From 45e236bc519b62e8afc1aea7d2e625df4c145348 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Wed, 22 Jun 2022 11:49:27 +0200 Subject: add ell stuff --- buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex | 59 +++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 59 insertions(+) (limited to 'buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex') diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex index 7eaab38..3ef1eef 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex @@ -339,6 +339,65 @@ y(u) = F^{-1}(u+C). Die Jacobischen elliptischen Funktionen sind daher inverse Funktionen der unvollständigen elliptischen Integrale. +% +% +% +\subsubsection{Pole und Nullstellen der Jacobischen elliptischen Funktionen} +Für die Funktion $y=\operatorname{sn}(u,k)$ erfüllt die Differentialgleichung +\[ +\frac{dy}{du} += +\sqrt{(1-y^2)(1-k^2y^2)}, +\] +welche mit dem unbestimmten Integral +\begin{equation} +u + C = \int\frac{dy}{\sqrt{(1-y^2)(1-k^2y^2)}} +\label{buch:elliptisch:eqn:uyintegral} +\end{equation} +gelöst werden kann. +Der Wertebereich des Integrals in \eqref{buch:elliptisch:eqn:uyintegral} +wurde bereits in +Abschnitt~\ref{buch:elliptisch:subsection:unvollstintegral} +auf Seite~\pageref{buch:elliptische:subsubsection:wertebereich} +diskutiert. +Daraus können jetzt Nullstellen und Pole der Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ +und mit Hilfe von Tabelle~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen} +auch für $\operatorname{cn}(u,k)$ und $\operatorname{dn}(u,k)$ +abgelesen werden: +\begin{equation} +\begin{aligned} +\operatorname{sn}(0,k)&=0 +& +\operatorname{cn}(0,k)&=1 +& +\operatorname{dn}(0,k)&=1 +\\ +\operatorname{sn}(iK',k)&=\infty +& +\operatorname{cn}(iK',k)&=\infty +& +\operatorname{dn}(iK',k)&=\infty +\\ +\operatorname{sn}(K,k)&=1 +& +\operatorname{cn}(K,k)&=0 +& +\operatorname{dn}(K,k)&=k' +\\ +\operatorname{sn}(K+iK',k)&=\frac{1}{k} +& +\operatorname{cn}(K+iK',k)&=\frac{ik'}{k} +& +\operatorname{dn}(K+iK',k)&=0 +\end{aligned} +\label{buch:elliptische:eqn:eckwerte} +\end{equation} +Daraus lassen sich jetzt auch die Werte der abgeleiteten Jacobischen +elliptischen Funktionen ablesen. + + + + % % Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators -- cgit v1.2.1 From 43a21e525fe5f9f2e81113ed84742c42178c7114 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Wed, 22 Jun 2022 16:02:19 +0200 Subject: new images --- buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex | 28 +++++++++++++++++++++++++++- 1 file changed, 27 insertions(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex') diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex index 3ef1eef..c4b990e 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex @@ -343,6 +343,28 @@ der unvollständigen elliptischen Integrale. % % \subsubsection{Pole und Nullstellen der Jacobischen elliptischen Funktionen} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/ellpolnul.pdf} +\caption{Werte der grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen +$\operatorname{sn}(u,k)$, +$\operatorname{cn}(u,k)$ +und +$\operatorname{dn}(u,k)$ +in den Ecken des Rechtecks mit Ecken $(0,0)$ und $(K,K+iK')$. +Links der Definitionsbereich, rechts die Werte der drei Funktionen. +Pole sind mit einem Kreuz ($\times$) bezeichnet, Nullstellen mit einem +Kreis ($\ocircle$). +\label{buch:elliptisch:fig:ellpolnul}} +\end{figure} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/ellall.pdf} +\caption{Pole und Nullstellen aller Jacobischen elliptischen Funktionen +mit den gleichen Darstellungskonventionen wie in +Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:ellpolnul} +\label{buch:elliptisch:fig:ellall}} +\end{figure} Für die Funktion $y=\operatorname{sn}(u,k)$ erfüllt die Differentialgleichung \[ \frac{dy}{du} @@ -392,8 +414,12 @@ abgelesen werden: \end{aligned} \label{buch:elliptische:eqn:eckwerte} \end{equation} +Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:ellpolnul} zeigt diese Werte +an einer schematischen Darstellung des Definitionsbereiches auf. Daraus lassen sich jetzt auch die Werte der abgeleiteten Jacobischen -elliptischen Funktionen ablesen. +elliptischen Funktionen ablesen, Pole und Nullstellen sind in +Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:ellall} +zusammengestellt. -- cgit v1.2.1 From 4093fce68a051cb36b95609f68e2319d14615d39 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 23 Jun 2022 19:26:58 +0200 Subject: typo --- buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex') diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex index c4b990e..b1b7db3 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex @@ -408,7 +408,7 @@ abgelesen werden: \\ \operatorname{sn}(K+iK',k)&=\frac{1}{k} & -\operatorname{cn}(K+iK',k)&=\frac{ik'}{k} +\operatorname{cn}(K+iK',k)&=\frac{k'}{ik} & \operatorname{dn}(K+iK',k)&=0 \end{aligned} -- cgit v1.2.1 From a14385eccb4fa12d22c88f2955b39bee7ee482c7 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Fri, 24 Jun 2022 12:51:42 +0200 Subject: Funktionsauswahl --- buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex | 14 ++++++++++++++ 1 file changed, 14 insertions(+) (limited to 'buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex') diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex index b1b7db3..74f2f8c 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex @@ -365,6 +365,20 @@ mit den gleichen Darstellungskonventionen wie in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:ellpolnul} \label{buch:elliptisch:fig:ellall}} \end{figure} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/ellselection.pdf} +\caption{Auswahl einer Jacobischen elliptischen Funktion mit bestimmten +Nullstellen und Polen. +Nullstellen und Pole können in jeder der vier Ecken des fundamentalen +Rechtecks (gelb, oberer rechter Viertel des Periodenrechtecks) liegen. +Der erste Buchstabe des Namens der gesuchten Funktion ist der Buchstabe +der Ecke der Nullstelle, der zweite Buchstabe ist der Buchstabe der +Ecke des Poles. +Im Beispiel die Funktion $\operatorname{cd}(u,k)$, welche eine +Nullstelle in $K$ hat und einen Pol in $K+iK'$. +\label{buch:elliptisch:fig:selectell}} +\end{figure} Für die Funktion $y=\operatorname{sn}(u,k)$ erfüllt die Differentialgleichung \[ \frac{dy}{du} -- cgit v1.2.1 From 3a7e2cef27bd78a96b20751db2a53f7291fcd2a6 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Fri, 24 Jun 2022 20:18:48 +0200 Subject: add grid to images --- buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex | 16 ++++++++-------- 1 file changed, 8 insertions(+), 8 deletions(-) (limited to 'buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex') diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex index 74f2f8c..3303aee 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex @@ -403,27 +403,27 @@ abgelesen werden: \begin{equation} \begin{aligned} \operatorname{sn}(0,k)&=0 -& +&&\qquad& \operatorname{cn}(0,k)&=1 -& +&&\qquad& \operatorname{dn}(0,k)&=1 \\ \operatorname{sn}(iK',k)&=\infty -& +&&\qquad& \operatorname{cn}(iK',k)&=\infty -& +&&\qquad& \operatorname{dn}(iK',k)&=\infty \\ \operatorname{sn}(K,k)&=1 -& +&&\qquad& \operatorname{cn}(K,k)&=0 -& +&&\qquad& \operatorname{dn}(K,k)&=k' \\ \operatorname{sn}(K+iK',k)&=\frac{1}{k} -& +&&\qquad& \operatorname{cn}(K+iK',k)&=\frac{k'}{ik} -& +&&\qquad& \operatorname{dn}(K+iK',k)&=0 \end{aligned} \label{buch:elliptische:eqn:eckwerte} -- cgit v1.2.1 From 05d75b0f467b2535db538ecaee461cf0c8b637d1 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 27 Jun 2022 20:17:16 +0200 Subject: add stuff for elliptic filters --- buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex | 89 +++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 