From d4046eef3dee4b3de6f1d456132cda22fef8743f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Sat, 9 Oct 2021 21:13:51 +0200 Subject: erster Entwurf Kapitel Funktionentheorie --- .../chapters/080-funktionentheorie/fortsetzung.tex | 247 +++++++++++++++++++++ 1 file changed, 247 insertions(+) create mode 100644 buch/chapters/080-funktionentheorie/fortsetzung.tex (limited to 'buch/chapters/080-funktionentheorie/fortsetzung.tex') diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/fortsetzung.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/fortsetzung.tex new file mode 100644 index 0000000..d4d0795 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/fortsetzung.tex @@ -0,0 +1,247 @@ +% +% fortsetzung.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Analytische Fortsetzung +\label{buch:funktionentheorie:section:fortsetzung}} +\rhead{Analytische Fortsetzung} + +Wir haben schon gesehen, dass eine reelle Funktion, die in einem +Punkte eine konvergente +Potenzreihe besitzt, auf natürliche Weise auch als komplexe Funktion +betrachtet werden kann, indem man komplexe Argumente in der Potenzreihe +zulässt. +Die neue komplexe Funktion ist ein einem Kreis um den Punkt +konvergent. +Mit Hilfe der Potenzreihe kann man also immer eine Funktion auf ein +Kreisgebiet ausdehen. +Dieser Abschnitt untersucht die Frage, ob man diese Idee auch auf +noch grössere Gebiete ausdehnen kann. +\subsection{Analytische Fortsetzung mit Potenzreihen} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/080-funktionentheorie/images/forts.pdf} +\caption{Analytische Fortsetzung einer komplexen Funktion entlang einer +Kurve $\gamma$. +\label{komplex:fortsetzung}} +\end{figure} +Eine komplex differenzierbare Funktion $f(z)$ ist immer darstellbar als +Potenzreihe, und ist daher analytisch. +So kann zum Beispiel die Funktion $1/z$ als Potenzreihe um jeden +beliebigen Punkt $z_0$ entwickelt werden: +\begin{align} +f(z) +&= +\frac1z += +\frac1{z_0-(z_0-z)} += +\frac1{z_0}\cdot +\frac1{1-\displaystyle\frac{z_0-z\mathstrut}{z_0\mathstrut}} += +\frac1{z_0}\sum_{k=0}^{\infty} \biggl(\frac{z_0-z\mathstrut}{z_0\mathstrut}\biggr)^k += +\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{z_0^{k+1}} (z-z_0)^k, +\label{komplex:1durchreihe} +\end{align} +Die Koeffizienten dieser Potenzreihe sind +\[ +a_k=\frac{(-1)^k}{z_0^{k+1}}, +\] +und man kann den Konvergenzradius ausrechnen: +\[ +\frac1{\varrho} += +\limsup_{k\to\infty} \root{k}\of{|a_k|} = \lim_{k\to\infty}\frac1{|z_0|^{\frac{k+1}{k}}} += +\frac1{|z_0|}. +\] +Der Konvergenzradius ist limitiert durch die Singularität bei an der Stelle +$z=0$. + +Es gibt also keine einzelne Potenzreihe, die die Funktion $f(z)=\frac1z$ in der +ganzen komplexen Ebene darstellen kann. +Wählt man aber einzelne Punkte $z_0$ und $z_1$ derart, dass der Kreis +um $z_0$ mit Radius $|z_0|$ und der Kreis um $z_1$ mit Radius $|z_1|$ +überlappen, dann werden die beiden Potenzreihen im Überlappungsgebiet +die gleichen Werte annehmen. + +Man könnte allso eine Kurve $\gamma$ in der komplexen Ebene wählen, +entlang der man in jedem Punkt die Funktion $f(z)$ in eine Potenzreihe +entwickelt. +Liegen zwei Punkte nahe genug auf der Kurve $\gamma$, werden die +Konvergenzkreise der Potenzreihen überlappen, und die Potenzreihen +werden im Überlappungsgebiet die gleichen Werte