t)=y(s t)$, dann wird die Ableitung +\[ +\begin{aligned} +f'(t) +&= +\frac{d}{dt}y(s t) += +y'(s t) \cdot s +&&\Rightarrow +& +\frac{f'(t)}{s} +&= +y'(x) +\\ +f''(t) +&= +\frac{d^2}{dt^2} y(s t) += +y''(s t) \cdot s^2 +&&\Rightarrow +& +\frac{f''(t)}{s^2} +&= +y''(x). +\end{aligned} +\] +Setzt man diese in die Besselsche Differentialgleichung ein, +findet man +\begin{align*} +x^2y''+xy'+x^2y += +s^2 t^2 \frac{f''(t)}{s^2} ++ +s t \frac{f'(t)}{s} ++ +s^2 t^2 f(t) +&= +n^2 f(t). +\end{align*} +Damit ist gezeigt, dass die Funktionen $J_n(s x)$ Lösungen +der Differentialgleichung +\begin{equation} +x^2y'' + xy' + (s^2 x^2 - n^2) y = 0 +\label{buch:orthogonal:sturm:eqn:bessellambda} +\end{equation} +ist. + +Die Differentialgleichung +\eqref{buch:orthogonal:sturm:eqn:bessellambda} +soll jetzt ebenfalls als ein Sturm-Liouville-Problem betrachtet +werden, diesmal aber mit festem $n$ und $s^2$ als dem verallgemeinerten +Eigenwert. +Dazu wird +\begin{equation} +\begin{aligned} +p(x) &= -x \\ +q(x) &= -\frac{n^2}{x} \\ +w(x) &= x +\end{aligned} +\label{buch:orthgonal:sturm:bessel:lambdaparams} +\end{equation} +gesetzt. +Das zugehörige Sturm-Liouville-Problem ist jetzt +\[ +\frac{1}{x}\biggl( +\frac{d}{dx} (-x)\frac{d}{dx} -\frac{n^2}{x} +\biggr) +y += +\lambda y +\quad\Rightarrow\quad +y'' + \frac{1}{x}y' - \frac{n^2}{x^2}y = \lambda y, +\] +oder nach Multiplikation mit $x^2$ +\begin{equation} +x^2y'' + xy' + ((-\lambda)x^2 - n^2) y = 0. +\end{equation} +Die Funktionen $J_n(sx)$ sind daher verallgemeinerte Eigenfunktionen +des Sturm-Liouville-Problems +\eqref{buch:orthgonal:sturm:bessel:lambdaparams} +für den Eigenwert $\lambda = -s^2$. + +\begin{satz}[Orthogonalität der Bessel-Funktionen] +Die Bessel-Funktionen $J_n(sx)$ für verschiedene $s$ sind orthogonal +bezüglich des Skalarproduktes mit der Gewichtsfunktion $w(x)=x$, +d.~h. +\[ +\int_0^\infty J_n(s_1x) J_n(s_2x) x\,dx += +0 +\] +für $s_1\ne s_2$. +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Um die Bessel-Funktionen als Lösung des Sturm-Liouville-Problems +\eqref{buch:orthgonal:sturm:bessel:lambdaparams} +zu betrachten, müssen noch geeignete Randbedingungen formuliert werden. +Für $n>0$ kann man +$J_n(0)=0$ verwenden, also $k_0=1$ und $h_0=0$. +Für $J_0$ ist dies nicht geeignet, aber wegen $J_0'(0)=0$ kann +man für $n=0$ verwenden $k_0=0$ und $h_0=1$ wählen. + +Für den rechten Rand kann man verwenden, dass die Ableitung der +Bessel-Funktionen wie $x^{-3/2}$ gegen $0$ geht, gilt +\[ +\lim_{x\to\infty} p(x) J_n(sx) = 0, +\] +weil $p(x)J_n(sx)$ wie $x^{-1/2}$ gegen $0$ geht. +Dies bedeutet, dass $k_\infty=0$ und $h_\infty=1$ +verwendet werden kann. +Damit sind geeignete Randbedingungen für das Sturm-Liouville-Problem +gefunden. +\end{proof} + +\subsubsection{Laguerre-Polynome} +Die Laguerre-Polynome sind orthogonal bezüglich des Skalarprodukts +mit der Laguerre-Gewichtsfunktion $w(x)=e^{-x}$ und erfüllen die +Laguerre-Differentialgleichung +\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:laguerre-dgl}. +mit $p(x)=-xe^{-x}$ wird +\[ +\frac{1}{w(x)} +\biggl( +- +\frac{d}{dx} p(x) \frac{d}{dx} +\biggr) += +e^x \biggl(xe^{-x}\frac{d^2}{dx^2} + (1-x)e^{-x}\frac{d}{dx}\biggr), +\] +dies sind die abgeleiteten Terme in der Laguerre-Differentialgleichung. +Der Definitionsbereich ist $(0,\infty)$. +Als Randbedingung am linken kann man $y(0)=1$ verwenden, welche +auch die Laguerre-Polynome ergeben hat. +Am rechten Rand ist die Bedingung +\[ +\lim_{x\to\infty} p(x)y'(x) += +\lim_{x\to\infty} xe^{-x} y'(x) += +0 \] -mit $p(x)=x^2$, $q(x)=x^2$. +für beliebige Polynomlösungen erfüllt, dies ist der Fall +$k_{\infty}=0$ und $h_\infty=1$. -XXX TODO: Faktor 2 fehlt. +Das zugehörige verallgemeinerte Eigenwertproblem wird damit +\[ +xy'' + (1-x)y' - \lambda y = 0, +\] +also die Laguerre-Differentialgleichung. +Somit folgt, dass die Laguerre-Polynome orthogonal sind bezüglich +des Skalarproduktes mit der Laguerre-Gewichtsfunktion. \subsubsection{Tschebyscheff-Polynome} Die Tschebyscheff-Polynome sind Lösungen der @@ -485,6 +688,7 @@ bezüglich des Skalarproduktes \subsubsection{Jacobi-Polynome} TODO + \subsubsection{Hypergeometrische Differentialgleichungen} %\url{https://encyclopediaofmath.org/wiki/Hypergeometric_equation} Auch die Eulersche hypergeometrische Differentialgleichung -- cgit v1.2.1