From 931871e8c8e9b266b9b626d816a803bbd2c56653 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Fri, 1 Jul 2022 20:55:53 +0200 Subject: more index stuff --- buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex | 21 ++++++++++++++++++++- 1 file changed, 20 insertions(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex') diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex index 164cd9a..742ec0a 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex @@ -7,6 +7,7 @@ \label{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem}} \rhead{Das Sturm-Liouville-Problem} Sowohl bei den Bessel-Funktionen wie bei den Legendre-Polynomen +\index{Bessel-Funktion}% konnte die Orthogonalität der Funktionen dadurch gezeigt werden, dass sie als Eigenfunktionen eines bezüglich eines geeigneten Skalarproduktes selbstadjungierten Operators erkannt wurden. @@ -57,6 +58,7 @@ Für symmetrische Matrizen lässt sich dieses Problem auf ein Optimierungsproblem reduzieren. \begin{satz} +\index{Satz!verallgemeinertes Eigenwertproblem}% Seien $A$ und $B$ symmetrische $n\times n$-Matrizen und sei ausserdem $B$ positiv definit. Ist $v$ ein Vektor, der die Grösse @@ -127,6 +129,7 @@ Eigenwert $\lambda$ ist. \end{proof} \begin{satz} +\index{Satz!Orthogonalität verallgemeinerter Eigenvektoren}% Verallgemeinerte Eigenvektoren $u$ und $v$ von $A$ und $B$ zu verschiedenen Eigenwerten erfüllen $u^tBv=0$. \end{satz} @@ -153,6 +156,8 @@ dass $u^tBv=0$ sein muss. Verallgemeinerte Eigenwerte und Eigenvektoren verhalten sich also ganz analog zu den gewöhnlichen Eigenwerten und Eigenvektoren. Da $B$ positiv definit ist, ist $B$ auch invertierbar. +\index{verallgemeinertes Skalarprodukt}% +\index{Skalarprodukt!verallgemeinertes}% Zudem kann $B$ zur Definition des verallgemeinerten Skalarproduktes \[ \langle u,v\rangle_B = u^tBv @@ -201,6 +206,7 @@ Bezüglich des gewöhnlichen Skalarproduktes für Funktionen auf dem Intervall $[a,b]$ ist der Operator $L_0$ tatsächlich selbstadjungiert. Mit partieller Integration rechnet man nach: +\index{partielle Integration}% \begin{align} \langle f,L_0g\rangle &= @@ -376,6 +382,8 @@ L = \frac{1}{w(x)} \biggl(-\frac{d}{dx} p(x)\frac{d}{dx} + q(x)\biggr) \label{buch:orthogonal:sturm-liouville:opL1} \end{equation} heisst der {\em Sturm-Liouville-Operator}. +\index{Sturm-Liouville-Operator}% +\index{Operator!Sturm-Liouville-}% Eine Lösung des Sturm-Liouville-Problems ist eine Funktion $y(x)$ derart, dass \[ @@ -529,7 +537,10 @@ Im Folgenden sollen hingegen die Funktionen $J_n(s x)$ für konstantes $n$, aber verschiedene $s$ untersucht und als orthogonal erkannt werden. -Die Funktion $y(x) = J_n(x)$ ist eine Lösung der Bessel-Differentialgleichung +Die Funktion $y(x) = J_n(x)$ ist eine Lösung der Besselschen +Differentialgleichung +\index{Besselsche Differentialgleichung}% +\index{Differentialgleichung!Besselsche}% \[ x^2y'' + xy' + x^2y = n^2y. \] @@ -616,6 +627,7 @@ des Sturm-Liouville-Problems für den Eigenwert $\lambda = -s^2$. \begin{satz}[Orthogonalität der Bessel-Funktionen] +\index{Satz!Orthogonalität der Bessel-Funktionen}% Die Bessel-Funktionen $J_n(sx)$ für verschiedene $s$ sind orthogonal bezüglich des Skalarproduktes mit der Gewichtsfunktion $w(x)=x$, d.~h. @@ -696,6 +708,8 @@ des Skalarproduktes mit der Laguerre-Gewichtsfunktion. Die Tschebyscheff-Polynome sind Lösungen der bereits in Kapitel~\ref{buch:chapter:potenzen} hergeleiteten Tschebyscheff-Differentialgleichung~\eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:dgl} +\index{Tschebyscheff-Differentialgleichung}% +\index{Differentialgleichung!Tschebyscheff-}% \[ (1-x^2)y'' -xy' = n^2y \] @@ -727,6 +741,7 @@ xy'(x) \lambda y(x). \end{align*} Es folgt, dass die Tschebyscheff-Polynome orthogonal sind +\index{Tschebyscheff-Polynom}% bezüglich des Skalarproduktes \[ \langle f,g\rangle = \int_{-1}^1 f(x)g(x)\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}. @@ -737,6 +752,8 @@ bezüglich des Skalarproduktes % \subsubsection{Jacobi-Polynome} Die Jacobi-Polynome sind orthogonal bezüglich des Skalarproduktes +\index{Jacobi-Polynome}% +\index{Polynome!Jacobi-}% mit der Gewichtsfunktion \[ w^{(\alpha,\beta)}(x) = (1-x)^\alpha(1+x)^\beta, @@ -814,6 +831,8 @@ als Sturm-Liouville-Differentialgleichung erkannt. \subsubsection{Hypergeometrische Differentialgleichungen} %\url{https://encyclopediaofmath.org/wiki/Hypergeometric_equation} Auch die Eulersche hypergeometrische Differentialgleichung +\index{Eulersche hypergeometrische Differentialgleichung}% +\index{Differentialgleichung!Eulersche hypergeometrische}% lässt sich in die Form eines Sturm-Liouville-Operators \index{Eulersche hypergeometrische Differentialgleichung!als Sturm-Liouville-Gleichung}% bringen. -- cgit v1.2.1