From d4046eef3dee4b3de6f1d456132cda22fef8743f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Sat, 9 Oct 2021 21:13:51 +0200 Subject: erster Entwurf Kapitel Funktionentheorie --- buch/chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex | 46 +++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 46 insertions(+) create mode 100644 buch/chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex (limited to 'buch/chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex') diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex new file mode 100644 index 0000000..2d0de8d --- /dev/null +++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex @@ -0,0 +1,46 @@ +% +% chapter.tex -- Kapitel zur Funktionentheorie +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +% !TeX spellcheck = de_CH +\chapter{Funktionentheorie +\label{buch:chapter:funktionentheorie}} +\lhead{Funktionentheorie} +\rhead{} +Jede stetige reelle Funktion $f\colon I\to\mathbb{R}$ auf einem +Intervall kann beliebig genau durch Polynome, also durch +differenzierbare approximiert werden. +Für komplex differenzierbare Funktionen sieht die Situation +völlig anders aus. +Bereits die Funktion $z\mapsto \overline{z}$ kann in einer offenen +Teilmenge von $\mathbb{C}$ nicht durch Polynome in der Variablen $z$ +approximiert werden. +Es stellt sich heraus, dass komplex differenzierbare Funktionen +immer eine konvergente Taylor-Reihe besitzen. +In Abschnitt~\ref{buch:funktionentheorie:section:analytisch} wird +ein Beispiel einer beliebig oft stetig differenzierbaren rellen +Funktion angegeben, die nur in $0$ verschwindet, deren Taylor-Reihe +in $0$ die Nullfunktion ist. + +Wenn man also weiss, dass die Lösung eines Problems nicht nur eine +relle Funktion ist, sondern eine komplex differenzierbare Funktion, +dann unterliegt diese sehr viel strengeren Einschränkungen. +Mit der zugehörigen Potenzreihe können Funktionswerte leicht berechnet +werden, mit dem Cauchy-Integral können Singularitäten studiert werden +und mit der analytischen Fortsetzung kann man Lösungen über Singularitäten +auf der rellen Achse hinaus fortsetzen. + +\input{chapters/080-funktionentheorie/holomorph.tex} +\input{chapters/080-funktionentheorie/analytisch.tex} +\input{chapters/080-funktionentheorie/cauchy.tex} +\input{chapters/080-funktionentheorie/fortsetzung.tex} + +%\section*{Übungsaufgaben} +%\rhead{Übungsaufgaben} +%\aufgabetoplevel{chapters/020-exponential/uebungsaufgaben} +%\begin{uebungsaufgaben} +%\uebungsaufgabe{0} +%\uebungsaufgabe{1} +%\end{uebungsaufgaben} + -- cgit v1.2.1