From bd95a05c1c036bb4b8f24d6309922f18804255c9 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Thu, 9 Dec 2021 16:59:08 +0100
Subject: Eigenwertproblem auf dem Rechteck

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 buch/chapters/090-pde/rechteck.tex | 190 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++
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 %
 \section{Rechteckige Membran
 \label{buch:pde:section:rechteck}}
+Als Beispiel für die Lösung des in
+Abschnitt~\ref{buch:pde:subsection:eigenwertproblem}
+aus der Wellengleichung abgeleiteten Eigenwertproblems
+mit Hilfe von Separation betrachten wir ein rechteckiges Gebiet.
+
+\subsection{Differentialgleichung und Randbedingungen}
+Wir betrachten das Gebiet
+\[
+G
+=
+(0,a) \times (0,b) 
+=
+\{ (x,y) \mid 0< x <a\wedge 0<y<b\}.
+\]
+Gesucht ist eine Lösung des Eigenwertproblems
+\begin{equation}
+\Delta U = -\lambda^2 U
+\label{buch:pde:rechteck:eqn:dgl}
+\end{equation}
+auf $G$ mit den homogenen Randbedingungen
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+U(0,y) &= 0\\
+U(a,y) &= 0
+\end{aligned}
+\;
+\right\}
+\forall y \in (0,b)
+\qquad
+\text{und}
+\qquad
+\left.
+\begin{aligned}
+U(x,0) &= 0\\
+U(x,b) &= 0
+\end{aligned}
+\;
+\right\}
+\forall x \in (0,a).
+\]
+Dieses Gebiet lässt sich bestens in kartesischen Koordinaten
+beschreiben, so dass wir auch den Laplace-Operator in den
+gleichen Koordinaten ansetzen können.
+Wir verwenden also im folgenden
+\[
+\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}.
+\]
+
+
+\subsection{Separation}
+Wir setzen die Lösung als Produkt von Funktionen, die nur von einer
+der Variablen abhängen, nämlich
+\[
+U(x,y)
+=
+X(x) \cdot Y(y).
+\]
+Durch Einsetzen in die
+Differentialgleichung~\eqref{buch:pde:rechteck:eqn:dgl}
+erhalten wir
+\[
+X''(x) \cdot Y(y) + X(x)\cdot Y''(y) = -\lambda^2 X(x)\cdot Y(y).
+\]
+Nach Division durch $X(x)\cdot Y(y)$ können wir separieren in 
+\[
+\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda^2 - \frac{Y''(y)}{Y(y)}.
+\]
+Da wir Schwingungslösungen erwarten, schreiben wir die Lösungen
+in der Form $-\mu^2$. 
+So erhalten wir die beiden Differentialgleichungen
+\[
+\begin{aligned}
+X''(x) &= -\mu^2 X(x)&&x\in (0,a)
+\\
+Y''(y) &= (-\lambda^2-\mu^2) Y(y)&& y\in(0,b)
+\end{aligned}
+\]
+
+Die Funktionen $X(x)$ und $Y(y)$ müssen homogene Randbedingungen
+erfüllen, also
+\[
+\begin{aligned}
+X(0) &= 0\\
+X(a) &= 0
+\end{aligned}
+\qquad\text{und}\qquad
+\begin{aligned}
+Y(0) &= 0\\
+Y(b) &= 0
+\end{aligned}
+\]
+
+\subsection{Lösung der Differentialgleichungen}
+Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung $X''(x) = -\mu^2 X(x)$
+ist eine Funktion der Form
+\[
+X(x) = A\cos\mu x + B\sin\mu x.
+\]
+Die Randbedingung für $x=0$ ist
+\[
+X(0) = A = 0
+\]
+bedeutet, dass nur der Sinus-Term verwendet werden muss.
+Die Randbedingung am rechten Rand wird dann
+\[
+X(a) = B\sin\mu a.
+\]
+Da $B$ nicht auch verschwinden kann, muss $\sin\mu a=0$ sein.
+Die Nullstellen der Sinus-Funktion sind alle ganzzahligen Vielfachen
+\[
+\mu a = k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}
+\Rightarrow
+\mu = \frac{k\pi}{a}\qquad k\in\mathbb{Z}.
