From 9f8e0b23aa9897b429ef997d7de8224844b60880 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 20 Jun 2022 21:27:44 +0200 Subject: fix all the Bessel stuff --- buch/chapters/070-orthogonalitaet/bessel.tex | 3 +- buch/chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex | 58 ++++++++- .../070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex | 5 +- buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex | 31 ++++- buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex | 8 +- buch/chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex | 41 +++++- buch/chapters/070-orthogonalitaet/rodrigues.tex | 145 +++++++++++++++------ buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex | 45 ++++++- 8 files changed, 273 insertions(+), 63 deletions(-) (limited to 'buch/chapters/070-orthogonalitaet') diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/bessel.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/bessel.tex index 3e9412a..0ef28fd 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/bessel.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/bessel.tex @@ -1,7 +1,8 @@ % % Besselfunktionen also orthogonale Funktionenfamilie % -\section{Bessel-Funktionen als orthogonale Funktionenfamilie} +\section{Bessel-Funktionen als orthogonale Funktionenfamilie +\label{buch:orthogonalitaet:section:bessel}} \rhead{Bessel-Funktionen} Auch die Besselfunktionen sind eine orthogonale Funktionenfamilie. Sie sind Funktionen differenzierbaren Funktionen $f(r)$ für $r>0$ diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex index 4756844..fba1298 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex @@ -8,20 +8,66 @@ \label{buch:chapter:orthogonalitaet}} \lhead{Orthogonalität} \rhead{} +In der linearen Algebra lernt man, dass orthonormierte Basen für die +Lösung vektorgeometrischer Probleme, bei denen auch das Skalarprodukt +involviert ist, besonders günstig sind. +Die Zerlegung eines Vektors in einer Basis verlangt normalerweise nach +der Lösung eines linearen Gleichungssystems, für orthonormierte +Basisvektoren beschränkt sie sich auf die Berechnung von Skalarprodukten. + +Oft dienen spezielle Funktionen als Basis der Lösungen einer linearen +partiellen Differentialgleichung (siehe Kapitel~\ref{buch:chapter:pde}). +Die Randbedingungen müssen dazu in der gewählten Basis von Funktionen +zerlegt werden. +Fourier ist es gelungen, die Idee des Skalarproduktes und der Orthogonalität +auf Funktionen zu verallgemeinern und so zum Beispiel das Wärmeleitungsproblem +zu lösen. + +Der Orthonormalisierungsprozess von Gram-Schmidt wird damit auch auf +Funktionen anwendbar +(Abschnitt~\ref{buch:orthogonalitaet:section:orthogonale-funktionen}), +der Nutzen führt aber noch viel weiter. +Da $K[x]$ ein Vektorraum ist, führt er von der Basis der Monome +$\{1,x,x^2,\dots,x^n\}$ +auf orthonormierte Polynome. +Diese haben jedoch eine ganze Reihe weiterer nützlicher Eigenschaften. +So wird in Abschnitt~\ref{buch:orthogonal:section:drei-term-rekursion} +gezeigt, dass sich die Werte aller Polynome einer solchen Familie mit +einer Rekursionsformel effizient berechnen lassen, die höchstens drei +Terme umfasst. +In Abschnitt~\ref{buch:orthogonalitaet:section:rodrigues} werden +die Rodrigues-Formeln vorgeführt, die Polynome durch Anwendung eines +Differentialoperators