89 insertions(+) (limited to 'buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex') diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex index 3303aee..3709300 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex @@ -340,7 +340,96 @@ Die Jacobischen elliptischen Funktionen sind daher inverse Funktionen der unvollständigen elliptischen Integrale. % +% Numerische Berechnung mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel % +\subsubsection{Numerische Berechnung mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel} +\begin{table} +\centering +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + +\begin{scope}[xshift=-2.4cm,yshift=1.2cm] +\fill[color=red!20] + (-1.0,0) -- (-1.0,-2.1) -- (-1.8,-2.1) -- (0,-3.0) + -- (1.8,-2.1) -- (1.0,-2.1) -- (1.0,0) -- cycle; +\node[color=white] at (0,-1.2) [scale=7] {\sf 1}; +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=2.9cm,yshift=-1.8cm] +\fill[color=blue!20] + (0.8,0) -- (0.8,2.1) -- (1.4,2.1) -- (0,3.0) -- (-1.4,2.1) + -- (-0.8,2.1) -- (-0.8,0) -- cycle; +\node[color=white] at (0,1.2) [scale=7] {\sf 2}; +\end{scope} + +\node at (0,0) { +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}l<{$}|} +\hline +n & a_n & b_n & x_n & +\mathstrut\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt}\\ +\hline +0 & 1.0000000000000000 & 0.4358898943540673 & 0.5422823228691580 & = \operatorname{sn}(u,k)% +\mathstrut\text{\vrule height12pt depth0pt width0pt}\\ +1 & 0.7179449471770336 & 0.6602195804079634 & 0.4157689781689663 & \mathstrut\\ +2 & 0.6890822637924985 & 0.6884775317911533 & 0.4017521410983242 & \mathstrut\\ +3 & 0.6887798977918259 & 0.6887798314243237 & 0.4016042867931862 & \mathstrut\\ +4 & 0.6887798646080748 & 0.6887798646080740 & 0.4016042705654757 & \mathstrut\\ +5 & 0.6887798646080744 & 0.6887798646080744 & 0.4016042705654755 & \mathstrut\\ +6 & & & 0.4016042705654755 & = \sin(a_5u) +\mathstrut\text{\vrule height0pt depth6pt width0pt}\\ +\hline +\end{tabular} +}; +\end{tikzpicture} +\caption{Berechnung von $\operatorname{sn}(u,k)$ für $u=0.6$ und $k=0.$2 +mit Hilfe des arithmetisch-geo\-me\-tri\-schen Mittels. +In der ersten Phase des Algorithmus (rot) wird die Folge der arithmetischen +und geometrischen Mittel berechnet, in der zweiten Phase werden die +Approximationen von $x_0=\operatorname{sn}(u,k)$. +Bei $n=5$ erreicht die Iteration des arithmetisch-geometrischen Mittels +Maschinengenauigkeit, was sich auch darin äussert, dass sich $x_5$ und +$x_6=\sin(a_5u)$ nicht unterscheiden. +\label{buch:elliptisch:agm:table:snberechnung}} +\end{table} +In Abschnitt~\ref{buch:elliptisch:subsection:agm} auf +Seite~\pageref{buch:elliptisch:subsubection:berechnung-fxk-agm} +wurde erklärt, wie das unvollständige elliptische Integral $F(x,k)$ mit +Hilfe des arithmetisch-geometrischen Mittels berechnet werden kann. +Da $\operatorname{sn}^{-1}(x,k) = F(x,k)$ die Umkehrfunktion ist, kann +man den Algorithmus auch zur Berechnung von $\operatorname{sn}(u,k)$ +verwenden. +Dazu geht man wie folgt vor: +\begin{enumerate} +\item +$k'=\sqrt{1-k^2}$. +\item +Berechne die Folgen des arithmetisch-geometrischen Mittels +$a_n$ und $b_n$ mit $a_0=1$ und $b_0=k'$, bis zum Folgenindex $N$, +bei dem ausreichende Konvergenz eintegreten ist. +\item +Setze $x_N = \sin(a_N \cdot u)$. +\item +Berechnet für absteigende $n=N-1,N-2,\dots$ die Folge $x_n$ mit Hilfe +der Rekursionsformel +\begin{equation} +x_{n} += +\frac{2a_nx_{n+1}}{a_n+b_n+(a_n-b_n)x_{n+1}^2}, +\label{buch:elliptisch:agm:xnrek} +\end{equation} +die aus \eqref{buch:elliptisch:agm:subst} +durch die Substitution $x_n = \sin t_n$ entsteht. +\item +Setze $\operatorname{sn}(u,k) = x_0$. +\end{enumerate} +Da die Formel \eqref{buch:elliptisch:agm:xnrek} nicht unter den +numerischen Stabilitätsproblemen leidet, die früher auf +Seite~\pageref{buch:elliptisch:agm:ellintegral-stabilitaet} +diskutiert