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Date: Sat, 9 Oct 2021 21:13:51 +0200
Subject: erster Entwurf Kapitel Funktionentheorie

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 buch/chapters/080-funktionentheorie/analytisch.tex | 145 +++++++++++++++++++++
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--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/analytisch.tex
@@ -0,0 +1,145 @@
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+% analytisch.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Analytische Funktionen
+\label{buch:funktionentheorie:section:analytisch}}
+\rhead{Analytische Funktionen}
+Holomorphe Funktionen zeichnen sich dadurch aus, dass sie auch immer
+eine konvergente Reihenentwicklung haben, sie sind also analytisch.
+
+\subsection{Definition}
+\index{Taylor-Reihe}%
+\index{Exponentialfunktion}%
+Die Taylor-Reihenentwicklung der Exponentialfunktion ermöglicht deren
+effiziente Berechnung.
+Es ist aber nicht selbstverständlich, dass die Taylor-Reihe überhaupt
+gegen die Funktion konvergiert, aus deren Ableitungen sie gebildet
+worden ist, wie das folgende Beispiel illustriert.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/080-funktionentheorie/images/nonanalytic.pdf}
+\caption{Beispiel einer beliebig oft stetig differenzierbaren Funktion,
+deren Ableitungen in $x=0$ alle verschwinden.
+Die zugehörige Taylor-Reihe ist die Nullfunktion, sie hat nichts mit der
+Funktion zu tun.
+\label{buch:funktionentheorie:fig:nonanalytic}}
+\end{figure}
+
+\begin{beispiel}
+Wir betrachten die Funktion
+\[
+f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}
+:
+x \mapsto
+\begin{cases}
+e^{-1/x^2}&\qquad x\ne 0\\
+0&\qquad x=0.
+\end{cases}
+\]
+Der Graph $y=f(x)$ ist in Abbildung~\ref{buch:funktionentheorie:fig:nonanalytic}
+dargestellt.
+
+Die ersten zwei Ableitungen der Funktion $f$ sind
+\begin{align*}
+f'(x) &= \frac{2e^{-1/x^2}}{x^3} = \frac{2}{x^3}\cdot f(x)
+\\
+f''(x) &= \frac{(4-6x^2) e^{-1/x^2}}{x^6} = \frac{4-6x^2}{x^6}\cdot f(x)
+\\
+&\dots
+\end{align*}
+Man kann vermuten, dass alle
+Ableitungen Funktionen der Form
+\begin{equation}
+F(x) = \frac{p(x)}{x^n} \cdot f(x),
+\label{buch:funktionentheorie:eqn:nonanalytic:form}
+\end{equation}
+sind,
+wobei $p(x)$ ein Polynom ist.
+Leitet man eine solche Funktion nach $x$ ab, erhält man
+\begin{align*}
+\frac{d}{dx} F(x)
+&=
+\frac{\frac{d}{dx}(p(x)f(x)) x^n - nx^{n-1}p(x)f(x)}{x^{2n}}
+\\
+&=
+\frac{p'(x)f(x) + p(x)f'(x) - nx^{n-1}p(x)f(x)}{x^{2n}} 
+\\
+&=
+\frac{p'(x) + p(x)(2/x^3) - nx^{n-1}p(x)}{x^{2n}} \cdot f(x)
+\\
+&=
+\frac{x^3p'(x)+2p(x)-nx^{n-1}p(x)}{x^{2n+3}}\cdot f(x).
+\end{align*}
+Dies ist wieder eine Funktion der
+Form~\eqref{buch:funktionentheorie:eqn:nonanalytic:form}.
+
+Der Faktor $f(x)=e^{-1/x^2}$ von $F(x)$ geht für $x\to 0$ exponentiell
+schnell gegen $0$, schneller als der Nenner $x^n$ gegen $0$ gehen
+kann. 
+Der Grenzwert $x\to 0$ einer Funktion der 
+Form~\eqref{buch:funktionentheorie:eqn:nonanalytic:form}
+ist daher immer
+\[
+\lim_{x\to 0}  F(x) =0.
+\]
+Damit ist gezeigt, dass alle Ableitungen $f^{(n)}(0)=0$ sind.
+Die Taylorreihe von $f(x)$ ist daher die Nullfunktion.
+\end{beispiel}
+
+Die Klasse der Funktionen, die sich durch ihre Taylor-Reihe darstellen
+lassen, zeichnet sich also durch besondere Eigenschaften aus, die in
+der folgenden Definition zusammengefasst werden.
+
+\index{analytisch in einem Punkt}%
+\index{analytisch}%
+\begin{definition}
+Eine auf einem offenen Intervall $I\subset \mathbb {R}$ definierte Funktion
+$f\colon U\to\mathbb{R}$ heisst {\em analytisch im Punkt  $x_0\in I$}, wenn
+es eine in einer Umgebung von $x_0$ konvergente Potenzreihe
+\[
+\sum_{k=0}^\infty a_k(x-x_0)^k = f(x)
+\]
+gibt.
+Sie heisst {\em analytisch}, wenn sie analytisch ist in jedem Punkt von $I$.
+\end{definition}
+
+Es ist wohlbekannt aus der elementaren Theorie der Potenzreihen, dass
+eine analytische Funktion beliebig oft differenzierbar ist und dass
+die Potenzreihe im Punkt $x_0$ die Taylor-Reihe sein muss.
+Ausserdem sidn Summen, Differenzen und Produkte von analytischen Funktionen
+wieder analytisch.
+
+Für eine komplexe Funktion lässt sich der Begriff der
+analytischen Funktion genau gleich definieren.
+
+\begin{definition}
+Eine in einer offenen Teilmenge $U\subset \mathbb{C}$ definierte Funktion
+$f\colon U\to\mathbb{C}$ heisst {\em analytisch im Punkt $z_0\in U$}, wenn
+es eine in einer Umgebung von $z_0$ konvergente Potenzreihe
+\[
+\sum_{k=0}^\infty a_k(z-z_0) = f(z)
+\]
+gibt.
+Sie heisst {\em analytisch}, wenn sie analytisch ist in jedem Punkt von $U$.
+\end{definition}
+
+Die Verwendung einer offenen Teilmenge $U\subset\mathbb{C}$ ist wesentlich,
+denn die Funktion $f\colon z\mapsto \overline{z}$ kann in jedem Punkt
+$x_0\in\mathbb{R}$
+der reellen Achse $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$ durch die Potenzreihe 
+$f(x) = x_0 + (x-x_0)$ dargestellt werden.
+Es gibt aber keine Potenzreihe, die $f(z)$ in einer offenen Teilmenge
+von $\mathbb{C}$ gegen $f(z)=\overline{z}$ konvergiert.
+
+%
+% Der Konvergenzradius einer Potenzreihe
+%
+\subsection{Konvergenzradius
+\label{buch:funktionentheorie:subsection:konvergenzradius}}
+
+% XXX auf dem Rand des Konvergenzkreises gibt es immer eine Singularität
+
+
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