From 45e236bc519b62e8afc1aea7d2e625df4c145348 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Wed, 22 Jun 2022 11:49:27 +0200
Subject: add ell stuff

---
 buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex | 59 +++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 59 insertions(+)

(limited to 'buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex')

diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex
index 7eaab38..3ef1eef 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex
@@ -339,6 +339,65 @@ y(u) = F^{-1}(u+C).
 Die Jacobischen elliptischen Funktionen sind daher inverse Funktionen
 der unvollständigen elliptischen Integrale.
 
+%
+%
+%
+\subsubsection{Pole und Nullstellen der Jacobischen elliptischen Funktionen}
+Für die Funktion $y=\operatorname{sn}(u,k)$ erfüllt die Differentialgleichung
+\[
+\frac{dy}{du}
+=
+\sqrt{(1-y^2)(1-k^2y^2)},
+\]
+welche mit dem unbestimmten Integral
+\begin{equation}
+u + C = \int\frac{dy}{\sqrt{(1-y^2)(1-k^2y^2)}}
+\label{buch:elliptisch:eqn:uyintegral}
+\end{equation}
+gelöst werden kann.
+Der Wertebereich des Integrals in \eqref{buch:elliptisch:eqn:uyintegral}
+wurde bereits in
+Abschnitt~\ref{buch:elliptisch:subsection:unvollstintegral}
+auf Seite~\pageref{buch:elliptische:subsubsection:wertebereich}
+diskutiert.
+Daraus können jetzt Nullstellen und Pole der Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$
+und mit Hilfe von Tabelle~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen}
+auch für $\operatorname{cn}(u,k)$ und $\operatorname{dn}(u,k)$
+abgelesen werden:
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+\operatorname{sn}(0,k)&=0
+&
+\operatorname{cn}(0,k)&=1
+&
+\operatorname{dn}(0,k)&=1
+\\
+\operatorname{sn}(iK',k)&=\infty
+&
+\operatorname{cn}(iK',k)&=\infty
+&
+\operatorname{dn}(iK',k)&=\infty
+\\
+\operatorname{sn}(K,k)&=1
+&
+\operatorname{cn}(K,k)&=0
+&
+\operatorname{dn}(K,k)&=k'
+\\
+\operatorname{sn}(K+iK',k)&=\frac{1}{k}
+&
+\operatorname{cn}(K+iK',k)&=\frac{ik'}{k}
+&
+\operatorname{dn}(K+iK',k)&=0
+\end{aligned}
+\label{buch:elliptische:eqn:eckwerte}
+\end{equation}
+Daraus lassen sich jetzt auch die Werte der abgeleiteten Jacobischen
+elliptischen Funktionen ablesen.
+
+
+
+
 
 %
 % Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators
-- 
cgit v1.2.1


From 43a21e525fe5f9f2e81113ed84742c42178c7114 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@othello.ch>
Date: Wed, 22 Jun 2022 16:02:19 +0200
Subject: new images

---
 buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex | 28 +++++++++++++++++++++++++++-
 1 file changed, 27 insertions(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex')

diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex
index 3ef1eef..c4b990e 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex
@@ -343,6 +343,28 @@ der unvollständigen elliptischen Integrale.
 %
 %
 \subsubsection{Pole und Nullstellen der Jacobischen elliptischen Funktionen}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/ellpolnul.pdf}
+\caption{Werte der grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen
+$\operatorname{sn}(u,k)$,
+$\operatorname{cn}(u,k)$
+und
+$\operatorname{dn}(u,k)$
+in den Ecken des Rechtecks mit Ecken $(0,0)$ und $(K,K+iK')$.
+Links der Definitionsbereich, rechts die Werte der drei Funktionen.
+Pole sind mit einem Kreuz ($\times$) bezeichnet, Nullstellen mit einem
+Kreis ($\ocircle$).
+\label{buch:elliptisch:fig:ellpolnul}}
+\end{figure}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/ellall.pdf}
+\caption{Pole und Nullstellen aller Jacobischen elliptischen Funktionen
+mit den gleichen Darstellungskonventionen wie in
+Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:ellpolnul}
+\label{buch:elliptisch:fig:ellall}}
+\end{figure}
 Für die Funktion $y=\operatorname{sn}(u,k)$ erfüllt die Differentialgleichung
 \[
 \frac{dy}{du}
@@ -392,8 +414,12 @@ abgelesen werden:
 \end{aligned}
 \label{buch:elliptische:eqn:eckwerte}
 \end{equation}
+Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:ellpolnul} zeigt diese Werte
+an einer schematischen Darstellung des Definitionsbereiches auf.
 Daraus lassen sich jetzt auch die Werte der abgeleiteten Jacobischen
-elliptischen Funktionen ablesen.
+elliptischen Funktionen ablesen, Pole und Nullstellen sind in
+Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:ellall}
+zusammengestellt.
 