liefern. + +Selbst wenn man eine Funktion $f(z)$ nur in einem Kreis um den Punkt $z_0$ +kennt, zum Beispiel durch eine Potenzreihe im Punkt $z_0$, kann man entlang +einer Kurve, die $z_0$ mit $z_1$ verbindet, in jedem Punkt eine Potenzreihe +finden, die mit der Potenzreihe in den Nachbarpunkten übereinstimmt, und +so die Definition der Funktion entlang dieser Kurve auf ein grösseres +Gebiet ausweiten, wie in Abbildung~\ref{komplex:fortsetzung} dargestellt. +Man nennt dies die {\em analytische Fortsetzung} der Funktion $f(z)$ +entlange der Kurve $\gamma$. +\index{analytische Fortsetzung} +\index{Fortsetzung, analytische} + +\begin{beispiel} +Wir haben bereits gesehen, dass sich die Funktion $f(z)=1/z$ in jedem +Punkt $z_0$ der komplexen Ebene in die Potenzreihe~\eqref{komplex:1durchreihe} +entwickeln lässt. +Diese Reihe lässt sich integrieren +\[ +F(z,z_0) += +\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(k+1)z_0^{k+1}}z^{k+1}, +\] +diese Reihe ist ebenfalls auf einem Kreis vom Radius $|z_0|$ um den +Punkt $z_0$ konvergent. +Wir vermuten natürlich, dass dies eine Darstellung des natürlichen +Logarithmus einer komplexen Zahl ist. +Natürlich ist das immer nur auf einem Kreisgebiet möglich, die Reihe +für $z=1$ ist zum Beispiel im Punkt $z=-1$ nicht konvergent. + +Um eine in der ganzen komplexen Ebene definierte Funktion $\log(z)$ zu +konstruieren, müssen wir also eine analytische Fortsetzung aufbauen. +Bei der Integration haben wir eine frei wählbare Integrationskonstante +$C(z_0)$, die wir so wählen müssen, dass die Reihen im Überlappungsgebiet +übereinstimmen: +\[ +F(z,z_0) + C(z_0) = F(z,z_1) + C(z_1) +\] +für jedes $z$ im Überlappungsgebiet. +Dadurch wird aber nur die Differenz $C(z_1)-C(z_0)$ der Werte festgelegt. +Da wir Übereinstimmung mit der üblichen Definition des Logarithmus +erreichen möchten, können wir $C(1)=0$ festlegen. + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/080-funktionentheorie/images/fortsetzreziprok.pdf} +\caption{Analytische Fortsetzung für die Funktion $\frac1z$ +entlang der Pfade $\gamma_+$ und $\gamma_-$. +\label{komplex:logfortsetzung}} +\end{figure} +Wir konstruieren jetzt die analytische Forstsetzung entlang der Kurven +$\gamma_+$ und $\gamma_-$ wie in Abbildung~\ref{komplex:logfortsetzung} +dargestellt. +Um die Differenz $C(z_1)-C(z_0)$ zu bestimmen, Werten wir die Funktionen +$F(z,z_0)$ und $F(z,z_1)$ jeweils im rot eingezeichneten Punkt aus. +Die exakte Berechnung ist etwas mühsam, da es sich ja nur um ein Beispiel +handelt, können wir die Reihen auch numerisch ausrechnen, und so die +Differenzen bestimmen: +\begin{align*} +&\text{Startpunkt $z_0=1$:}& C(1)&=0 & & \\ +&\text{entlang $\gamma_+$:}& C(i)&= i\frac{\pi}2 & C(-1) &= i\pi\\ +&\text{entlang $\gamma_-$:}&C(-i)&=-i\frac{\pi}2 & C(-1) &= -i\pi +\end{align*} +Wir stellen fest, dass die analytische Fortsetzung der Logarthmusfunktion +entlang der Kurve $\gamma_+$ die Potenzreihe +\[ +\log_+(z) += +i\pi +\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k(-1)^k}(z+1)^k += +i\pi +- +\sum_{k=1}^\infty \frac{(z+1)^k}{k} +\] +ergibt, während man entlang der Kurve $\gamma_-$ +\[ +\log_-(z) += +-i\pi +\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k(-1)^k}(z+1)^k += +-i\pi +- +\sum_{k=1}^\infty \frac{(z+1)^k}{k} +\] +findet. +Die beiden analytischen