From 0344a846c083c11e9ed93ddc5898dd55c6dd1022 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Wed, 20 Apr 2022 10:30:56 +0200 Subject: lemniscate sine stuff --- buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex | 208 ++++++++++++++++++++++++++- 1 file changed, 206 insertions(+), 2 deletions(-) (limited to 'buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex') diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex index 46659cd..4cb2ba3 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex @@ -7,7 +7,7 @@ \label{buch:elliptisch:section:integral}} \rhead{Elliptisches Integral} Bei der Berechnung des Ellipsenbogens in -Abschnitt~\ref{buch:geometrie:subsection:hyperbeln-und-ellipsen} +Abschnitt~\ref{buch:geometrie:subsection:kegelschnitte} sind wir auf ein Integral gestossen, welches sich nicht in geschlossener Form ausdrücken liess. Um solche Integrale in den Griff zu bekommen, ist es nötig, sie als @@ -172,7 +172,188 @@ die {\em Jacobi-Normalform} heisst. \subsubsection{Vollständige elliptische Integrale als hypergeometrische Funktionen} -XXX Als hypergeometrische Funktionen \url{https://www.youtube.com/watch?v=j0t1yWrvKmE} \\ +%XXX Als hypergeometrische Funktionen \url{https://www.youtube.com/watch?v=j0t1yWrvKmE} \\ +Das vollständige elliptische Integral $K(k)$ kann mit Hilfe der +Binomialreihe umgeformt werden in eine hypergeometrische Reihe. +Da im Integral nur $k^2$ auftaucht, wird sich $K(k)$ als +hypergeometrische Funktion von $k^2$ ausdrücken lassen. + +\begin{satz} +\label{buch:elliptisch:satz:hyperK} +Das vollständige elliptische Integral $K(k)$ lässt sich durch die +hypergeometrische Funktion $\mathstrut_2F_1$ als +\[ +K(k) += +\frac{\pi}2 +\cdot +\mathstrut_2F_1\biggl( +\begin{matrix}\frac12,\frac12\\1\end{matrix};1;k^2 +\biggr) +\] +ausdrücken. +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Zunächst ist das vollständige elliptische Integral in der Legendre-Form +\begin{align} +K(k) +&= +\int_0^{\frac{\pi}2} +\frac{d\vartheta}{\sqrt{1-k^2\sin^2\vartheta}} +%\notag +%\\ +%& += +\int_0^{\frac{\pi}2} +\bigl( +1-(k\sin\vartheta)^2 +\bigr)^{-\frac12}\,d\vartheta. +\notag +\intertext{Die Wurzel im letzten Integral kann mit Hilfe der binomischen +Reihe vereinfacht werden zu} +&= +\sum_{n=0}^\infty +(-1)^n k^2\binom{-\frac12}{n} +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{2n}\vartheta +\,d\vartheta. +\label{buch:elliptisch:beweis:ellharm2} +\end{align} +Der verallgemeinerte Binomialkoeffizient lässt sich nach +\begin{align*} +\binom{-\frac12}{n} +&= +\frac{(-\frac12)(-\frac32)(-\frac52)\cdot\ldots\cdot(-\frac12-n+1)}{n!} += +(-1)^n +\cdot +\frac{1}{n!} +\cdot +\frac12\cdot\frac32\cdot\frac52\cdot\ldots\cdot\biggl(\frac12+n-1\biggr) += +(-1)^n\frac{(\frac12)_n}{n!} +\end{align*} +vereinfachen. +Setzt man dies in \eqref{buch:elliptisch:beweis:ellharm2} ein, erhält +man +\begin{align*} +K(k) +&= +\sum_{n=0}^\infty +(-1)^n k^{2n} +\cdot +(-1)^n +\frac{(\frac12)_n}{n!} +\cdot +\int_0^{\frac{\pi}2} \sin^{2n}\vartheta\,d\vartheta += +\sum_{n=0}^\infty +\frac{(\frac12)_n}{n!