 
 
-- 
cgit v1.2.1


From 4093fce68a051cb36b95609f68e2319d14615d39 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Thu, 23 Jun 2022 19:26:58 +0200
Subject: typo

---
 buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex')

diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex
index c4b990e..b1b7db3 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex
@@ -408,7 +408,7 @@ abgelesen werden:
 \\
 \operatorname{sn}(K+iK',k)&=\frac{1}{k}
 &
-\operatorname{cn}(K+iK',k)&=\frac{ik'}{k}
+\operatorname{cn}(K+iK',k)&=\frac{k'}{ik}
 &
 \operatorname{dn}(K+iK',k)&=0
 \end{aligned}
-- 
cgit v1.2.1


From a14385eccb4fa12d22c88f2955b39bee7ee482c7 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Fri, 24 Jun 2022 12:51:42 +0200
Subject: Funktionsauswahl

---
 buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex | 14 ++++++++++++++
 1 file changed, 14 insertions(+)

(limited to 'buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex')

diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex
index b1b7db3..74f2f8c 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex
@@ -365,6 +365,20 @@ mit den gleichen Darstellungskonventionen wie in
 Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:ellpolnul}
 \label{buch:elliptisch:fig:ellall}}
 \end{figure}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/ellselection.pdf}
+\caption{Auswahl einer Jacobischen elliptischen Funktion mit bestimmten
+Nullstellen und Polen.
+Nullstellen und Pole können in jeder der vier Ecken des fundamentalen
+Rechtecks (gelb, oberer rechter Viertel des Periodenrechtecks) liegen.
+Der erste Buchstabe des Namens der gesuchten Funktion ist der Buchstabe
+der Ecke der Nullstelle, der zweite Buchstabe ist der Buchstabe der
+Ecke des Poles.
+Im Beispiel die Funktion $\operatorname{cd}(u,k)$, welche eine
+Nullstelle in $K$ hat und einen Pol in $K+iK'$.
+\label{buch:elliptisch:fig:selectell}}
+\end{figure}
 Für die Funktion $y=\operatorname{sn}(u,k)$ erfüllt die Differentialgleichung
 \[
 \frac{dy}{du}
-- 
cgit v1.2.1


From 3a7e2cef27bd78a96b20751db2a53f7291fcd2a6 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Fri, 24 Jun 2022 20:18:48 +0200
Subject: add grid to images

---
 buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex | 16 ++++++++--------
 1 file changed, 8 insertions(+), 8 deletions(-)

(limited to 'buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex')

diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex
index 74f2f8c..3303aee 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex
@@ -403,27 +403,27 @@ abgelesen werden:
 \begin{equation}
 \begin{aligned}
 \operatorname{sn}(0,k)&=0
-&
+&&\qquad&
 \operatorname{cn}(0,k)&=1
-&
+&&\qquad&
 \operatorname{dn}(0,k)&=1
 \\
 \operatorname{sn}(iK',k)&=\infty
-&
+&&\qquad&
 \operatorname{cn}(iK',k)&=\infty
-&
+&&\qquad&
 \operatorname{dn}(iK',k)&=\infty
 \\
 \operatorname{sn}(K,k)&=1
-&
+&&\qquad&
 \operatorname{cn}(K,k)&=0
-&
+&&\qquad&
 \operatorname{dn}(K,k)&=k'
 \\
 \operatorname{sn}(K+iK',k)&=\frac{1}{k}
-&
+&&\qquad&
 \operatorname{cn}(K+iK',k)&=\frac{k'}{ik}
-&
+&&\qquad&
 \operatorname{dn}(K+iK',k)&=0
 \end{aligned}
 \label{buch:elliptische:eqn:eckwerte}
-- 
cgit v1.2.1


From 05d75b0f467b2535db538ecaee461cf0c8b637d1 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Mon, 27 Jun 2022 20:17:16 +0200
Subject: add stuff for elliptic filters

---
 buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex | 89 +++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 89 insertions(+)

(limited to 'buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex')

diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex
index 3303aee..3709300 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex
@@ -340,7 +340,96 @@ Die Jacobischen elliptischen Funktionen sind daher inverse Funktionen
 der unvollständigen elliptischen Integrale.
 