hervorbringen. +In Abschnitt~\ref{buch:orthogonal:section:orthogonale-polynome-und-dgl} +schliesslich wird gezeigt, dass diese Polynome auch Eigenfunktionen +eines selbstadjungierten Operators sind. +Da man in der linearen Algebra auch lernt, dass die Eigenvektoren einer +symmetrischen Matrix zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal sind, +ist die Orthogonalität plötzlich nicht mehr überraschend. + +Die Bessel-Funktionen von +Abschnitt~\ref{buch:differntialgleichungen:section:bessel} +sind auch Eigenfunktionen eines Differentialoperators. +Abschnitt~\ref{buch:orthogonalitaet:section:bessel} findet das zugehörige +Skalarprodukt, welches andeutet, dass auch für andere Funktionenfamilien +eine entsprechende Konstruktion möglich ist. +Das in Abschnitt~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} +präsentierte Sturm-Liouville-Problem führt sie durch. +Das Kapitel schliesst mit dem +Abschnitt~\ref{buch:orthogonal:section:gauss-quadratur} +über die Gauss-Quadratur, welche die Eigenschaften orthogonaler Polynome +für einen besonders effizienten numerischen Integrationsalgorithmus +ausnutzt. + \input{chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex} \input{chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex} \input{chapters/070-orthogonalitaet/rodrigues.tex} -%\input{chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex} \input{chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex} \input{chapters/070-orthogonalitaet/bessel.tex} \input{chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex} \input{chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex} -%\section{TODO} -%\begin{itemize} -%\end{itemize} - -\section*{Übungsaufgaben} +\section*{Übungsaufgabe} \rhead{Übungsaufgaben} \aufgabetoplevel{chapters/070-orthogonalitaet/uebungsaufgaben} \begin{uebungsaufgaben} diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex index 2e43cec..4a25678 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex @@ -1,7 +1,8 @@ % % Anwendung: Gauss-Quadratur % -\section{Anwendung: Gauss-Quadratur} +\section{Anwendung: Gauss-Quadratur +\label{buch:orthogonal:section:gauss-quadratur}} \rhead{Gauss-Quadratur} Orthogonale Polynome haben eine etwas unerwartet Anwendung in einem von Gauss erdachten numerischen Integrationsverfahren. @@ -284,7 +285,7 @@ $p(x)$ sein. Der Satz~\ref{buch:integral:satz:gaussquadratur} begründet das {\em Gausssche Quadraturverfahren}. -Die in Abschnitt~\ref{buch:integral:section:orthogonale-polynome} +Die in Abschnitt~\ref{buch:orthogonal:subsection:legendre-polynome} bestimmten Legendre-Polynome $P_n$ haben die im Satz verlangte Eigenschaft, dass sie auf allen Polynomen geringeren Grades orthogonal sind. diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex index de8f63f..6401e98 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex @@ -3,7 +3,8 @@ % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule % -\section{Orthogonale Polynome und Differentialgleichungen} +\section{Orthogonale Polynome und Differentialgleichungen +\label{buch:orthogonal:section:orthogonale-polynome-und-dgl}} \rhead{Differentialgleichungen orthogonaler Polynome} Legendre hat einen ganz anderen Zugang zu den nach ihm benannten Polynomen gefunden. @@ -16,6 +17,9 @@ Die Orthogonalität wird dann aus einer Verallgemeinerung