Fortsetzungen entlang der Kurven $\gamma_+$ und +$\gamma_-$ stimmen auf der negativen reellen Achse nicht überein, +sie unterscheiden sich um $2\pi i$: +\[ +\log_+(z)-\log_-(z)=2\pi i. +\qedhere +\] +\end{beispiel} + +Das Beispiel zeigt, dass es im Allgmeinen eine auf der ganzen komplexen +Ebene definierte komplexe Entsprechung einer reellen Funktion nicht +zu geben braucht. +Dieses Phänomen tritt zum Beispiel auch bei der Wurzelfunktion $f(z)=\sqrt{z}$ +auf. +Diese Funktion ist im Punkt $z=0$ nicht differenzierbar, man muss diesen +Punkt also aus dem Definitionsbereich ausschliessen. +Führt man man analog zum Beispiel eine analytische Fortsetzung durch, +findet man, dass sich die Werte von $f(z)$ für die beiden Wege $\gamma_+$ +und $\gamma_-$ durch das Vorzeichen unterscheiden. +\subsection{Analytische Fortsetzung mit Differentialgleichungen +\label{komplex:analytische-fortsetzung-dgl}} +In Abschnitt~\ref{subsection:wegintegrale} wurde gezeigt, wie Wegintegrale +Stammfunktionen komplexer Funktionen liefern können. +Im vorangegangenen Abschnitt wurde untersucht, wie eine komplex differenzierbare +Funktion mit Hilfe von analytischer Fortsetzung entlang einer Kurve +ausgedehnt werden kann. + +Sei $f(z)$ eine komplex differenzierbare Funktion. +In jedem beliebigen Punkt des Definitionsbereichs können wir $f(z)$ +in eine Potenzreihe entwickeln, und natürlich auch termweise integrieren. +Es gibt also in jedem Punkt $z_0$ des Definitionsbereichs eine +Funktion $F_{z_0}(z)$, die $F'_{z_0}(z)=f(z)$ erfüllt. +Durch analytische Fortsetzung entlang einer Kurve $\gamma$ können +wir eine komplex differenzierbare Funktion $f(z)$ finden, die in einer +Umgebung der Kurve $F'(z)=f(z)$ erfüllt. + +Sei andererseits $\gamma\colon[a,b]\to\mathbb C$ eine Kurve in $\mathbb C$. +Dann können wir die Werte der Stammfunktion im Punkt $\gamma(b)$ durch +\[ +F(\gamma(b)) = F(\gamma(a))+\int_\gamma f(z)\,dz +\] +berechnen. + +\begin{beispiel} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/080-funktionentheorie/images/logforts.pdf} +\caption{Analytische Fortsetzung des Logarithmus als Lösung der +Differentialgleichung $y'=\frac1z$. +Bei einem Umlauf um den Nullpunkt nimmt der Wert von $y(z)$ um +$2\pi i$ zu. +\label{komplex:analytische-fortsetzung-log} +} +\end{figure} +Wir bestimmen die Stammfunktion von $f(z)=1/z$. +Entlang der reellen Achse weiss man bereits, dass die Stammfunktion +der natürliche Logarithmus ist, also $F(x)=\log x$. +Um diese Stammfunktion auf $\mathbb C$ auszudehnen, verwenden wir einen +kreisförmigen Pfad von der reellen Achse bis zum Punkt $z$. +Liegt $z$ in der oberen Halbebene, wählen wir einen Pfad in der +oberen Halbebene, und umgekehrt. +Wir können die Zahl $z$ in Polarkoordinaten darstellen als $z=re^{i\varphi}$. +Ein Pfad von der reellen Achse kann mit +\[ +\gamma\colon [0,1]\to\mathbb C: t\mapsto re^{it\varphi} +\] +parametrisiert werden. +Der Zuwachs der Stammfunktion entlang dieses Pfades ist +\[ +F(z)-F(r) += +\int_\gamma\frac1z\,dz += +\int_0^1 \frac1{e^{it\varphi}}i\varphi e^{it\varphi}\,dt += +i\varphi \int_0^1\,dt += +i\varphi. +\] +Der Wert der Stammfunktion am Anfang der Kurve ist $\log r$, somit +folgt, dass +\[ +\log z = \log r + i\varphi +\] +(Abbildung~\ref{komplex:analytische-fortsetzung-log}). +\end{beispiel} + + -- cgit v1.2.1