From 205b65bcb0891d941b60f295876b40121cfe871e Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Sat, 18 Dec 2021 17:17:17 +0100
Subject: more info about gamma function

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 .../080-funktionentheorie/uebungsaufgaben/1.tex    | 55 ++++++++++++++++++++++
 .../080-funktionentheorie/uebungsaufgaben/2.tex    | 31 ++++++++++++
 2 files changed, 86 insertions(+)
 create mode 100644 buch/chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben/1.tex
 create mode 100644 buch/chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben/2.tex

(limited to 'buch/chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben')

diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben/1.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben/1.tex
new file mode 100644
index 0000000..8bc276f
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben/1.tex
@@ -0,0 +1,55 @@
+Verwenden Sie die Eulersche Spiegelungsformel um 
+\[
+S_n
+=
+\sum_{k=1}^n
+\Gamma\biggl(\frac{1+2k}2\biggr)\Gamma\biggl(\frac{1-2k}2\biggr)
+\]
+zu berechnen.
+
+\begin{loesung}
+Zunächst beachten wir, dass
+\[
+1 - \frac{1+2k}2
+=
+\frac{1-2k}2.
+\]
+Dies bedeutet, dass
+\[
+\Gamma\biggl(\frac{1+2k}2\biggr)
+\Gamma\biggl(\frac{1-2k}2\biggr)
+=
+\Gamma\biggl(\frac{1+2k}2\biggr)
+\Gamma\biggl(1-\frac{1+2k}2\biggr)
+=
+\frac{\pi}{
+\sin\pi\frac{1+2k}2
+}
+=
+\frac{\pi}{\sin(2k+1)\frac{\pi}2}
+\]
+nach der Eulerschen Spiegelungsformel.
+Das Argument der Sinus-Funktion ist ein ungerades Vielfaches 
+von $\frac{\pi}2$, die Sinus-Funktion hat dort die Werte $\pm 1$,
+genauer
+\[
+\sin(2k+1)\frac{\pi}2
+=
+(-1)^k.
+\]
+Damit wird die gesuchte Summe:
+\[
+S_n
+=
+\sum_{k=1}^n
+\frac{\pi}{(-1)^k}
+=
+-\pi+\pi-\pi+\dots+(-1)^n\pi
+=
+\begin{cases}
+0&\qquad\text{$n$ gerade}\\
+-\pi&\qquad\text{$n$ ungerade}.
+\end{cases}
+\qedhere
+\]
+\end{loesung}
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben/2.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben/2.tex
new file mode 100644
index 0000000..48e9bdc
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben/2.tex
@@ -0,0 +1,31 @@
+Verwenden Sie die Legendresche Verdoppelungsformel und
+die Eulersche Spiegelungsformel für die Gamma-Funktion,
+um $\Gamma(\frac14)\Gamma(\frac34)$ zu berechnen und
+verifizieren Sie, dass beide Wege das gleiche Resultat geben.
+
+\begin{loesung}
+Aus der Spiegelungsformel für $x=\frac14$ folgt
+\[
+\Gamma({\textstyle\frac14})\Gamma({\textstyle\frac34})
+=
+\frac{\pi}{\sin\frac{\pi}4}
+=
+\frac{\pi}{1/\sqrt{2}}
+=
+\pi\sqrt{2}.
+\]
+Andererseits ist $\frac34=\frac14+\frac12$, so dass aus der Legendreschen
+Verdoppelungsformel folgt
+\[
+\Gamma({\textstyle\frac14})\Gamma({\textstyle\frac34})
+=
+2^{1-2\cdot \frac14}\sqrt{\pi}\Gamma(2\cdot {\textstyle\frac14})
+=
+\sqrt{2}
+\sqrt{\pi}\Gamma({\textstyle\frac12})
+=
+\sqrt{2}
+\pi.
+\]
+Offensichtlich stimmen die beiden Resultate überein.
+\end{loesung}
-- 
cgit v1.2.1