der bekannten Eingeschaft folgen, dass Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal sind. +% +% Legendre-Differentialgleichung +% \subsection{Legendre-Differentialgleichung} Die {\em Legendre-Differentialgleichung} ist die Differentialgleichung \begin{equation} @@ -61,7 +65,10 @@ zerlegen, die als Linearkombinationen der beiden Lösungen $y(x)$ und $y_s(x)$ ebenfalls Lösungen der Differentialgleichung sind. -\subsection{Potenzreihenlösung} +% +% Potenzreihenlösungen +% +\subsubsection{Potenzreihenlösung} Wir suchen eine Lösung in Form einer Potenzreihe um $x=0$ und verwenden dazu den Ansatz \[ @@ -170,7 +177,10 @@ eine Polynomlösung $\bar{P}_n(x)$ vom Grad $n$ gibt. Dies kann aber nicht erklären, warum die so gefundenen Polynome orthogonal sind. -\subsection{Eigenfunktionen} +% +% Eigenfunktionen +% +\subsubsection{Eigenfunktionen} Die Differentialgleichung \eqref{buch:integral:eqn:legendre-differentialgleichung} Kann mit dem Differentialoperator @@ -198,7 +208,10 @@ des Operators $D$ zum Eigenwert $n(n+1)$ sind: D\bar{P}_n = -n(n+1) \bar{P}_n. \] -\subsection{Orthogonalität von $\bar{P}_n$ als Eigenfunktionen} +% +% Orthogonalität von P_n als Eigenfunktionen +% +\subsubsection{Orthogonalität von $\bar{P}_n$ als Eigenfunktionen} Ein Operator $A$ auf Funktionen heisst {\em selbstadjungiert}, wenn für zwei beliebige Funktionen $f$ und $g$ gilt \[ @@ -274,7 +287,10 @@ die $\bar{P}_n$ orthogonale Polynome vom Grad $n$ sind, die die gleiche Standardierdisierungsbedingung wie die Legendre-Polyonome erfüllen, also ist $\bar{P}_n(x)=P_n(x)$. -\subsection{Legendre-Funktionen zweiter Art} +% +% Legendre-Funktionen zweiter Art +% +\subsubsection{Legendre-Funktionen zweiter Art} %Siehe Wikipedia-Artikel \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Legendre-Polynom} % Die Potenzreihenmethode liefert natürlich auch Lösungen der @@ -368,7 +384,7 @@ Q_1(x) = x \operatorname{artanh}x-1 verwendet werden. % -% +% Laguerre-Differentialgleichung % \subsection{Laguerre-Differentialgleichung \label{buch:orthogonal:subsection:laguerre-differentialgleichung}} @@ -429,6 +445,9 @@ ein anderer Weg zu einer zweiten Lösung gesucht werden. XXX TODO: zweite Lösung der Differentialgleichung. +% +% +% \subsubsection{Die assoziierte Laguerre-Differentialgleichung} \index{assoziierte Laguerre-Differentialgleichung}% \index{Laguerre-Differentialgleichung, assoziierte}% diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex index 677e865..97cd06b 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex @@ -11,9 +11,13 @@ Funktionenreihen mit Summanden zu bilden, die im Sinne eines Skalarproduktes orthogonal sind, welches mit Hilfe eines Integrals definiert sind. Solche Funktionenfamilien treten jedoch auch als Lösungen von -Differentialgleichungen. +Differentialgleichungen auf. Besonders interessant wird die Situation, wenn die Funktionen Polynome sind. +In diesem Abschnitt soll zunächst das Skalarprodukt definiert +und an Hand von Beispielen gezeigt werden, wie verschiedenartige +interessante Familien von orthogonalen Polynomen gewonnen werden +können. % % Skalarprodukt @@ -520,7 +524,7 @@ Tabelle~\ref{buch:integral:table:legendre-polynome}. Die Graphen sind in Abbildung~\ref{buch:integral:orthogonal:legendregraphen} dargestellt. Abbildung~\ref{buch:integral:orthogonal:legendreortho} illustriert, -dass