From 9f8e0b23aa9897b429ef997d7de8224844b60880 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 20 Jun 2022 21:27:44 +0200 Subject: fix all the Bessel stuff --- buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex | 45 +++++++++++++++++++++++++++-- 1 file changed, 43 insertions(+), 2 deletions(-) (limited to 'buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex') diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex index 35054ab..1ba0ecb 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex @@ -11,6 +11,9 @@ konnte die Orthogonalität der Funktionen dadurch gezeigt werden, dass sie als Eigenfunktionen eines bezüglich eines geeigneten Skalarproduktes selbstadjungierten Operators erkannt wurden. +% +% Differentialgleichungen +% \subsection{Differentialgleichung} Das klassische Sturm-Liouville-Problem ist das folgende Eigenwertproblem. Gesucht sind Lösungen der Differentialgleichung @@ -30,6 +33,9 @@ erfüllen, wobei $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$. Weitere Bedingungen an die Funktionen $p(x)$, $q(x)$, $w(x)$ sowie die Lösungsfunktionen $y(x)$ sollen später geklärt werden. +% +% Das verallgemeinerte Eigenwertproblem für symmetrische Matrizen +% \subsection{Das verallgemeinerte Eigenwertproblem für symmetrische Matrizen} Ein zu \eqref{buch:integrale:eqn:sturm-liouville} analoges Eigenwertproblem für Matrizen ist das folgende verallgemeinerte Eigenwertproblem. @@ -175,6 +181,9 @@ ist damit ein gewöhnliches Eigenwertproblem für selbstadjungierte Matrizen des Operators $\tilde{A}$ bezüglich des verallgemeinerten Skalarproduktes $\langle\,\;,\;\rangle_B$. +% +% Der Operator L_0 und die Randbedingung +% \subsection{Der Operator $L_0$ und die Randbedingung} Die Differentialgleichung kann auch in Operatorform geschrieben werden. Dazu schreiben wir @@ -275,6 +284,9 @@ Ausgeschrieben bedeutet dies, dass die Randbedingung \eqref{buch:integrale:sturm:randbedingung} erfüllt sein muss. +% +% Skalarprodukt +% \subsection{Skalarprodukt} Das Ziel der folgenden Abschnitte ist, das Sturm-Liouville-Problem als Eigenwertproblem für einen selbstadjungierten Operator in einem @@ -314,6 +326,9 @@ mit der Gewichtsfunktion $w(x)$ verwendet werden. Damit dies ein vernünftiges Skalarprodukt ist, muss $w(x)>0$ im Innerend es Intervalls sein. +% +% Der Vektorraum H +% \subsection{Der Vektorraum $H$} Damit können wir jetzt die Eigenschaften der in Frage kommenden Funktionen zusammenstellen. @@ -346,7 +361,10 @@ f\in L^2([a,b],w)\;\bigg|\; \biggr\}. \] -\subsection{Differentialoperator} +% +% Der Sturm-Liouville-Differentialoperator +% +\subsection{Der Sturm-Liouville-Differentialoperator} Das verallgemeinerte Eigenwertproblem für $A$ und $B$ ist ein gewöhnliches Eigenwertproblem für die Operator $\tilde{A}=B^{-1}A$ bezüglich des modifizierten Skalarproduktes. @@ -366,12 +384,18 @@ $\lambda$ ist der zu $y(x)$ gehörige Eigenwert. Der Operator ist definiert auf Funktionen des im vorangegangenen Abschnitt definierten Vektorraumes $H$. +% +% Beispiele +% \subsection{Beispiele} Die meisten der früher vorgestellten Funktionenfamilien stellen sich als Lösungen eines geeigneten Sturm-Liouville-Problems heraus. Alle Eigenschaften aus der Sturm-Liouville-Theorie gelten daher automatisch für diese Funktionenfamilien. +% +% Trignometrische Funktionen +% \subsubsection{Trigonometrische Funktionen} Die trigonometrischen Funktionen sind Eigenfunktionen des Operators $d^2/dx^2$, also eines Sturm-Liouville-Operators mit $p(x)=1$, $q(x)=0$ @@ -434,6 +458,9 @@ Dann ist wegen die Bedingung~\eqref{buch:integrale:sturm:sabedingung} ebenfalls erfüllt, $L_0$ ist in diesem Raum selbstadjungiert. +% +% Bessel-Funktionen J_n(x) +% \subsubsection{Bessel-Funktionen $J_n(x)$} Der Bessel-Operator \eqref{buch:differentialgleichungen:bessel-operator} kann wie folgt in die Form eines Sturm-Liouville-Operators gebracht @@ -478,6 +505,9 @@ Es folgt damit sofort, dass die Besselfunktionen orthogonale Funktionen bezüglich des Skalarproduktes mit der Gewichtsfunktion $w(x)=1/x$ sind. +% +% Bessel-Funktionen J_n(sx) +% \subsubsection{Bessel-Funktionen $J_n(s x)$} Das Sturm-Liouville-Problem mit den Funktionen \eqref{buch:orthogonal:sturm:bessel:n} @@ -608,6 +638,9 @@ Damit sind geeignete Randbedingungen für das Sturm-Liouville-Problem gefunden. \end{proof} +% +% Laguerre-Polynome +% \subsubsection{Laguerre-Polynome} Die Laguerre-Polynome sind orthogonal bezüglich des Skalarprodukts mit der Laguerre-Gewichtsfunktion $w(x)=e^{-x}$ und erfüllen die @@ -646,6 +679,9 @@ also die Laguerre-Differentialgleichung. Somit folgt, dass die Laguerre-Polynome orthogonal sind bezüglich des Skalarproduktes mit der Laguerre-Gewichtsfunktion. +% +% Tschebyscheff-Polynome +% \subsubsection{Tschebyscheff-Polynome} Die Tschebyscheff-Polynome sind Lösungen der Tschebyscheff-Differentialgleichung @@ -685,10 +721,15 @@ bezüglich des Skalarproduktes \langle f,g\rangle = \int_{-1}^1 f(x)g(x)\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}. \] +% +% Jacobi-Polynome +% \subsubsection{Jacobi-Polynome} TODO - +% +% Hypergeometrische Differentialgleichungen +% \subsubsection{Hypergeometrische Differentialgleichungen} %\url{https://encyclopediaofmath.org/wiki/Hypergeometric_equation} Auch die Eulersche hypergeometrische Differentialgleichung -- cgit v1.2.1