From 205b65bcb0891d941b60f295876b40121cfe871e Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Sat, 18 Dec 2021 17:17:17 +0100
Subject: more info about gamma function

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 .../080-funktionentheorie/gammareflektion.tex      | 223 +++++++++++++++++++++
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new file mode 100644
index 0000000..e77c8d6
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/gammareflektion.tex
@@ -0,0 +1,223 @@
+%
+% gammareflektion.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\subsection{Reflektionsformel für die Gamma-Funktion
+\label{buch:funktionentheorie:subsection:gammareflektion}}
+Die Formel~\eqref{buch:rekursion:gamma:spiegelung-betaintegral}
+stellt eine Beziehung zwischen dem Produkt $\Gamma(x)\Gamma(1-x)$
+von zwei Werten der Gamma-Funktion in Punkten der komplexen Ebene,
+die durch Spiegelung an der Geraden $\operatorname{Re}x=\frac12$
+auseinander hervorgehen, und einem speziellen Beta-Integral her.
+
+\begin{satz}
+Für $0<x<1$ gilt
+\begin{equation}
+\Gamma(x)\Gamma(1-x)
+=
+\frac{\pi}{\sin\pi x}.
+\end{equation}
+\end{satz}
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/080-funktionentheorie/images/gammapfad.pdf}
+\caption{Pfad zur Auswertung des
+Integrals~\eqref{buch:funktionentheorie:eqn:gammapfadintegral}
+mit Hilfe des Residuensatzes.
+\label{buch:funktionentheorie:fig:gammapfad}}
+\end{figure}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+In der Formel~\eqref{buch:rekursion:gamma:spiegelung-betaintegral}
+wurde bereits ein Zusammenhang zwischen $\Gamma(x)\Gamma(1-x)$
+und einem Beta-Integral hergestellt, konkret
+\[
+\Gamma(x)\Gamma(1-x)
+=
+B(x,1-x)
+=
+\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{-x}\,dt.
+\]
+Mit der Substitution $t=s/(s+1)$, die bereits für die Herleitung der
+Formel~\eqref{buch:rekursion:gamma:beta:sinf} verwendet wurde, ergibt sich
+\[
+\Gamma(x)\Gamma(1-x)
+=
+\int_0^\infty 
+\frac{s^{x-1}}{s+1}
+\,ds.
+\]
+Um dieses Integral zu berechnen, verwenden wir den Cauchy-Integralsatz,
+um das Integral
+\begin{equation}
+I
+=
+\oint_\gamma \frac{z^{x-1}}{1-z}\,dz
+\label{buch:funktionentheorie:eqn:gammapfadintegral}
+\end{equation}
+zu berechnen.
+Darin hat die Funktion im Zähler des Integranden $f(z)=z^{x-1}$ 
+nur ausserhalb der negativen reellen Achse einen wohldefinierten Wert.
+In Polarkoordinaten $z=re^{i\varphi}$ verwenden wir
+den Hauptwert $z^{x-1}=r^{x-1}e^{i(x-1)\varphi}$.
+Aus dem Cauchy-Integralsatz lesen wir den Wert
+\[
+I = 2\pi i
+\]
+ab.
+
+Das Integral \eqref{buch:funktionentheorie:eqn:gammapfadintegral}
+kann zerlegt werden in die Integrale
+\begin{align*}
+I
+&=
+I_R+I_++I_\varepsilon+I_-,
+\end{align*}
+wobei $I_R$ das Integral über den äusseren Kreis vom Radius $R$ ist,
+$I_\varepsilon$ das Integral im Gegenuhrzeigersinn über den inneren Kreis
+vom Radius $\varepsilon$.
+Die Terme $I_{\pm}$ sind die Integrale entlang der negativen
+reellen Achse, wobei das Pluszeichen für den oberen $-R$ nach
+$-\varepsilon$ gelten soll.
+
+Für die beiden Integrale $I_R$ und $I_\varepsilon$ wird die Parametrisierung
+$\varphi\mapsto z(\varphi) = re^{i\varphi}$ mit $dz=ire^{i\varphi}\,d\varphi$
+verwendet.