die die beiden Polynome $P_4(x)$ und $P_7(x)$ orthogonal sind. +dass die beiden Polynome $P_4(x)$ und $P_7(x)$ orthogonal sind. Das Produkt $P_4(x)\cdot P_7(x)$ hat Integral $=0$. % diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex index dc5531b..c0efc6d 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex @@ -31,7 +31,17 @@ für alle $n$, $m$. \end{definition} \subsubsection{Allgemeine Drei-Term-Rekursion für orthogonale Polynome} -Der folgende Satz besagt, dass $p_n$ eine Rekursionsbeziehung erfüllt. +Die Multiplikation mit $x$ macht aus einem Polynom vom Grad $n$ ein +Polynom vom Grad $n+1$. +Das Polynom $xp_n(x)$ lässt sich daher als Linearkombination der +Polynome $p_k(x)$ mit $k\le n+1$ schreiben. +Es muss also eine lineare Beziehung zwischen den Polynomen $p_k(x)$ und +$xp_n(x)$ geben, die man nach $p_{n+1}(x)$ auflösen kann, um eine lineare +Darstellung von $p_{n+1}(x)$ durch die $p_k(x)$ und $p_n(x)$ zu +bekommen. +A priori muss man damit rechnen, dass sehr viele Summanden nötig sind. +Der folgende Satz besagt, dass $p_n(x)$ eine Rekursionsbeziehung mit +nur drei Termen erfüllt. \begin{satz} \label{buch:orthogonal:satz:drei-term-rekursion} @@ -55,9 +65,13 @@ C_{n+1} = \frac{A_{n+1}}{A_n}\frac{h_{n+1}}{h_n}. \end{equation} \end{satz} +Die Rekursionsbeziehung~\eqref{buch:orthogonal:eqn:rekursion} bedeutet, +dass sich die Werte $p_n(x)$ für alle $n$ ausgehend von $p_1(x)$ und +$p_0(x)$ mit nur $O(n)$ Operationen ermitteln lassen. + \subsubsection{Multiplikationsoperator mit $x$} -Man kann die Relation auch nach dem Produkt $xp_n(x)$ auflösen, dann -wird sie +Man kann die Relation \eqref{buch:orthogonal:eqn:rekursion} +auch nach dem Produkt $xp_n(x)$ auflösen, dann wird sie \begin{equation} xp_n(x) = @@ -68,9 +82,12 @@ xp_n(x) \frac{C_n}{A_n}p_{n-1}(x). \label{buch:orthogonal:eqn:multixrelation} \end{equation} -Die Multiplikation mit $x$ ist eine lineare Abbildung im Raum der Funktionen. +Die Multiplikation mit $x$ ist eine lineare Abbildung im Raum der Funktionen, +die wir weiter unten auch $M_x$ abkürzen. Die Relation~\eqref{buch:orthogonal:eqn:multixrelation} besagt, dass diese Abbildung in der Basis der Polynome $p_k$ tridiagonale Form hat. +Ein Beispiel dafür ist im nächsten Abschnitt in +\eqref{buch:orthogonal:eqn:Mx} \subsubsection{Drei-Term-Rekursion für die Tschebyscheff-Polynome} Eine Relation der Form~\eqref{buch:orthogonal:eqn:multixrelation} @@ -84,6 +101,22 @@ T_{n+1}(x) = 2x\,T_n(x)-T_{n-1}(x), \] also $A_n=2$, $B_n=0$ und $C_n=1$. +Die Matrixdarstellung des Multiplikationsoperators $M_x$ in der +Basis der Tschebyscheff-Polynome hat wegen +\eqref{buch:orthogonal:eqn:multixrelation} die Form +\begin{equation} +M_x += +\begin{pmatrix} + 0&\frac12& 0& 0& 0&\dots  \\ +\frac12& 0&\frac12& 0& 0&\dots  \\ + 0&\frac12& 0&\frac12& 0&\dots  \\ + 0& 0&\frac12& 0&\frac12&\dots  \\ + 0& 0& 0&\frac12& 0&\dots  \\ + \vdots& \vdots& \vdots& \vdots& \vdots&\ddots +\end{pmatrix}. +\label{buch:orthogonal:eqn:Mx} +\end{equation} \subsubsection{Beweis von Satz~\ref{buch:orthogonal:satz:drei-term-rekursion}} Die Relation~\eqref{buch:orthogonal:eqn:multixrelation} zeigt auch, diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rodrigues.