wurden, ist die Berechnung stabil und sehr schnell. +Tabelle~\ref{buch:elliptisch:agm:table:snberechnung} +zeigt die Berechnung am Beispiel $u=0.6$ und $k=0.2$. + +% +% Pole und Nullstellen der Jacobischen elliptischen Funktionen % \subsubsection{Pole und Nullstellen der Jacobischen elliptischen Funktionen} \begin{figure} -- cgit v1.2.1 From 931871e8c8e9b266b9b626d816a803bbd2c56653 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Fri, 1 Jul 2022 20:55:53 +0200 Subject: more index stuff --- buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex | 5 +++++ 1 file changed, 5 insertions(+) (limited to 'buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex') diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex index 3709300..8a638a7 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex @@ -228,6 +228,7 @@ Nach Multiplikation mit $\operatorname{qp}(u,k)^4$ erhält man den folgenden Satz. \begin{satz} +\index{Satz!Differentialgleichung von $1/\operatorname{pq}(u,k)$}% Wenn die Jacobische elliptische Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$ der Differentialgleichung genügt, dann genügt der Kehrwert $\operatorname{qp}(u,k) = 1/\operatorname{pq}(u,k)$ der Differentialgleichung @@ -383,6 +384,7 @@ n & a_n & b_n & x_n & \caption{Berechnung von $\operatorname{sn}(u,k)$ für $u=0.6$ und $k=0.$2 mit Hilfe des arithmetisch-geo\-me\-tri\-schen Mittels. In der ersten Phase des Algorithmus (rot) wird die Folge der arithmetischen +\index{Algorithmus!arithmetisch-geometrisches Mittel}% und geometrischen Mittel berechnet, in der zweiten Phase werden die Approximationen von $x_0=\operatorname{sn}(u,k)$. Bei $n=5$ erreicht die Iteration des arithmetisch-geometrischen Mittels @@ -394,6 +396,8 @@ In Abschnitt~\ref{buch:elliptisch:subsection:agm} auf Seite~\pageref{buch:elliptisch:subsubection:berechnung-fxk-agm} wurde erklärt, wie das unvollständige elliptische Integral $F(x,k)$ mit Hilfe des arithmetisch-geometrischen Mittels berechnet werden kann. +\index{Algorithmus!arithmetisch-geometrisches Mittel}% +\index{arithmetisch-geometrisches Mittel!Algorithmus}% Da $\operatorname{sn}^{-1}(x,k) = F(x,k)$ die Umkehrfunktion ist, kann man den Algorithmus auch zur Berechnung von $\operatorname{sn}(u,k)$ verwenden. @@ -533,6 +537,7 @@ zusammengestellt. % \subsubsection{Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators} Wir möchten die nichtlineare Differentialgleichung +\index{Differentialgleichung!das anharmonischen Oszillators}% \begin{equation} \biggl( \frac{dx}{dt} -- cgit v1.2.1 From e69e3df9a1e10de9e3122d694da2e923dad711a2 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Tue, 5 Jul 2022 18:04:48 +0200 Subject: elliptic stuff complete --- buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex | 7 ++++++- 1 file changed, 6 insertions(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex') diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex index 8a638a7..613f130 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex @@ -343,7 +343,8 @@ der unvollständigen elliptischen Integrale. % % Numerische Berechnung mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel % -\subsubsection{Numerische Berechnung mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel} +\subsubsection{Numerische Berechnung mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel +\label{buch:elliptisch:jacobi:agm}} \begin{table} \centering \begin{tikzpicture}[>=latex,thick] @@ -685,3 +686,7 @@ x(t) = a\operatorname{zn}(b(t-t_0)), wobei die Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ auf Grund der Vorzeichen von $A$, $B$ und $C$ gewählt werden müssen. +Die Übungsaufgaben~\ref{buch:elliptisch:aufgabe:1} ist als +Lernaufgabe konzipiert, mit der die Lösung der Differentialgleichung +des harmonischen Oszillators beispielhaft durchgearbeitet +werden kann. -- cgit v1.2.1