 %
+% Numerische Berechnung mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel
 %
+\subsubsection{Numerische Berechnung mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel}
+\begin{table}
+\centering
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+
+\begin{scope}[xshift=-2.4cm,yshift=1.2cm]
+\fill[color=red!20]
+	(-1.0,0) -- (-1.0,-2.1) -- (-1.8,-2.1) -- (0,-3.0)
+	-- (1.8,-2.1) -- (1.0,-2.1) -- (1.0,0) -- cycle;
+\node[color=white] at (0,-1.2) [scale=7] {\sf 1};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=2.9cm,yshift=-1.8cm]
+\fill[color=blue!20]
+	(0.8,0) -- (0.8,2.1) -- (1.4,2.1) -- (0,3.0) -- (-1.4,2.1)
+	-- (-0.8,2.1) -- (-0.8,0) -- cycle;
+\node[color=white] at (0,1.2) [scale=7] {\sf 2};
+\end{scope}
+
+\node at (0,0) {
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}l<{$}|}
+\hline
+n & a_n                & b_n                  & x_n              &
+\mathstrut\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt}\\
+\hline
+0 & 1.0000000000000000 & 0.4358898943540673 & 0.5422823228691580 & = \operatorname{sn}(u,k)%
+\mathstrut\text{\vrule height12pt depth0pt width0pt}\\
+1 & 0.7179449471770336 & 0.6602195804079634 & 0.4157689781689663 & \mathstrut\\
+2 & 0.6890822637924985 & 0.6884775317911533 & 0.4017521410983242 & \mathstrut\\
+3 & 0.6887798977918259 & 0.6887798314243237 & 0.4016042867931862 & \mathstrut\\
+4 & 0.6887798646080748 & 0.6887798646080740 & 0.4016042705654757 & \mathstrut\\
+5 & 0.6887798646080744 & 0.6887798646080744 & 0.4016042705654755 & \mathstrut\\
+6 &                    &                    & 0.4016042705654755 & = \sin(a_5u) 
+\mathstrut\text{\vrule height0pt depth6pt width0pt}\\
+\hline
+\end{tabular}
+};
+\end{tikzpicture}
+\caption{Berechnung von $\operatorname{sn}(u,k)$ für $u=0.6$ und $k=0.$2
+mit Hilfe des arithmetisch-geo\-me\-tri\-schen Mittels.
+In der ersten Phase des Algorithmus (rot) wird die Folge der arithmetischen
+und geometrischen Mittel berechnet, in der zweiten Phase werden die
+Approximationen von $x_0=\operatorname{sn}(u,k)$.
+Bei $n=5$ erreicht die Iteration des arithmetisch-geometrischen Mittels
+Maschinengenauigkeit, was sich auch darin äussert, dass sich $x_5$ und
+$x_6=\sin(a_5u)$ nicht unterscheiden.
+\label{buch:elliptisch:agm:table:snberechnung}}
+\end{table}
+In Abschnitt~\ref{buch:elliptisch:subsection:agm} auf
+Seite~\pageref{buch:elliptisch:subsubection:berechnung-fxk-agm}
+wurde erklärt, wie das unvollständige elliptische Integral $F(x,k)$ mit 
+Hilfe des arithmetisch-geometrischen Mittels berechnet werden kann.
+Da $\operatorname{sn}^{-1}(x,k) = F(x,k)$ die Umkehrfunktion ist, kann
+man den Algorithmus auch zur Berechnung von $\operatorname{sn}(u,k)$ 
+verwenden.
+Dazu geht man wie folgt vor:
+\begin{enumerate}
+\item
+$k'=\sqrt{1-k^2}$.
+\item
+Berechne die Folgen des arithmetisch-geometrischen Mittels
+$a_n$ und $b_n$ mit $a_0=1$ und $b_0=k'$, bis zum Folgenindex $N$,
+bei dem ausreichende Konvergenz eintegreten ist.
+\item
+Setze $x_N = \sin(a_N \cdot u)$.
+\item
+Berechnet für absteigende $n=N-1,N-2,\dots$ die Folge $x_n$ mit Hilfe
+der Rekursionsformel
+\begin{equation}
+x_{n}
+=
+\frac{2a_nx_{n+1}}{a_n+b_n+(a_n-b_n)x_{n+1}^2},
+\label{buch:elliptisch:agm:xnrek}
+\end{equation}
+die aus \eqref{buch:elliptisch:agm:subst}
+durch die Substitution $x_n = \sin t_n$ entsteht.
+\item
+Setze $\operatorname{sn}(u,k) = x_0$.
+\end{enumerate}
+Da die Formel \eqref{buch:elliptisch:agm:xnrek} nicht unter den
+numerischen Stabilitätsproblemen leidet, die früher auf
+Seite~\pageref{buch:elliptisch:agm:ellintegral-stabilitaet}
+diskutiert wurden, ist die Berechnung stabil und sehr schnell.
+Tabelle~\ref{buch:elliptisch:agm:table:snberechnung}
+zeigt die Berechnung am Beispiel $u=0.6$ und $k=0.2$.
+
+%
+% Pole und Nullstellen der Jacobischen elliptischen Funktionen
 %
 \subsubsection{Pole und Nullstellen der Jacobischen elliptischen Funktionen}
 \begin{figure}
-- 
cgit v1.2.1