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rodrigues.tex index 9fded85..9a36bdc 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rodrigues.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rodrigues.tex @@ -14,7 +14,8 @@ mit der Ableitung kann man den Grad aber auch senken, man könnte daher auch nach einer Rekursionsformel fragen, die bei einem Polynom hohen Grades beginnt und mit Hilfe von Ableitungen zu geringeren Graden absteigt. -Solche Formeln heissen Rodrigues-Formeln nach dem Entdecker Olinde +Solche Formeln heissen {\em Rodrigues-Formeln} nach dem Entdecker Olinde +\index{Rodriguez, Olinde}% Rodrigues, der eine solche Formal als erster für Legendre-Polynome gefunden hat. @@ -27,12 +28,17 @@ Die Skalarprodukte sollen \] sein. +% +% Pearsonsche Differentialgleichung +% \subsection{Pearsonsche Differentialgleichung} Die {\em Pearsonsche Differentialgleichung} ist die Differentialgleichung \begin{equation} B(x) y' - A(x) y = 0, \label{buch:orthogonal:eqn:pearson} \end{equation} +\index{Differentialgleichung!Pearsonsche}% +\index{Pearsonsche Differentialgleichung}% wobei $B(x)$ ein Polynom vom Grad höchstens $2$ ist und $A(x)$ ein höchstens lineares Polynom. Die Gleichung~\eqref{buch:orthogonal:eqn:pearson} @@ -45,20 +51,31 @@ Dann kann man die Gleichung umstellen in = \frac{A(x)}{B(x)} \qquad\Rightarrow\qquad -y = \exp\biggl( \int\frac{A(x)}{B(x)}\biggr)\,dx. +y += +\exp\biggl( +\int\frac{A(x)}{B(x)} +\,dx +\biggr) +. \] -Im folgenden nehmen wir zusätzlich an, dass +Im Folgenden nehmen wir zusätzlich an, dass an den Intervallenden \begin{equation} \lim_{x\to a+} w(x)B(x) = 0, \qquad\text{und}\qquad -\lim_{x\to b-} w(x)B(x) = 0. +\lim_{x\to b-} w(x)B(x) = 0 \end{equation} +gilt. + Falls $w(x)$ an den Intervallenden einen von $0$ verschiedenen Grenzwert hat, bedeutet dies, dass $B(a)=B(b)=0$ sein muss. Falls $w(x)$ am Intervallende divergiert, muss $B(x)$ dort eine Nullstelle höherer Ordnung haben, was aber für ein Polynom zweiten Grades nicht möglich ist. +% +% Rekursionsformel +% \subsection{Rekursionsformel} Multiplikation mit $B(x)$ wird den Grad eines Polynomes typischerweise um $2$ erhöhen, die Ableitung wird ihn wieder um $1$ reduzieren. @@ -66,12 +83,13 @@ Etwas formeller kann man dies wie folgt formulieren: \begin{satz} Für alle $n\ge 0$ ist -\[ +\begin{equation} q_n(x) = \frac{1}{w(x)} \frac{d^n}{dx^n} B(x)^n w(x) -\] +\label{buch:orthogonalitaet:rodrigues:eqn:rekursion} +\end{equation} ein Polynom vom Grad höchstens $n$. \end{satz} @@ -85,50 +103,65 @@ r_0(x) B(x)^n w(x) \\ &= \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} -\bigl(r_0'(x)B(x)+ nB'(x)B(x)^{n-1}w(x) + B(x)^n w'(x) \bigr) +\bigl(r_0'(x)B(x)+ nr_0(x)B'(x)B(x)^{n-1}w(x) + r_0(x)B(x)^n w'(x) \bigr) \\ &= \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} -(r_0'(x)B(x)+nB'(x)+A(x)) B(x)^{n-1} w(x) -= +(\underbrace{r_0'(x)B(x)+nr_0(x)B'(x)+r_0(x)A(x)}_{\displaystyle = r_1(x)}) +B(x)^{n-1} w(x) +\\ +&= \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} r_1(x)B^{n-1}(x) w(x). \end{align*} -Für die Funktionen $r_k$ gilt die Rekursionsformel +Iterativ lässt sich eine Folge von +Funktionen $r_k(x)$ definieren, für die Rekursionsformel \begin{equation} -r_k(x) = r_{k-1}'(x)B(x) + kB'(x) + A(x). +r_k(x) = r_{k-1}'(x)B(x) + \bigl((n+1-k)B'(x) + A(x)\bigr)r_{k-1}(x) \label{buch:orthogonal:rodrigues:rekursion:beweis1} \end{equation} +gilt. Wenn $r_0(x)$ ein Polynom ist, dann sind alle Funktionen $r_k(x)$ ebenfalls Polynome. -Durch wiederholte Anwendung dieser Formel kann man schliessen, dass +Aus der Konstruktion kann man schliessen, dass \[ \frac{d^n}{dx^n} r_0(x) B(x)^n w(x) = r_n(x) w(x). \] -Insbesondere folgt für $r_0(x)=1$, dass man durch $w(x)$ dividieren kann -und dass $r_n(x)=q_n(x)$. +Insbesondere folgt für $r_0(x)=1$, dass die $n$-te Ableitung den +Faktor $w(x)$ enthält und dass somit $r_n(x)=q_n(x)$ ein Polynom ist. + +Wir müssen auch noch den Grad von $r_k(x)$ bestimmen, wobei wir +wieder von $r_0(x)=1$ ausgehen. +Wir behaupten, dass $\deg r_k(x)\le k$ ist, und beweisen dies +mit vollständiger Induktion. +Für $k=0$ ist $\deg r_0(x) = 0 \le k$ die Induktionsverankerung. -Wir müssen auch noch den Grad von $r_k(x)$ bestimmen. -Dazu verwenden wir -\eqref{buch:orthogonal:rodrigues:rekursion:beweis1} und berechnen den -Grad: +Wir nehmen jetzt also an, dass $\deg r_{k-1}(x)\le k-1$ ist und +verwenden +\eqref{buch:orthogonal:rodrigues:rekursion:beweis1} um den Grad zu berechnen: \begin{equation*} \deg r_k(x) = \max \bigl( -\underbrace{\deg(r_{k-1}'(x) B(x))}_{\displaystyle \deg r_{k-1}(x) -1 + 2} +\underbrace{\deg(r_{k-1}'(x) B(x))}_{\displaystyle (k-1) -1 + 2} , -\underbrace{\deg(B'(x))}_{\displaystyle \le 1} +\underbrace{\deg(r_{k-1}(x)B'(x))}_{\displaystyle \le (k-1)+1} , -\underbrace{\deg(A(x))}_{\displaystyle \le 1} +\underbrace{\deg(r_{k-1}(x)A(x))}_{\displaystyle \le (k-1)+1} \bigr) -\le \max r_{k-1}(x) + 1. +\le k. \end{equation*} -Aus $\deg r_0(x)=0$ kann man jetzt ablesen, dass $\deg r_k(x)\le k$ ist. -Damit ist gezeigt, dass $\deg q_n(x)\le n$. +Damit ist der Induktionsschritt und $\deg r_k(x)\le k$ bewiesen. +Damit ist auch gezeigt, dass $\deg q_n(x)\le n$. \end{proof} +Die Rodrigues-Formel~\eqref{buch:orthogonalitaet:rodrigues:eqn:rekursion} +produziert eine Folge von Polynomen aufsteigenden Grades, es ist aber +noch nicht klar, dass diese Polynome bezüglich des gewählten Skalarproduktes +orthogonal sind. +Dies ist der Inhalt des folgenden Satzes. + \begin{satz} Es gibt Konstanten $c_n$ derart, dass \[ @@ -140,7 +173,7 @@ gilt. \end{satz} \begin{proof}[Beweis] -Wir müssen zeigen, dass die Polynome orthogonal sind auf allen Monomen +Wir zeigen, dass die Polynome orthogonal sind auf allen Monomen von geringerem Grad. \begin{align*} \langle q_n, x^k\rangle_w @@ -148,15 +181,17 @@ von geringerem Grad. \int_a^b q_n(x)x^kw(x)\,dx \\ &= -\int_a^b \frac{1}{w(x)}\frac{d^n}{dx^n}(B(x)^n w(x)) x^k w(x)\,dx +\int_a^b \frac{1}{w(x)} +\biggl(\frac{d^n}{dx^n}\bigl(B(x)^n w(x)\bigr)\biggr) +x^k w(x)\,dx \\ &= -\int_a^b \frac{d^n}{dx^n}(B(x)^n w(x)) x^k \,dx +\int_a^b \frac{d^n}{dx^n}\bigl(B(x)^n w(x)\bigr) x^k \,dx \\ &= -\biggl[\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(B(x)^n w(x)) x^k \biggr]_a^b +\biggl[\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\bigl(B(x)^n w(x)\bigr) x^k \biggr]_a^b - -\int_a^b \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(B(x)^n w(x))kx^{k-1}\,dx +\int_a^b \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\bigl(B(x)^n w(x)\bigr)kx^{k-1}\,dx \end{align*} Durch $n$-fache Iteration wird das Integral auf $0$ reduziert. Es bleiben nur die eckigen Klammern stehen, doch wenn man die Produktregel @@ -164,9 +199,20 @@ auswertet, bleibt immer mindestens ein Produkt $B(x)w(x)$ stehen, nach den Voraussetzungen an den Grenzwert dieses Produktes an den Intervallenden verschwinden diese Terme alle. Damit sind die $q_n(x)$ Polynome, die $w$-orthogonal sind auf allen -$x^k$ mit $k0$ im Innerend es Intervalls sein. +% +% Der Vektorraum H +% \subsection{Der Vektorraum $H$} Damit können wir jetzt die Eigenschaften der in Frage kommenden Funktionen zusammenstellen. @@ -346,7 +361,10 @@ f\in L^2([a,b],w)\;\bigg|\; \biggr\}. \] -\subsection{Differentialoperator} +% +% Der Sturm-Liouville-Differentialoperator +% +\subsection{Der Sturm-Liouville-Differentialoperator} Das verallgemeinerte Eigenwertproblem für $A$ und $B$ ist ein gewöhnliches Eigenwertproblem für die Operator $\tilde{A}=B^{-1}A$ bezüglich des modifizierten Skalarproduktes. @@ -366,12 +384,18 @@ $\lambda$ ist der zu $y(x)$ gehörige Eigenwert. Der Operator ist definiert auf Funktionen des im vorangegangenen Abschnitt definierten Vektorraumes $H$. +% +% Beispiele +% \subsection{Beispiele} Die meisten der früher vorgestellten Funktionenfamilien stellen sich als Lösungen eines geeigneten Sturm-Liouville-Problems heraus. Alle Eigenschaften aus der Sturm-Liouville-Theorie gelten daher automatisch für diese Funktionenfamilien. +% +% Trignometrische Funktionen +% \subsubsection{Trigonometrische Funktionen} Die trigonometrischen Funktionen sind Eigenfunktionen des Operators $d^2/dx^2$, also eines Sturm-Liouville-Operators mit $p(x)=1$, $q(x)=0$ @@ -434,6 +458,9 @@ Dann ist wegen die Bedingung~\eqref{buch:integrale:sturm:sabedingung} ebenfalls erfüllt, $L_0$ ist in diesem Raum selbstadjungiert. +% +% Bessel-Funktionen J_n(x) +% \subsubsection{Bessel-Funktionen $J_n(x)$} Der Bessel-Operator \eqref{buch:differentialgleichungen:bessel-operator} kann wie folgt in die Form eines Sturm-Liouville-Operators gebracht @@ -478,6 +505,9 @@ Es folgt damit sofort, dass die Besselfunktionen orthogonale Funktionen bezüglich des Skalarproduktes mit der Gewichtsfunktion $w(x)=1/x$ sind. +% +% Bessel-Funktionen J_n(sx) +% \subsubsection{Bessel-Funktionen $J_n(s x)$} Das Sturm-Liouville-Problem mit den Funktionen \eqref{buch:orthogonal:sturm:bessel:n} @@ -608,6 +638,9 @@ Damit sind geeignete Randbedingungen für das Sturm-Liouville-Problem gefunden. \end{proof} +% +% Laguerre-Polynome +% \subsubsection{Laguerre-Polynome} Die Laguerre-Polynome sind orthogonal bezüglich des Skalarprodukts mit der Laguerre-Gewichtsfunktion $w(x)=e^{-x}$ und erfüllen die @@ -646,6 +679,9 @@ also die Laguerre-Differentialgleichung. Somit folgt, dass die Laguerre-Polynome orthogonal sind bezüglich des Skalarproduktes mit der Laguerre-Gewichtsfunktion. +% +% Tschebyscheff-Polynome +% \subsubsection{Tschebyscheff-Polynome} Die Tschebyscheff-Polynome sind Lösungen der Tschebyscheff-Differentialgleichung @@ -685,10 +721,15 @@ bezüglich des Skalarproduktes \langle f,g\rangle = \int_{-1}^1 f(x)g(x)\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}. \] +% +% Jacobi-Polynome +% \subsubsection{Jacobi-Polynome} TODO - +% +% Hypergeometrische Differentialgleichungen +% \subsubsection{Hypergeometrische Differentialgleichungen} %\url{https://encyclopediaofmath.org/wiki/Hypergeometric_equation} Auch die Eulersche hypergeometrische Differentialgleichung -- cgit v1.2.1