+\]
+Die negativen $k$ geben die gleichen Lösungsfunktionen wie die positiven
+$k$, man kann sich daher auf die positiven $k$ beschränken.
+Die Lösungen sind daher
+\[
+X_k(x) = \sin \frac{k\pi}{a}x.
+\]
+
+Für die Gleichung $Y''(y)=(-\lambda^2 +\mu^2)Y(y)$ folgt auf ganz analoge
+Weise, dass ihre Lösungen die Form
+\[
+Y_l(y)
+=
+\sin \frac{k\pi}{b}y.
+\]
+
+Aus $X_k(x)$ und $Y_l(y)$ können jetzt die Lösungen
+\begin{equation}
+U_{kl}(x,y) = \sin \frac{k\pi}{a} x\cdot \sin\frac{k\pi}{b}y
+\label{buch:pde:rechteck:eqn:ukl}
+\end{equation}
+zusammengesetzt werden, die homogene Randbedingungen entlang
+des ganzen Randes des Rechtecks erfüllen.
+
+Die Funktionen $X_k(x)$ hat weitere Nullstellen für $x$-Werte, für
+die $k\pi x/a$ ein ganzzahliges Vielfaches von $k$ ist, also  wenn
+\[
+\frac{kx}{a}
+=
+\frac{x}{a/k}
+\]
+eine ganze Zahl ist.
+Dies tritt ein, wenn $x$ ein ganzzahliges Vielfaches von $a/k$ ist.
+Ebenso hat die Funktion $Y_l(y)$ Nullstellen, wenn $y$ ein ganzzahliges
+Vielfaches von $b/l$ ist.
+Die Funktion $U_{kl}(x,y)$ verschwindet daher auf allen Geraden
+parallel zur $y$-Achse an $x$-Koordinaten, die Vielfache von $a/k$ sind
+und auf allen Geraden parallel zur $x$-Achse an $y$-Koordinaten, die
+Vielfache von $b/l$ sind.
+
+\subsection{Eigenfrequenzen}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/090-pde/images/rechteck.pdf}
+\caption{Vorzeichen und Knotenlinie der Eigenfunktion
+$U_{kl}(x,y)$ des Laplace-Operators auf dem Rechteck $(0,a)\times (0,b)$.
+In den blauen Rechtecken gilt $U_{kl}(x,y)>0$ in den roten gilt
+$U_{kl}(x,y)<0$.
+die vertikalen und horizontalen schwarzen Linien sind Knotenlinien
+der Eigenfunktion, ihre $x$-Koordinaten sind Vielfache von $a/k$,
+die $y$-Koordinaten sind Vielfache von $b/l$.
+\label{buch:pde:rechteck:fig:knoten}}
+\end{figure}
+Die Lösungen $U_{kl}(x,y)$ aus \eqref{buch:pde:rechteck:eqn:ukl}
+sind Lösungen der ursprünglichen Differentialgleichung 
+$\Delta U=-\lambda^2 U$.
+Durch Einsetzen lassen sich jetzt auch die Eigenwerte bestimmen:
+\begin{align*}
+\Delta U_{kl}(x,y)
+&=
+-\frac{k^2\pi^2}{a^2} \sin\frac{k\pi}{a}x\cdot \sin\frac{k\pi}{b}y
+-\frac{l^2\pi^2}{b^2} \sin\frac{k\pi}{a}x\cdot \sin\frac{k\pi}{b}y
+=
+-\biggl(\frac{k^2\pi^2}{a^2}+\frac{l^2\pi^2}{b^2}\biggr) U_{kl}(x,y)
+\end{align*}
+Die Eigenfrequenzen einer rechtecking schwingenden Membran sind also
+\[
+\lambda
+=
+\sqrt{
+\frac{k^2\pi^2}{a^2}+\frac{l^2\pi^2}{b^2}
+}.
+\]
+Die Vorzeichen und die Knotenlinien der $U_{kl}(x,y)$ des
+Eigenwertproblems ist in Abbildung~\ref{buch:pde:rechteck:fig:knoten}
+dargestellt.
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