From 931871e8c8e9b266b9b626d816a803bbd2c56653 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Fri, 1 Jul 2022 20:55:53 +0200
Subject: more index stuff

---
 buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex | 5 +++++
 1 file changed, 5 insertions(+)

(limited to 'buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex')

diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex
index 3709300..8a638a7 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex
@@ -228,6 +228,7 @@ Nach Multiplikation mit $\operatorname{qp}(u,k)^4$ erhält man den
 folgenden Satz.
 
 \begin{satz}
+\index{Satz!Differentialgleichung von $1/\operatorname{pq}(u,k)$}%
 Wenn die Jacobische elliptische Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$
 der Differentialgleichung genügt, dann genügt der Kehrwert
 $\operatorname{qp}(u,k) = 1/\operatorname{pq}(u,k)$ der Differentialgleichung
@@ -383,6 +384,7 @@ n & a_n                & b_n                  & x_n              &
 \caption{Berechnung von $\operatorname{sn}(u,k)$ für $u=0.6$ und $k=0.$2
 mit Hilfe des arithmetisch-geo\-me\-tri\-schen Mittels.
 In der ersten Phase des Algorithmus (rot) wird die Folge der arithmetischen
+\index{Algorithmus!arithmetisch-geometrisches Mittel}%
 und geometrischen Mittel berechnet, in der zweiten Phase werden die
 Approximationen von $x_0=\operatorname{sn}(u,k)$.
 Bei $n=5$ erreicht die Iteration des arithmetisch-geometrischen Mittels
@@ -394,6 +396,8 @@ In Abschnitt~\ref{buch:elliptisch:subsection:agm} auf
 Seite~\pageref{buch:elliptisch:subsubection:berechnung-fxk-agm}
 wurde erklärt, wie das unvollständige elliptische Integral $F(x,k)$ mit 
 Hilfe des arithmetisch-geometrischen Mittels berechnet werden kann.
+\index{Algorithmus!arithmetisch-geometrisches Mittel}%
+\index{arithmetisch-geometrisches Mittel!Algorithmus}%
 Da $\operatorname{sn}^{-1}(x,k) = F(x,k)$ die Umkehrfunktion ist, kann
 man den Algorithmus auch zur Berechnung von $\operatorname{sn}(u,k)$ 
 verwenden.
@@ -533,6 +537,7 @@ zusammengestellt.
 %
 \subsubsection{Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators}
 Wir möchten die nichtlineare Differentialgleichung
+\index{Differentialgleichung!das anharmonischen Oszillators}%
 \begin{equation}
 \biggl(
 \frac{dx}{dt}
-- 
cgit v1.2.1