+Das Integral über den Kreis vom Radius $r$ im Gegenuhrzeigersinn ist
+\begin{align*}
+I_r
+&=
+\int_{-\pi}^\pi
+\frac{r^{x-1}e^{i(x-1)\varphi}}{1-re^{i\varphi}} ire^{i\varphi}\,d\varphi
+=
+i\int_{-\pi}^\pi
+\frac{r^xe^{ix\varphi}}{1-re^{i\varphi}}
+\,d\varphi
+\end{align*}
+Die beiden Teile $I_R$ und $I_\varepsilon$ können wie folgt noch
+weiter vereinfacht werden:
+\begin{align*}
+\\
+I_R
+&=
+iR^{x-1}
+\int_{-\pi}^\pi
+\frac{e^{ix\varphi}}{1/R-e^{i\varphi}}
+\,d\varphi
+\\
+I_{\varepsilon}
+&=
+-
+i
+\varepsilon^x
+\int_{\pi}^{-\pi}
+\frac{e^{ix\varphi}}{1-\varepsilon e^{i\varphi}}
+\,d\varphi,
+\end{align*}
+wobei das negative Zeichen bei $I_\varepsilon$ daher rührt, dass der
+kleine Kreis im Uhrzeigersinn durchlaufen wird.
+Für grosse Werte von $R$ ist das erste Integral beschränkt, aber wegen
+$x-1<0$ konvergiert der Vorfaktor $R^{x-1}$ gegen 0 für $R\to\infty$.
+Ähnlich ist das zweite Integral für kleine $\varepsilon$ beschränkt, aber
+$\varepsilon^x$ konvergiert gegen $0$ für  $\varepsilon\to 0$.
+Wir können daher
+\begin{align*}
+\lim_{R\to\infty}
+I_R
+&=
+\lim_{R\to\infty}
+R^{x-1}
+\int_{-\pi}^\pi
+\frac{e^{i(x-1)\varphi}}{1/R-e^{i\varphi}}
+ie^{i\varphi}
+\,d\varphi
+=0
+\\
+\text{und}
+\qquad
+\lim_{\varepsilon\to 0}
+I_\varepsilon
+&=
+-
+\lim_{\varepsilon\to 0}
+\int_{\pi}^{-\pi}
+\frac{\varepsilon^{x-1}e^{i(x-1)\varphi}}{1-\varepsilon e^{i\varphi}}
+i\varepsilon e^{i\varphi}
+\,d\varphi
+=
+0
+\end{align*}
+folgern.
+
+Die anderen zwei Integrale verwenden die Parametrisierung
+$z(s) = -s = se^{\pm i\pi}$ mit $dz = e^{\pm i\pi}\,ds$.
+Damit werden sie
+\begin{align*}
+I_+
+&=
+\int_{R}^{\varepsilon}
+\frac{s^{x-1}e^{i(x-1)\pi}}{1-se^{i\pi}}
+e^{i\pi}
+\,ds
+=
+\int_{\varepsilon}^R
+\frac{s^{x-1}e^{ix\pi}}{1+s}
+\,ds
+\\
+I_-
+&=
+\int_{\varepsilon}^{R}
+\frac{s^{x-1}e^{i(x-1)(-\pi)}}{1-se^{-i\pi}}
+e^{-i\pi}
+\,ds
+=
+-
+\int_{\varepsilon}^{R}
+\frac{s^{x-1}e^{-ix\pi}}{1+s}
+\,ds.
+\intertext{Die beiden Integrale stimmen bis auf den von $t$ unabhängigen
+Faktor $e^{\pm ix\pi}$ überein, sie können daher zusammegefasst werden zu}
+I_++I_-
+&=
+(e^{ix\pi}-e^{-ix\pi})
+\int_{\varepsilon}^{R}
+\frac{s^{x-1}}{1+s}
+\,ds
+=
+\frac{e^{ix\pi}-e^{-ix\pi}}{2i}
+\cdot
+2i \int_{\varepsilon}^{R}
+\frac{s^{x-1}}{1+s}
+\,ds
+\\
+&=
+2i
+\sin(\pi x)
+\int_{\varepsilon}^R
+\frac{s^{x-1}}{1+s}
+\,ds.
+\end{align*}
+Durch Grenzübergang $R\to\infty$ und $\varepsilon \to 0$ wird dies zu
+\[
+I
+=
+2i\sin(\pi x) \int_{0}^\infty \frac{s^{x-1}}{1+s}\,ds
+\]
+Zusammen mit dem früher bestimmten Wert $I=2\pi i$ folgt 
+\[
+2\pi i
+= 
+2i\sin(\pi x)
+\int_{0}^\infty \frac{s^{x-1}}{1+s}\,ds
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\frac{\pi}{\sin \pi x}
+=
+\int_{0}^\infty \frac{s^{x-1}}1+s\,ds
+=
+\Gamma(x)\Gamma(1-x).
+\]
+Damit ist der Satz bewiesen.
+\end{proof}
+
-- 
cgit v1.2.1