} +\int_0^{\frac{\pi}2} \sin^{2n}\vartheta\,d\vartheta +\cdot (k^2)^n. +\end{align*} +Es muss jetzt also nur noch das Integral von $\sin^{2n}\vartheta$ +berechnet werden. +Mit partieller Integration kann man +\begin{align*} +\int \sin^m\vartheta\,d\vartheta +&= +\int +\underbrace{\sin \vartheta}_{\uparrow} +\underbrace{\sin^{m-1}\vartheta}_{\downarrow} +\,d\vartheta +\\ +&= +-\cos\vartheta\sin^{m-1}\vartheta ++ +\int \cos^2\vartheta (m-1)\sin^{m-2}\vartheta\,d\vartheta +\\ +&= +-\cos\vartheta \sin^{m-1}\vartheta ++ +(m-1) +\int +(1-\sin^2\vartheta) +\sin^{m-2}\vartheta\,d\vartheta. +\end{align*} +Wegen $\sin 0=0$ und +$\cos\frac{\pi}2=0$ verschwindet der erste Term im bestimmten Integral +und der zweite wird +\begin{align*} +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{m} \vartheta +\,d\vartheta +&= +(m-1) +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{m-2}\vartheta\,d\vartheta +- +(m-1) +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^m \vartheta\,d\vartheta +\\ +m +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{m} \vartheta\,d\vartheta +&= +(m-1) +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{m-2} \vartheta\,d\vartheta +\\ +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{m} \vartheta\,d\vartheta +&= +\frac{m-1}{m} +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{m-2} \vartheta\,d\vartheta. +\end{align*} +Mit dieser Rekursionsformel kann jetzt das Integral berechnet werden. +Es folgt +\begin{align*} +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{2n}\vartheta\,d\vartheta +&= +\frac{2n-1}{2n} +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{2n-2}\vartheta\,d\vartheta +\\ +&= +\frac{2n-1}{2n} +\frac{2n-3}{2n-2} +\frac{2n-5}{2n-4} +\cdots +\frac{2n-(2n-1)}{2(n-1)} +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{2n-4}\vartheta\,d\vartheta +\\ +&= +\frac{ +(n-\frac12)(n-\frac32)(n-\frac52)\cdot\ldots\cdot\frac32\cdot\frac12 +}{ +n! +} +\int_0^{\frac{\pi}2} 1\,d\vartheta +\\ +&= +\frac{(\frac12)_n}{n!} +\cdot +\frac{\pi}2. +\end{align*} +Damit wird die Reihenentwicklung für $K(k)$ jetzt zu +\[ +K(k) += +\frac{\pi}2 +\sum_{n=0}^\infty +\frac{(\frac12)_n(\frac12)_n}{n!} \cdot \frac{(k^2)^n}{n!} += +\frac{\pi}2 +\cdot +\mathstrut_2F_1\biggl(\begin{matrix}\frac12,\frac12\\1\end{matrix};k^2\biggr), +\] +dies beweist die Behauptung. +\end{proof} @@ -247,6 +428,29 @@ Für den extremen Wert $\varepsilon=0$ entsteht der Umfang einer Ellipse, also $E(0)=\frac{\pi}2$. Für $\varepsilon=1$ ist $a=0$, es entsteht eine Strecke mit Länge $E(1)=1$. +\begin{satz} +\label{buch:elliptisch:satz:hyperE} +Das volständige elliptische Integral $E(k)$ ist +\[ +E(k) += +\int_0^{\frac{\pi}2} \sqrt{1-k^2\sin^2\vartheta}\,d\vartheta += +\frac{\pi}2 +\cdot +\mathstrut_2F_1\biggl( +\begin{matrix}-\frac12,\frac12\\1\end{matrix}; +k^2 +\biggr). +\] +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Die Identität kann wie im Satz~\ref{buch:elliptisch:satz:hyperK} mit +Hilfe einer Entwicklung der Wurzel mit der Binomialreihe gefunden +werden. +\end{proof} + \subsubsection{Komplementäre Integrale} \subsubsection{Ableitung} -- cgit v1.2.1